2.2圆的对称性（第2课时垂径定理）（教学课件）九年级数学上册考试满分全备考（苏科版）

九年级苏科版数学上册第二章对称图形——圆第二课时垂径定理2.2圆的对称性目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂反馈分层练习课堂小结学习目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.

（难点）情景导入你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？垂径定理新知探究OO在纸上画⊙O，把⊙O剪下并折叠，使折痕两旁的部分完全重合，你发现了什么？可以发现无论我们怎么折，这个折痕总是经过⊙O的.

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴.操作与思考画⊙O和⊙O的直径AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足为P（如右图）.在所画图中有哪些相等的线段、相等的弧？·ABPCDPC=PD，

AC=AD，

BC=BD，

︵︵︵︵PCDABOPC(D)ABO我们可以运用图形运动的方法证实小丽、小明的猜想：将右图中的ADB沿直径AB翻折.因为圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，所以ADB与ACB重合.又因为∠APD=∠APC=90°，所以射线PD与射线PC重合（如图所示），于是点D与点C重合.这样，PC=PD，AC=AD，BC=BD.︵︵︵︵︵︵︵连接OC、OD.如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD.垂足为P∴PC=PD，∠BOC=∠BOD.

在△OCD中，∵OC=OD，OP⊥CD，∴∠AOC=∠AOD.

（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）.

以上结论还可以用下面的方法加以证实：

∴BC=BD,AC=AD.︵︵︵︵·OCDABP概念归纳垂径定理·OABCDP垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.∵CD是直径，CD⊥AB，∴AP=BP,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.推导格式：概念归纳1.“垂直于弦的直径”中的“直径”还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线.其实质是：过圆心且垂直于弦的线段或直线.2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.课本例题例1.如图，☉O中，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与BD相等吗？为什么？AC=BD过点O作OP⊥AB于P.∵OP⊥AB，∴AP=BP，CP=DP（垂直于弦的直径平分弦）.∴AP－CP=BP－DP,即

AC=BD.P你还有其他解题方法吗？例1.如图，☉O中，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与BD相等吗？为什么？AC=BD连接OA、OC、OD、OB.∵

OA=OB，OC=OD,∴∠A=∠B，∠OCD=∠ODC.∴∠AOC=∠BOD.∴△AOC≌△BOD.∴AC=BD.课本例题拓展与延伸如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD.试问：AC与BD相等吗？为什么？⌒⌒∵AB∥CD,OE⊥AB，解：AC=BD.过点O作OE⊥AB于E，并延长交弦CD、⊙O

于F、G.∴OF⊥CD.∴AG=BG,CG=DG.∴AC=BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒EFG1.下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE练一练概念归纳垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC概念归纳对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧.简记为“知二推三”.你知道为什么要强调非直径吗？·OABDCP1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），与CD交于点P，且P是AB的中点.求证：AB⊥CD，⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵P是AB的中点，∴AB⊥CD.即AP=BP，∵CD是直径，CD⊥AB，∴⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.（垂径定理）练一练典例剖析例2.[中考·甘孜州]如下图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB

于点H.若AB＝10，CD＝8，则OH

的长度为_________．3分析：紧扣垂径定理得到CH＝4，再利用勾股定理计算出OH

的长度.

概念归纳利用垂径定理求线段的长的方法：垂径定理是解决圆中的计算、证明问题常用的知识，求线段长时，一般利用半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理求解，即用“垂径定理＋勾股定理”求解．典例剖析例3.赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.回到导入的问题分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.

解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.((在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+（R-7.23）2.解得R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，(连接OA，根据垂径定理，得D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.(由题设可知AB=37，CD=7.23，所以AD=AB=37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.典例剖析概念归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法OABC·在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.概念归纳弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系d+h=r

ABCDOhrd

C随堂练C5随堂练随堂练分层练习-基础1.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论错误的是(

) A.CE＝DEB．AE＝OE

C.BC＝BDD．△OCE≌△ODE

B︵︵2.[2023盐城一模]如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为(

) CA.1B．2C．3D．4分层练习-基础3.[2023宜昌]如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为(

)A.5B．4C．3D．2B4.分层练习-基础A分层练习-基础5.如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________. 6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，水深CD为16dm，水面宽度AB为48dm，求轨道的直径. 分层练习-基础分层练习-巩固7.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB.若AB＝4，CD＝1，则EB的长为(

) A.2B．3 C.4D．5 B分层练习-巩固8.[2023陕西]陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图.AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接

OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则⊙O的半径OA为(

) A.13cmB．16cmC．17cmD．26cm A︵︵分层练习-巩固9.如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，

AC＝11m，BC＝21m，OC＝13m，则这个花坛的半径为________. 20m10.[2024宿迁九年级统考期中]如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，13为半径画圆，直线y＝kx＋3k＋4(k≠0)与⊙O交于B，C两点，则弦BC长的最小值为________.24分层练习-巩固11.如图，⊙P的半径为5，弦AB＝6，以AB为边作正方形ABCD(点D，P在直线AB两侧)．若正方形ABCD绕点P旋转一周，则边CD扫过的面积为________. 9π分层练习-巩固12.如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD的延长线于点C. (1)求证：D是AC的中点；

证明：连接BD.∵AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，∴D是AB的中点．∴AD＝BD.∴AD＝BD.∴∠BAD＝∠ABD.∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°.∴∠BAD＋∠C＝90°，∠ABD＋∠DBC＝90°.︵︵︵∴∠C＝∠DBC.∴BD＝CD.∴AD＝CD，即D为AC的中点．分层练习-巩固13．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高