解三角形满分突破10讲-解析版

专题一三角形中基本量的计算问题 2=c2+a2-2cacosB；2=a2+b2-2abcosC.cosAcosA=b2+c2-a2；cosB=；cosC=a2+b2-c2 S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB==+b+c)·r(r，R为别是△ABC内切圆半径和 在△ABC中，A+B+C=π;变形：=-. ②A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.③若△ABC为锐角三角形，则A+B>，sinA>cosB，cosA<si④c2=a2+b2⇔C为直角；c2>a2+b2⇔C为钝角；c2<a2+b2⇔C为锐角.⑤a+b>c，b+c>a，c+a>b. 1考点一计算三角形中的角或角的三角函数值即可解决．中等难度的问题要结合三角恒等变换再用正弦定理或余弦定理即可解决．难度较大的问题要11)A.B.C.D. .、、33A.B.-C.±D.() 2B-1=. A.B.C.D. ()A.B.C.D.66()A.B.C.D.2=2b2 7E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=.【解析】如图，设AB=6，则AE=EF=FB=2．因为△ABC为等腰直角三角形，所以AC=BC= 由余弦定理得cosA====-. B的值为()D.A.B.C.D.44故cosB===. =+=，所以+=== 、A.-B.、A.-B.C.-D. 22a+b6b+c=4k|c+a=5k，解得{b=a+b=6k|a+b6b+c=4k|c+a=5k，解得{b=a+b=6k|A.B.C.D.A.B.C.D.5cosB=() A.B.C.D. 、、=.A.-3B.1C.1或-1D.-3992B=2+c2-b2)tanB=、3ac，则角B的大小为()A.B.C.或D.或 . A.B.C.D.2+BC2-AC2=2==，∴sinA=1-cos2A=、1-=:，∴tanA==.===，∴C= ==-CF2+BC2-FB212+22-(、6)2 ==-=(a+b)2-c2，则tanC=()A.B.C.-D.-值为()A.B.C.D. 2+c2-、2ac=b2=2．又因为B为三角形的内角，所以B=45°A=()2=b2+c2+bc．由余弦定理()A.B.C.D.2、、()bc+232+2c-a2=-bc+232+b2-c22+b2-c2= ()A.B.C.D.A.B.C.D.2=2a2==1.3 【解析】====4，所以 a+b+c=4(sinA+sinB+sinC)=4.sinA+sinB+sinCsinA+sinB+sinC22 . =sin(π-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×+×=．又a=1，所以33A.6sin(A++3B.6sin(A++3 ()A.2B.3C.22+22-255()2-1=-．在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2 2=a22=6377 . 2AD2+DC2-AC21=-AD2+DC2-AC21=-ABADABAD882=AD2+BD2-2AD·BD·co =2、3==a2+b2-2abcosC=4+16-8、、、32=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA=2+6-2 2、、、【解析】由tanA=2得sinA=2cosA．又222或B=a=b或B=a=bsinB=2sinA， -(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=．由正弦定理知=，∴c===. A.B.C.D. A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【解析】∵等式右边=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAc A.3-1B.23+2C.23-2D.2+6 +6 +6/6.A.1B.化简得AC2+3AC-4=0，解得AC=1或AC=-4(舍去)．故选A.A.2B.C.3D.BD的长为()A.3B.3C.2D.22+32-22=3 .A.5B.5C.2据余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=1+2+2=5，∴AC=5，此时△ABC为钝角三角=1，此时AB2+AC2=BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC=5.()A.2B.3C.4D.6则A=，=.2+22-2×12+22-2×1 b+c=a=、3=2.sinB+sinCsinA/32A.1+/7B.2+7C.4+7D.5+72=7+3ab=()()A.2B.C.3D.4A.2B.3C.2故选A.A.6B.5C.4D.3=-，于是可得到=6．故选A.2-2- .=AB2+ .33==32AC=.224477/3==/322=BC2+CD2-2BC·CDcosC=a2+4a2-2=【解析】由=⇒=⇒a=c，①,由S△ABC=acsinB=且sinB=得ac=5，则c=，B=.、、A.2 ,故选D.专题二三角形的三线两圆及面积问题2+AC2=BC2+2AD2.另外已知两边及其夹角也可表述为：4AD2=AB2+AC2+2AB⋅AC⋅cosA.2=AB2+AC2+2AB⋅AC⋅cosA.3=3+623+62A.B.C.D.422在△ABC中，若AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，则BC=.BC互相平分，所以四边形ACEB是平行四边形，所以BE=AC=7．