6.4.3余弦定理正弦定理（第4课时）课件高一下学期数学人教A版

第六章平面向量及其应用

余弦定理、正弦定理第4课时余弦定理、正弦定理应用举例人教A版

数学

必修第二册课程标准1.能够运用正弦定理和余弦定理解决与距离、高度、角度有关的“不能到达”类的实际问题.2.体会数学建模的一般步骤.基础落实·必备知识全过关知识点1

测量问题中的常用概念1.基线(1)定义:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的

叫做基线.

(2)性质:为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的

.一般来说,基线越长,测量的精确度越

.

线段基线长度高2.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角(如图所示).3.视角观察物体的两端,视线张开的夹角叫做视角,如图所示.4.方位角与方向角(1)方位角从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α,如图①所示.(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°,如图②所示.图①

图②

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)基线选择不同,同一个量的测量结果可能不同.(

)(2)北偏东45°的方向就是东北方向.(

)(3)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.(

)√√×2.(1)若P在Q的北偏东37°方向上,则Q在P的(

)A.东偏北53°方向上 B.北偏东37°方向上C.南偏西37°方向上 D.南偏西53°方向上C解析

如图所示,Q在P的南偏西37°的方向上.(2)下图中,两个方向对应的方位角分别等于

.

30°,240°解析

左题图中方向对应的方位角等于30°,右题图中方向对应的方位角等于240°.知识点2

解决实际测量问题的思路和步骤1.基本思路2.一般步骤(1)分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图;(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解;(4)检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)运用正弦定理和余弦定理测量“不可到达”类的距离问题一般是借助测量的方位角构造已知两角和一边的三角形进行求解.(

)(2)运用正弦定理和余弦定理测量“不可到达”类的高度问题一般是借助测量的仰(俯)角构造已知两角和一边的三角形进行求解.(

)√√2.海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C岛间的距离是(

)D重难探究·能力素养全提升探究点一测量距离问题【例1】

如图,一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走,开始在A处,经观察,在河的对岸有一参照物C,与学生前进方向成30°角,学生前进200m后到达点B,测得该参照物与前进方向成75°角.(1)求点A与参照物C的距离;(2)求河的宽度.规律方法

三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决与距离有关的问题,若所求的线段在一个三角形中,则直接利用正弦定理、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正弦定理、余弦定理求解.(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正弦定理、余弦定理来解决.变式训练1[苏教版教材例题]如图,为了测量河对岸A,B两点之间的距离,在河岸这边取点C,D,测得∠ADC=85°,∠BDC=60°,∠ACD=47°,∠BCD=72°,CD=100m.设A,B,C,D在同一平面内,试求A,B两点之间的距离(精确到1m).探究点二测量高度问题【例2】

如图,在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30m到点C处,测得顶端A的仰角为2θ,再继续前进10m至点D处,测得仰角为4θ,求θ的大小和建筑物AE的高度.规律方法

测量高度问题的求解策略(1)在测量底部不可到达的建筑物的高度时,可以借助正弦定理或余弦定理,构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角和仰角)和一边,如图所示.(2)解决测量高度问题的一般步骤是:变式训练2如图,山脚下有一小塔AB,在塔底B测得山顶C的仰角为60°,在山顶C测得塔顶A的俯角为45°,已知塔高AB=20m,求山高CD.解

如图,过点C作CE∥DB,延长BA交CE于点E,设CD=x

m,则AE=(x-20)m.探究点三测量角度问题角度1

实际测量中的角度问题【例3】

地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向,且距离他40m,之后该测绘人员沿正北方向行走了40m,达到点B.试确定此时目标参照物P相对于他的方位角以及他与目标参照物P的距离.因为AB=40

m,所以AB=PB,所以∠APB=∠PAB=30°,所以∠PBA=120°.因此测绘人员到达点B时,目标参照物P相对于该测绘人员的方位角为180°-120°=60°,且目标参照物P与他的距离为40

m.变式训练3如图所示,从A到B,方位角是50°,距离是470m;从B到C,方位角是80°,距离是860m;从C到D,方位角是150°,距离是640m,试计算从A到D的方位角和距离.角度2

航海与追及中的角度问题【例4】

某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°,距离为10nmile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9nmile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.变式探究本题中其他条件不变,将“渔轮向小岛靠拢的速度”改为“10nmile/h”,将“我海军舰艇的速度”改为“10nmile/h”,求舰艇的航向和靠近渔轮所需要的时间.规律方法

测量角度问题画示意图的基本步骤

本节要点归纳1.知识清单:不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:方位角是易错点.成果验收·课堂达标检测1234567891011121314A级必备知识基础练1.[探究点一]如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是(

)A.角A,B和边ACB.角A,B和边BCC.边BC,AC和角CD.边BC,AC和角AD解析

根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D.12345678910111213142.[探究点一]如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为(

)B12345678910111213143.[探究点二]如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于(

)A12345678910111213144.[探究点三(角度1)]一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,且与它相距8nmile,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航速是(

)D12345678910111213145.[探究点三(角度2)]如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20nmile的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cosθ等于(

)B12345678910111213146.[探究点一]一架飞机在海拔8000m的高度飞行,在空中测出前下方海岛两侧海岸的俯角分别是30°和45°,则这个海岛的宽度为

m.(精确到0.1m)

5856.4

12345678910111213147.[探究点三(角度2)]已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10nmile,甲船以4nmile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6nmile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是

h.

12345678910111213148.[探究点一]某人见一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°方向行走了3km后到达C,则见A在其北偏东56°方向上,B在其北偏东74°方向上,试求这两个建筑物间的距离.12345678910111213141234567891011121314B级关键能力提升练9.(多选题)某人向正东方向走了xkm后向右转了150°,然后沿新方向走了3km,结果离出发点恰好

km,则x的值为(

)AB1234567891011121314123456789101112131410.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50m,山坡的坡角为θ,则cosθ=(

)B123456789101112131411.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°,且两条船与炮台底部的连线成30°角,则两条船之间的距离为

m.

123456789101112131412.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物PD的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60m,求建筑物的高度.123456789