1.4.2用空间向量研究距离夹角问题（第1课时）课件高二上学期数学人教A版选择性

第一章空间向量与立体几何用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题人教A版

数学

选择性必修第一册课程标准能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.基础落实·必备知识全过关知识点1点到直线的距离、两条平行直线之间的距离1.点到直线的距离

切记μ是单位方向向量

2.两条平行直线之间的距离求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.名师点睛点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)直线上的任意一点到该直线的距离是0.(

)(2)直线外一点到该直线的距离就是该点与直线上任意一点连线的距离.(

)√×2.[北师大版教材例题]如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3.用向量的方法求点B到直线A'C的距离.知识点2点到平面的距离、两个平行平面之间的距离点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为PQ=.

名师点睛

2.如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.3.两个平行平面之间的距离如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面之间的距离转化为点P到平面β的距离求解.过关自诊1.怎样求线面距离、面面距离?2.[人教B版教材习题]已知平面α外一点A到平面α的距离为d,且点A到平面α内一点B的距离为5,写出d的取值范围.提示

线面距离、面面距离都可以通过一定的方法转化为点到平面的距离求解.解

如图,设A在平面α内的射影为A',则A'B2=52-d2≥0,∴0<d≤5,即d的取值范围是(0,5].3.[北师大版教材习题]已知点M(-1,1,-2),平面α经过原点O,且垂直于向量n=(1,-2,2),求点M到平面α的距离.重难探究·能力素养全提升探究点一利用空间向量求点线距【例1】

已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.解

以B为坐标原点,BA,BC,BB1分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),变式探究

1例1中的条件不变,若M,N分别是A1B1,AC的中点,试求点C1到直线MN的距离.变式探究

2将条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的直三棱柱,求点B到直线A1C1的距离.规律方法

用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.探究点二利用空间向量求点面距【例2】

在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示.求点B到平面CMN的距离.解

取AC的中点O,连接OS,OB.∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,∴SO⊥平面ABC.又BO⊂平面ABC,∴SO⊥BO.如图所示,以O为原点,OA,OB,OS所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,规律方法

求点到平面的距离的三种主要方法

方法一作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离方法二在三棱锥中用等体积法求解方法三向量法:d=(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的斜线段)变式训练1[北师大版教材习题]在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别是AB和AD的中点,CG⊥平面ABCD,且CG=2,求点B到平面EFG的距离.解

以C为原点,CB,CD,CG所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(4,0,0),E(4,2,0),F(2,4,0),G(0,0,2).探究点三转化与化归思想在求空间距离中的应用【例3】

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.(1)求证:B1D⊥平面ABD;(2)求证:平面EGF∥平面ABD;(3)求平面EGF与平面ABD的距离.(1)证明

如图所示,以B1为原点,分别以B1A1,B1C1,B1B为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AB=a,则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.所以GF∥AB,EF∥BD.又GF∩EF=F,AB∩BD=B,所以平面EGF∥平面ABD.规律方法

求两个平行平面的距离,先在其中一个平面上找到一点,然后转化为该点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.变式训练2如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(

)C(方法2)因为B1C1∥BC,所以B1C1∥平面A1BCD1,从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求.如图,过点B1作B1E⊥A1B于点E.因为BC⊥平面A1ABB1,且B1E⊂平面A1ABB1,所以BC⊥B1E.又BC∩A1B=B,所以B1E⊥平面A1BCD1,B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离.本节要点归纳1.知识清单:(1)点到直线的距离;(2)点到平面的距离;(3)直线到平面的距离;(4)两平行平面间的距离.2.方法归纳:数形结合、转化法.3.常见误区:(1)容易对距离公式理解不到位,在使用时不注意条件的限制;(2)容易对公式推导过程的理解不清晰.成果验收·课堂达标检测123456789101112A级必备知识基础练1.[探究点一][2023江苏徐州期末]已知直线l过点A(1,-1,-1),且方向向量为m=(1,0,-1),则点P(1,1,1)到l的距离为(

)B1234567891011122.[探究点一]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为(

)C1234567891011123.[探究点二]在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是(

)A1234567891011124.[探究点二]如图,直三棱柱ABC

-A1B1C1的侧棱AA1=,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为

.

1234567891011125.[探究点二、三]已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.123456789101112123456789101112123456789101112(2)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.又因为AC⊄平面PEF,EF⊂平面PEF,所以AC∥平面PEF.123456789101112B级关键能力提升练6.在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0

(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=

,则在底面边长与高都为2的正四棱锥P-ABCD中,底面中心O到侧面PAB的距离d等于(

)B1234567891011127.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离(

)A123456789101112BC1234567891011129.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,C1C的中点,G为线段DD1上的点,且DG=

DD1,过E,F,G的平面交AA1于点H,则A1D1到平面EFGH的距离为

.

12345678910111210.正方体ABCD

-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD的距离为

.

123456789101112ABCD,且PA=a,点F在AD上,且CF⊥PC.(1)求点A到平面PCF的距离;(2)求AD到平面PBC的距离