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九年级苏科版数学上册第二章对称图形——圆第二课时垂径定理2.2圆的对称性目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂反馈分层练习课堂小结学习目标1.进一步认识圆,了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论,并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.(重点)3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
(难点)情景导入你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?垂径定理新知探究OO在纸上画⊙O,把⊙O剪下并折叠,使折痕两旁的部分完全重合,你发现了什么?可以发现无论我们怎么折,这个折痕总是经过⊙O的.
圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴.操作与思考画⊙O和⊙O的直径AB、弦CD,使AB⊥CD,垂足为P(如右图).在所画图中有哪些相等的线段、相等的弧?·ABPCDPC=PD,
AC=AD,
BC=BD,
︵︵︵︵PCDABOPC(D)ABO我们可以运用图形运动的方法证实小丽、小明的猜想:将右图中的ADB沿直径AB翻折.因为圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴,所以ADB与ACB重合.又因为∠APD=∠APC=90°,所以射线PD与射线PC重合(如图所示),于是点D与点C重合.这样,PC=PD,AC=AD,BC=BD.︵︵︵︵︵︵︵连接OC、OD.如图,AB是⊙O直径,CD是⊙O的弦,AB⊥CD.垂足为P∴PC=PD,∠BOC=∠BOD.
在△OCD中,∵OC=OD,OP⊥CD,∴∠AOC=∠AOD.
(同圆中,相等的圆心角所对的弧相等).
以上结论还可以用下面的方法加以证实:
∴BC=BD,AC=AD.︵︵︵︵·OCDABP概念归纳垂径定理·OABCDP垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.∵CD是直径,CD⊥AB,∴AP=BP,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.推导格式:概念归纳1.“垂直于弦的直径”中的“直径”还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线.其实质是:过圆心且垂直于弦的线段或直线.2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.课本例题例1.如图,☉O中,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与BD相等吗?为什么?AC=BD过点O作OP⊥AB于P.∵OP⊥AB,∴AP=BP,CP=DP(垂直于弦的直径平分弦).∴AP-CP=BP-DP,即
AC=BD.P你还有其他解题方法吗?例1.如图,☉O中,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与BD相等吗?为什么?AC=BD连接OA、OC、OD、OB.∵
OA=OB,OC=OD,∴∠A=∠B,∠OCD=∠ODC.∴∠AOC=∠BOD.∴△AOC≌△BOD.∴AC=BD.课本例题拓展与延伸如图,AB、CD是⊙O的两条弦,AB∥CD.试问:AC与BD相等吗?为什么?⌒⌒∵AB∥CD,OE⊥AB,解:AC=BD.过点O作OE⊥AB于E,并延长交弦CD、⊙O
于F、G.∴OF⊥CD.∴AG=BG,CG=DG.∴AC=BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒EFG1.下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是,请说明为什么?是不是,因为没有垂直是不是,因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE练一练概念归纳垂径定理的几个基本图形:ABOCDEABOEDABO
DCABOC概念归纳对于圆中的一条直线,如果具备下列五个条件中的任意两个,那么一定具备其他三个:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦(非直径);(4)平分弦所对的劣弧;(5)平分弦所对的优弧.简记为“知二推三”.你知道为什么要强调非直径吗?·OABDCP1.已知:在☉O中,CD是直径,AB是弦(不是直径),与CD交于点P,且P是AB的中点.求证:AB⊥CD,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.证明:连接OA、OB、CA、CB,则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵P是AB的中点,∴AB⊥CD.即AP=BP,∵CD是直径,CD⊥AB,∴⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.(垂径定理)练一练典例剖析例2.[中考·甘孜州]如下图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB
于点H.若AB=10,CD=8,则OH
的长度为_________.3分析:紧扣垂径定理得到CH=4,再利用勾股定理计算出OH
的长度.
概念归纳利用垂径定理求线段的长的方法:垂径定理是解决圆中的计算、证明问题常用的知识,求线段长时,一般利用半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构造直角三角形,运用勾股定理求解,即用“垂径定理+勾股定理”求解.典例剖析例3.赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).回到导入的问题分析:解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为O,半径为R.((在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R≈27.3.因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与AB相交于点C,(连接OA,根据垂径定理,得D是AB的中点,C是AB的中点,CD就是拱高.(由题设可知AB=37,CD=7.23,所以AD=AB=37=18.5,OD=OC-CD=R-7.23.典例剖析概念归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法OABC·在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d(圆心到弦的距离),弓形高h的计算题时,常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形,利用垂径定理和勾股定理求解.概念归纳弦a,弦心距d,弓形高h,半径r之间有以下关系:弓形中重要数量关系d+h=r
ABCDOhrd
C随堂练C5随堂练随堂练分层练习-基础1.如图,已知⊙O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论错误的是(
) A.CE=DEB.AE=OE
C.BC=BDD.△OCE≌△ODE
B︵︵2.[2023盐城一模]如图,⊙O的半径为5,弦AB=8,OC⊥AB于点C,则OC的长为(
) CA.1B.2C.3D.4分层练习-基础3.[2023宜昌]如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为(
)A.5B.4C.3D.2B4.分层练习-基础A分层练习-基础5.如图,将半径为2的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为________. 6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,彰显了我国古代劳动人民的智慧.如图,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,水深CD为16dm,水面宽度AB为48dm,求轨道的直径. 分层练习-基础分层练习-巩固7.如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,连接EB.若AB=4,CD=1,则EB的长为(
) A.2B.3 C.4D.5 B分层练习-巩固8.[2023陕西]陕西饮食文化源远流长,“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图.AB是⊙O的一部分,D是AB的中点,连接
OD,与弦AB交于点C,连接OA,OB.已知AB=24cm,碗深CD=8cm,则⊙O的半径OA为(
) A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm A︵︵分层练习-巩固9.如图所示,小区内有个圆形花坛O,点C在弦AB上,
AC=11m,BC=21m,OC=13m,则这个花坛的半径为________. 20m10.[2024宿迁九年级统考期中]如图,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心,13为半径画圆,直线y=kx+3k+4(k≠0)与⊙O交于B,C两点,则弦BC长的最小值为________.24分层练习-巩固11.如图,⊙P的半径为5,弦AB=6,以AB为边作正方形ABCD(点D,P在直线AB两侧).若正方形ABCD绕点P旋转一周,则边CD扫过的面积为________. 9π分层练习-巩固12.如图,AB是⊙O的弦,半径OD⊥AB,垂足为H,BC⊥AB,交AD的延长线于点C. (1)求证:D是AC的中点;
证明:连接BD.∵AB是⊙O的弦,半径OD⊥AB,∴D是AB的中点.∴AD=BD.∴AD=BD.∴∠BAD=∠ABD.∵BC⊥AB,∴∠ABC=90°.∴∠BAD+∠C=90°,∠ABD+∠DBC=90°.︵︵︵∴∠C=∠DBC.∴BD=CD.∴AD=CD,即D为AC的中点.分层练习-巩固13.如图,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2m,拱顶高出水面2.4m,现有一艘宽3m,船舱顶部为长方形并高
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