2024年高中数学课时达标检测二十二平面向量数量积的物理背景及其含义含解析新人教A版必修4

PAGE3-课时达标检测（二十二）平面对量数量积的物理背景及其含义一、选择题1．若非零向量a，b满意|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与bA．30° B．60°C．120° D．150°答案：C2．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是()A．矩形 B．菱形C．直角梯形 D．等腰梯形答案：B3．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(\r(3),2)答案：D4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满意＝2，则·(＋)等于()A.eq\f(4,9)B.eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(4,9)答案：A5.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝eq\r(3)，||＝1，则·等于()A．2eq\r(3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)答案：D二、填空题6．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·＝________.答案：167．已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝eq\r(7)，则a与b的夹角θ为________．答案：eq\f(2π,3)8．已知非零向量a，b，满意a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则eq\f(|a|,|b|)＝________.答案：eq\f(2\r(3),3)三、解答题9．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b(4)|a＋b|.解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－3；(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5；(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a|·|b|cos120°－3|b(4)|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(4－6＋9)＝eq\r(7).10．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝eq\r(3)|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在满意条件的θ，∵|a＋b|＝eq\r(3)|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2.∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|∴|a|2－4a·b＋|b|2∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ>0，,Δ＝4|b|cosθ2－4|b|2≥0，))解得cosθ∈[eq\f(1,2)，1]．又∵θ∈[0，π]，∴θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).故当θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))时，|a＋b|＝eq\r(3)|a－b|成立．11．已知|a|＝1，a·b＝eq\f(1,4)，(a＋b)·(a－b)＝eq\f(1,2).(1)求|b|的值；(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝eq\f(1,2).∵|a|＝1，∴1－|b|2＝eq\f(1,2)，∴|b|＝eq\f(\r(2),2).(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝1，∴|a＋b|＝eq\r(2)，|a－b|＝1.令a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a＋b