山东省淄博市桓台第一中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题含解析

PAGEPAGE20山东省淄博市桓台第一中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共12小题；每小题5分，共60分.）(一)单项选择题：1.已知复数，则下列说法正确的是（）A.复数的实部为3 B.复数的模为5C.复数部虚部为 D.复数的共轭复数为【答案】D【解析】【分析】依据复数的除法运算法则化简式子，然后依据实部、虚部、模以及共轭复数的概念，可得结果.【详解】由题可知：复数的实部为，虚部为，模为复数的共轭复数为，所以D正确故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算法则以及相关概念，重在对概念的理解以及计算，属基础题.2.某电视台在因特网上就观众对其某一节目的宠爱程度进行调查，参与调查的一共有20000人，其中各种看法对应的人数如表所示:最宠爱宠爱一般不宠爱4800720064001600电视台为了了解观众的具体想法和看法，准备从中抽选出100人进行更为具体的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（）A.24，36，32，8 B.48，72，64，16C.20，40，30，10 D.25，25，25，25【答案】A【解析】【分析】计算每类人应抽选出的人数之比，然后依据所占的比例分别与100相乘，即可得结果.【详解】每类人中各应抽选出的人数之比为,所以人数分别为选A.【点睛】本题考查分层抽样，关键在于每一类所占比例的求取以及对分层抽样概念的理解，属基础题.3.下列事务：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②明天下雨；③某人买彩票中奖；④从集合{1,2,3}中任取两个元素,它们的和大于2；⑤在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾．其中是随机事务的个数有A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】试题分析：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事务可能发生也可能不发生，∴①是随机事务．明天下雨这一事务可能发生也可能不发生，∴②是随机事务某人买彩票中奖这一事务可能发生也可能不发生，∴③是随机事务从集合{1，2，3}中任取两个元素，它们的和必大于2，∴④是必定事务在标准大气压下，水加热到100℃时才会沸腾，∴⑤是不行能事务考点：随机事务4.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得.【详解】由图可知：=+，=，=﹣，=+，=，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故选B．【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理实力与计算实力，属于中档题．5.已知cos(x―)=―，则cosx+cos(x―)的值是A.― B.± C.―1 D.±1【答案】C【解析】∵cos(x―)=cosx+sinx=―，∴cosx+cos(x―)=cosx+sinx=（cosx+sinx）=×（―）=-1，故选C6.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得外接球的直径等于,所以表面积为,选D.点睛:(1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟识的几何体中，奇妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题干脆求解较难入手时，常用该法．7.调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不确定正确的是（）A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多D.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多【答案】C【解析】【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可推断各选项的真假．【详解】在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故正确；在中，互联网行业中90后从事技术岗位中所占比例为，互联网行业中从事技术岗位的人数还包括80后，80前，所以互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，是确定的，故正确；在中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%×39.6%=22.176%<41%，所以不能推断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多，故错误．在中,互联网行业中从事运营岗位的90后人数所占比例，故正确；故选．【点睛】本题考查命题真假的推断，考查饼状图、条形图的性质等基础学问，考查运算求解实力，是基础题．8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对随意实数总有成立，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论.【详解】，，周期，又存在实数，对随意实数总有成立，，的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及协助角公式的应用，属于难题.利用该公式可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.9.下列说法中，正确的是（）A.频率反映随机事务的频繁程度，概率反映随机事务发生的可能性大小；B.频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依靠于试验次数的理论值；C.做次随机试验，事务发生次，则事务发生的频率就是事务的概率；D.频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值.【答案】ABD【解析】【分析】依据频率、概率的概念，可得结果.【详解】频率是在一次试验中某一事务出现的次数与试验总数的比值，随某事务出现的次数而改变概率指的是某一事务发生的可能程度，是个确定的理论值故选：ABD【点睛】本题主要考查频率、概率的概念，属基础题.10.设为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.，则【答案】C【解析】【分析】依据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】A选项中，可能异面；B选项中，也可能平行或相交；D选项中，只有相交才可推出.C选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直.故选：C【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性推断，属于基础题.11.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点E，则下列推断正确的是（）A.E为的中点B.平面C.与所成的角为D.三棱锥与四棱锥的体积之比等于【答案】ABD【解析】【分析】采纳解除法，依据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角，椎体体积公式的计算，可得结果.【详解】连接交于点连接，如图因为四边形是正方形，所以为的中点又//平面，平面，且平面平面所以//，所以为的中点，故A正确由底面，底面，所以，又，，平面所以平面，故B正确与所成的角即与所成的角，即故C错，又，所以，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查立体几何的综合应用，娴熟线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析实力，属基础题.