又AB=4，AE=2AD=7，所以在△ABE中，由余弦定理得，AE2=49=AB2+BE2-2AB·BE·cos∠ABE=AB2+AC2- 2=a2+b2-2abcosC= =，所以A=．设BC边上的中线为AM，则AM=2、2，因为M是BC的中点，所以A—=A662=．由+b+c)r=bcsinA，得r=.∴S内切圆=πr2=. 2+c2-1，则△ABC外接圆的面积为 =99 . ,所以A—=A+B=A+B=A+A—-A)，即A—=A+A—，两边同时点乘图1图2图3 2AsinB=、2R2sinA-A(=2R2sinAcosA+sinA(=R2(sinAcosA+sin2A)=2. .7x=7x=x2-8x+15=0，解得x=3或x=5.∴AB=21或AB=35．在Rt△ADB中，AD=A.B.C.-D.-A.B.C.-D.-2==a．所以cosA==2a2+a2-a2=-BC，DC=另解设BC边上的高AD交BC于点D，由题意知BBC，DC=1+2=-3，所以cosA=-1+2=-3，所以cosA=-AD的长为.sinA=得ADsinA=得AD2=4(AB2+AC2+2AB⋅ACcosA)=19，即AD=194△ABC，可得A=，在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB⋅ACcosA=28，即BC=27，cosB=AB2+BC2-AB2=2，所以在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-【解析】设BC=a，则BM=CM=．在△ABM中，AB2=BM2+AM2-2BM·AMcos∠AMB，=AM2+CM2-.△ABC的边BC上的中线，所以BC=2BD=82．在△ABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2=BE2+×x．解得x=1或x=-=2.2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=，即AC=．又 777A.-777A.-C.B.D.±C.B.7∠ADB=1．故选B.+c2-2bccosAD2+c2-BD2+c2-2bccosAD2+c2-BD2,即3=AD2+16-7,即3=AD2+16-7以AD>BD=7，所以AD=33，所以cos∠ADB=DA2+DB2-AB2=27+7-选B.△ABC的面积S=.π>B，∴B=π>B，∴B= A.1B.C.3D.A.1B.C.3D.A.B.C.D. 2把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面11 2=12 55 . 2B=1-= 【解析】∵在△ABC中，C=，∴B=-A，B-A=-2A882=AD2+DC2-2AD·DCcosD A.3B.2C.3D.616-22)=3. 为()A.3+1B.3-1C.4D.2 ===、 2 +/6acsinB=sinAcosC++/6acsinB=sinAcosC+cosAsinC=42 2+/6=4 面积为()A.23+2B.3+1C.23-2D.3-1D.A.B.2D.484 ab55sinA=2=a=sinA=2=a=由正弦定理=△ABC=absinC=×由正弦定理=、、、、、、=12=a2+b2-2abcos=a22=absinC=+b2-ab2=absinC=4438=bcsinA=438=bcsinA=4c=的面积S=.()2=9+x2-2×3x×,解得x=3．故BD=BC，在等腰△ABD=AB·BD=4四边形ABCD=3+43=53. △ABC是直角三角形；若c2>2+b211()A.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形B.直角三角形D.等腰直角三角形2=a2+b2()()C.钝角三角形D.无法确定A.C.钝角三角形D.无法确定A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形44()A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形b+c2b-b3+a2c+2+c2=a2，故A=9055A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.直角三角形()sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-2=2或2A=π-2B，∴A=B或A+B=.∴△ABC为等22+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)，66()A.等边三角形B.等腰直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形D.直角三角形所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.77()A.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形B.等腰直角三角形D.直角三角形+c2-b22+c2===88 A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形2-c2=3b2=b=c．所以△ABC为等边三角形.=sinAcosB+cosAsinB，所以sin(A-B)=0．