2.8数学探究活动(二)探究三次函数性质课件高二下学期数学北师大版选择性

第二章导数及其应用8数学探究活动(二)探究三次函数性质北师大版

数学

选择性必修第二册三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是高中阶段一种重要的函数,同时又是高考的重点内容.三次函数的性质存在一定的规律性,下面用导数工具探求其图象及性质.一、三次函数图象和性质三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),导数f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),令Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac).1.三次函数的单调性性质1:当a>0且b2-3ac≤0,则f(x)在(-∞,+∞)内单调递增;当a<0且b2-3ac≤0,则f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.性质2:若b2-3ac>0,则f'(x)=0有两个解:当a>0且b2-3ac>0时,f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递增,在(x1,x2)内单调递减;当a<0且b2-3ac>0时,f(x)在(-∞,x2)和(x1,+∞)内单调递减,在(x2,x1)内单调递增.根据a和Δ的不同情况,其图象特征分别为:2.三次函数的极值性质3:当b2-3ac≤0时,f(x)无极值.当b2-3ac>0时,二、经典案例1.含参三次函数单调区间的求解三次函数单调区间由f'(x)>0或f'(x)<0的解集来决定,因此可以从根的大小、判别式Δ和二次项系数等方面来入手讨论.求三次函数的单调区间,就是确定二次不等式f'(x)>0或f'(x)<0的解集,其解法就等同于含参数的一元二次不等式的解法了.【例1】

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值.(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间;(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求实数c的取值范围.2.三次函数根据单调性求参问题已知三次函数单调性求参数范围可转化为f'(x)≥0恒成立或f'(x)≤0恒成立问题来处理,注意等号不能遗漏,否则造成参数范围的漏解.已知三次函数单调性求参数范围可有两种方法解决,一是分离参数,二是二次函数思想.做题时要随机应变.【例2】

f(x)=x3+ax2+2x-1,(1)f(x)在区间[1,3]上单调递增,求a的取值范围;(2)f(x)在区间[-1,2]上单调递减,求a的取值范围;(3)f(x)在(0,1)内不单调,求a的取值范围.(2)∵f(x)在[-1,2]上单调递减,∴f'(x)=3x2+2ax+2≤0在[-1,2]上恒成立,即f'(x)=3x2+2ax+2在[-1,2]上的最大值小于或等于0,考虑函数h(x)=3x2+2ax+2在[-1,2]上的最大值,最大值为h(-1)或h(2),(3)f'(x)=3x2+2ax+2,f(x)在(0,1)内不单调⇔f'(x)在(0,1)内有正有负.①f(x)在(0,1)内只有一个极值点,3.三次函数单调性与极值综合应用【例3】

若函数f(x)=ax3-(a2-4)x+4,当x=1时,函数f(x)有极大值.(1)求函数的解析式;(2)若存在x∈[-3,2],使得f(x)+m≥0能成立,求m的取值范围.解

(1)f'(x)=3ax2-(a2-4),∵当x=1时,函数f(x)有极大值,∴f'(1)=3a-(a2-4)=0,解得a=4,或a=-1.若a=4,f'(x)=12x2-12=12(x+1)(x-1),可得当-1<x<1时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.∴当x=1时,函数f(x)有极小值,不符合题意,舍去.若a=-1,f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),可得当-1<x<1时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减.∴当x=1时,函数f(x)有极大值,则f(x)=-x3+3x+4.(2)f(x)=-x3+3x+4,存在x∈[-3,2],使得f(x)+m≥0能成立,则-m≤f(x)max.由(1)可得,函数f(x)在区间[-3,-1)内单调递减,在区间(-1,1)内单调递增,在区间(1,2]上单调递减.而f(-3)=22,f(1)=6,∴f(x)max=22.∴-m≤22,解得m≥-22.∴m的取值范围是[-22,+∞).规律方法

1.要学会用导数方法解决三次函数单调性与极值问题中四类题型:(1)已知函数解析式求单调性问题;(2)已知函数解析式求极值问题;(3)已知含参数的函数解析式的极值问题求参数;(4)已知含参数的函数解析式的单调性问题求参数.2.通过上述例题研究了三次(高次)函数的性质,同时验证了高次函数与导数知识