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是以为最小正周期的周期函数B.的值域是C.在区间上单调递增D.在上有2个零点【答案】BD【解析】【分析】采纳数形结合，并逐一验证可得结果.【详解】依据题意，画出函数在的图象，如图所示依据图像可知，函数是以为最小正周期的周期函数，A错函数的值域是，B对在区间上单调递增，在单调递减，C错函数在上有2个零点，分别是，D对故选：BD【点睛】本题主要考查函数的性质，本题关键在于能画出函数图形，形是数的载体，通俗易懂，形象直观，属中档题.二、填空题（共4小题；共20分.）13.如图所示，用三类不同的元件接成系统，若元件、、正常工作的概率分别为、、，那么系统正常工作的概率为________________.【答案】【解析】【分析】由元件正常工作，元件、至少有一个正常工作，可得出系统正常工作，结合独立事务的概率乘法公式可求得所求事务的概率.【详解】由元件正常工作，元件、至少有一个正常工作，可得出系统正常工作，所以，系统正常工作的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查利用独立事务的概率乘法公式计算事务的概率，考查计算实力，属于基础题.14.已知样本的平均数与方差分别是1和4，若，且样本的平均数与方差也分别是1和4，则________________.【答案】【解析】【分析】由样本的平均数和方差分别是1和4，的平均数和方差也是1和4,得到a,b的关系式，由此能求出.【详解】因为样本的平均数与方差分别是1和4，的平均数与方差也分别是1和4，所以，解得或，，故答案为：1【点睛】本题主要考查代数式求值，考查平均数、方差的性质，考查运算求解实力，属于中档题.15.在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___.【答案】(1).1(2).【解析】【分析】由正弦定理，结合，，可求出；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.【详解】因为，所以由正弦定理可得，所以;所以，当，即时，三角形面积最大.故答案为(1).1(2).【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.16.已知四边形为矩形,,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①平面，且的长度为定值；②三棱锥的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得.其中正确命题的序号为__________．（写出全部正确结论的序号）【答案】①②【解析】【分析】取中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得出，可推断出命题①的正误；由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，并由平面平面，得出三棱锥体积的最大值，可推断出命题②的正误；取的中点，连接，由，结合得出平面，推出得出冲突，可推断出命题③的正误.【详解】如下图所示：对于命题①，取的中点，连接、，则，，，由勾股定理得，易知，且，、分别为、的中点，所以，，四边形为平行四边形，，，平面，平面，平面，命题①正确；对于命题②，由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，当平面平面时，三棱锥体积取最大值，取的中点，则，且，平面平面，平面平面，，平面，平面，的面积为，所以，三棱锥的体积的最大值为，则三棱锥的体积的最大值为，命题②正确；对于命题③，，为的中点，所以，，若，且，平面，由于平面，，事实上，易得，，，由勾股定理可得，这与冲突，命题③错误故答案为①②.【点睛】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，推断这些命题时依据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，须要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象实力，考查逻辑推理实力，属于难题.三、解答题（共6小题，17题10分，其余各题12分，共70分.）17.己知向量是同一平面内的三个向量，其中（Ⅰ）若，且，求向量的坐标；（Ⅱ）若是单位向量，且，求与的夹角.【答案】(Ⅰ)，或;(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）设向量的坐标为,运用向量模的公式和向量共线的坐标表示，解方程即可得到向量的坐标；（Ⅱ）运用向量垂直的条件：数量积为，可求得，由向量的夹角公式，计算即可得到所求夹角.【详解】（Ⅰ）设，由，且可得所以或故，或（Ⅱ）因为，且，所以，即，所以，故，.18.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当[,]时，求的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）的最小正周期为.（Ⅱ）时，取最大值；时，取最小值.【解析】(I)先通过三角恒等变换公式把f(x)转化成,再求周期.(2)依据左加右减，上加下减的原则先确定,再求特定区间上的最值即可.（Ⅰ）,所以函数的最小正周期为.（Ⅱ）依题意,[]因为，所以.当，即时，取最大值；当，即时，取最小值.19.已知的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将边化角，利用两角和的正弦公式，简洁计算即可得结果.（2）依据（1）条件，运用面积公式，可得，然后运用余弦定理可得，进一步可得结果.【详解】(1)由已知及正弦定理得,，即，故.可得，所以.（2）由已知.又，所以.由已知及余弦定理得，故，从而.所以的周长为【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，熟记公式，细心计算，属基础题.20.某校从参与高三模拟考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成果（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图．视察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率，补全这个频率分布直方图，并据此估计本次考试的平均分；（2）用分层抽样的方法，在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段内的概率【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）首先可以计算出除了之外的其他分数段的频率，然后计算出分数在内的频率，再用频率除以组距即可，然后用每一分数段的中间数乘以每一分数段的概率再相加即可得出平均分；（2）首先算出在以及两个分数段中抽取的人数，然后列出从中任取2个的全部可能的事务，并找出满意题目要求的事务，即可得出结果．【详解】（1）分数在内的频率为，（直方图略），平均分为：，（2）由题意，分数段的人数为：人，分数段的人数为：人，因为用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，抽样比，所以需在分数段内抽取人，并分别记为；在分数段内抽取人并分别记为；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段内”为事务A，则基本领件有：共15种．事务A包含的基本领件有：（共种，所以．【点睛】本题考查了频率分布直方图以及概率，在计算频率分布直方图类的题目时要留意图表中所供应的信息，留意纵坐标是“频率除以组距”，考查计算实力与推理实力，是中档题．21.如图，在三棱锥中，平面平面，，．设，分别为，中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）试问在线段上是否存在点，使得过三点，，的平面内的任一条直线都与平面平行？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）