又因为A与2+A.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角非等边三角形D.钝角三角形2=b22A=，所以A=B=，所以△ABC是等腰直角三角形，故选B. ①若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC是锐角三角形；④若==，则△ABC是等边三角形.tanB=tanC，∴④正确. 2=A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形2==， A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.无法确定 A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形 A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.直角三角形所以2A=2B或2A=π-2B，即A=B或A+B=，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形 A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.直角三角形A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰或者直角三角形A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形2+c2-a2A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2BA.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰或者直角三角形A.A=B.c=2aC.C=D.△ABC是等边三角形()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形三角形．故选A.A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形1=602B2C22=1B1C1是锐角三角形，2B2C2是钝角三角形．故选D. 112<b2+c2，则角A的取值范围是)22() <b<3，根据余弦定理cosC=(a2+b2-c2)=(4+b2-1)=(3+b2)=+=-b2+≥.所以0<C≤.故选A. 4444=a2+b2-=a2+b2-≥2a2b2(-=·6-2，故6-2≤ =-3．由已知条件及大边对大角可知0<A<<C<π,从而由A+B+C=π可知tanB=-tan(A+C)=-tanC)≥2×(-tanC)=23(当且仅当tanC=-3时取等号)，从而tanB≤=， 值是()tanB+tanC=2tanBtanC．又三角形中的三角恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，∴tanBtanC=，∴tanAtanBtanC=tanA·,令tanA-2=t，得tanAtanBtanC= 2(B+C)<2B+sin2C，则角A的取值范围为()2A+cos2A)=2sinA，所以sinB=2=≥=(当且仅当c2=3a2，即c=·3a时取等号)，因为A为△ABC的<A≤,故角A的取值范围是(0，.()A.B.C.D.A.B.C.D.-的最大值为A.2B.C.1B，又B为钝角，∴B=A+，sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA+cos2A=sinA+1-2sin2A=-2(sinA-2+，∴sinA+sinC的最大值为. 角B的值为.【解析】由acosB-bcosA=c及正弦定理，得sinAcosB-sinBcosA=sinC=A+B0．所以tan(A-B)===≤=，当且仅当=3tanB，即tanB=A-B)取得最大值，所以B=. 所以C=，A=-B，所以sin2Atan2B=cos2Btan2B=．令1+tan2B=t，其 =2，cos2A+cos2B=+=+= tan2A+tan2B+2=(tanA+tanB)2-2tanAtanB+2=(tanAtanB)2+tan2A+tan2B+1(tanAtanB)2+(tanA+tanB)2-2tanAtanB+1-2tanAtanB+5>0，所以令6- -82tanAtanB=t(t>0)，则cos2A+cos2B==t+-8≤23=22+1(当且仅当t -8解法2由解法1得tanA+tanB=2，令tanA=1+t，tanB=1-t，则cos2A+cos2B=+d+d-4d+d-42A+cos2B=+=1+cos(A+B)cos(A-B)=1-cosC(sinC+cosC-=-4tanA．因为tanA>0，所以tanB=-tan(A+C)=--=-=-4tanA-14tanA+24424【解析】因为sinA=sin(B+C)=2sinBsinC，所以tanB+tanC=2tanBtanC，因此tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥22tanAtanBtanC，所以tanAtanBtanC≥8.2-a2=actanAtanB tanAtanB解法1原式可化为-=-==．由b2-sinA=sin(A+B)-2sinAcosB=sin(B-A)，由于△ABC为锐角三角形，所以有A=B-A，即B=2A，故-=，在锐角三角形ABC中易知2-a2=AD2-BD2=(AD+BD)(AD-BD)=c(AD-BD)=ac，所以AD-BD=a，而AD+BD=c，所以BD=，则c>a，即>1，在锐角三角形ABC中有b2+a2>c2，则a2+a2+ac>c2，即2--2<0，解得-1<<2，因定理及正弦定理可得cosC====，又因为sinB=sin(A+C)=代入tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得tanB=，所以++= ++=+，因为A∈(0所以tanA>0，所以+ 以++的最小值为.++=++=++=+≥.当且仅当11. .αα2<AB<6+2. 2+c2-b2) . 2+c2-b2)2+c2-b2)ca=c>ca=c>1tanAa1tanAa+=2. 66≥+b)2 +c的取值范围是()<B+30°< C以+=1，则4a+c=(4a++=5++≥5+2、·= +b2-c2(c+2-c2 .l=a+2c+=a+-+=+=3(a-1)+++≥32(a-1)×++，当且仅当a-1=时， A.2B.3C.2=．由S△ABC=acsinB=1+2，得ac=22+4．又b2=a2+c2-2accosB≥2ac-2ac=(2- .AC2=AD2+22-4AD·cos∠ADC，且(6-、2AC)2=AD2+22-4AD·cos∠ADB，∵∠ADB=π-2+(6-2AC)2=2AD2+8，∴AD2==，当33<B<30°, 【解析】A=3B⇒====5=a25()A.2-1B.2C.2+1D.2+2-2bccosA=a2=2bcsinA，令t=，于是t2+1-2tcosA=2tsinA．于是2tsinA+2tcosA=t2+1， 2A+sin2B-sinAsinB=sin2C，则a+b的取值范围为. sinB．又∵B=-A，∴a+b=sinA+sinB=sinA+-A(=77A.1B.C.3D.A.1B.C.3D. ABBCACsinA=sinB3sinA=4=ABBCACsinA=sinB3sinA=4=4，则AC+3BC=4sinB+43=以AC+3BC的最大值为47.A.3B.C.32D.A.3B.C.32D.A.B.C.D. 2+c2的取值范围是()cosA=C)=4sin2B+sin2(A+B)]=4+=、3sin2B-cos2B+4= =2sinC，又△ABC的周长l=BC+AB+AC=2sinA+2sinC+、3=2sin(120°-C)+2sinC+3 值为() 2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc33=332 2-(a-b)2【解析】S=c2-(a-b)2=c2-a2-bmax=. 2AsinB=2R2sinA-A(=2R2sinAcosA+sinA(=R2(sinAcosA+sin2A)=2.66A.4+53A.48+53B.4C.3D.4+52D. 2-b2=c2-bc，∴b2+c2-a2=bc，∴===2+c2- A.2B.2C.3D.3 2C.B.2C.B.42+c2-a2≥1-9=1-若AB=2，AC=2BC，则S△ABC的最大值为()A.22B.C.D.x1-cos2B128-(x2-12)2①,得S△ABC=x1-(128-(x2-12)2①,得S△ABC=x1-(42(2=A.B.C.2D.A.B.C.2D.2=b2+2c2的 弦定理或余弦定理即可解决．中等难度的问题要结合三角恒等变换再用正弦定理或余弦定理即可解决.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理 2=sin2A-sinBsinC.2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. +=，变形可得sinAsinB=si在△ABC中，由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC．所以sinAsinB=sinC.cosA==.所以sinB=cosB+sinB．故tanB==4. 可得sinCcosB+sinBcosC+sinC=2sinB，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.2=4b2-366a+b+ca+ca+ba+ca+b+ca+b+ca+ca+ba+ca+b+ca+b2+c2-a2=bc，++c-a2=，因为0<A<π,所以A=.tanB32tanB+cosA=tanB32tanB+cosA=+=+3，/3/3277=acsinB=ac．又S△ABC=2，则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×× 22+b2+ab=(a+b)2-ab=99故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB，于是sinB=sin(A-B).<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B，因此A=π(舍去)或A=2B，所以A=2B.当B+C=时，A=；当C-B=时，A=．综上，A=或A=. btanA得(2)解由sinC-sinAcosB=A+B)-sinAcosB=，∴cosAsinB=.sinB=，B=，∴C=π-(A+ 2+b2=λab. 因为0<A<，所以sinA<，所以sinA=.==1．又因为2-b2-c2).2-b2-c2)，2+c2-a2=-55ac=-5=asinA=、=asinA=、=6c2+c2-4c2=6=6c2+c2-4c2=6A-1=-，sin2A= -3 -32A.2A2A，解得cosA=或cosA=-2(舍去)．因为0<A<π,所以A=.