河北省邢台市巨鹿中学2024-2025学年高一数学上学期第三次月考试题含解析

PAGE河北省邢台市巨鹿中学2024-2025学年高一数学上学期第三次月考试题（含解析）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分别计算集合，再求即可．【详解】因为，，所以．故选：C2.函数的零点是（）A.， B.， C.2，4 D.，【答案】D【解析】【分析】干脆解方程，即可得到答案．【详解】由题知：令，即，解得，，所以函数的零点是，．故选：D3.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据2的范围，求得的范围，依据幂函数、指数函数、对数函数的单调性，即可求得a，b，c的范围，即可得答案.【详解】因为，所以，所以，即，，即，，即，所以.故选：A.4.溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是（）（参考数据：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据对数运算以及的定义求得此时胃酸的值.【详解】依题意.故选：C【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.5.函数y＝2x－x2的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用解除法，依据，函数有两个零点2，4，可解除B,C，然后取值-1，简洁推断可得结果.【详解】由题可知，令，则或，可解除B,C令，则，可解除D，故A正确故选：A【点睛】本题考查推断函数的图象，还考查了求解函数的零点，细心视察，简洁计算，运用特别值，简洁明白，属基础题.6.已知，，则“”的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据必要不充分条件的定义，结合指数函数、对数函数的定义分别进行推断即可．【详解】由，得，.当时，，当时，不能得到，故是“”的一个必要不充分条件；.当时，，故不是“”的一个必要不充分条件，当时，不肯定成立，不满意条件..当时，，则不成立，故选：.7.若，则=（）A. B.2 C.3 D.【答案】D【解析】【分析】令和，分别解得和，代入对应的解析式，即可得答案.【详解】令，因为，则，令，则，所以，所以=，故选：D8.已知，若是方程的两根，则（）A.或 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据韦达定理可得的和与积关系,再依据推断的范围.再代入两角和的正切公式求解,推断的大小即可.【详解】因为是方程的两根可得.所以均正数,又,故所以.又.故.故选：C【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式的运用,包括依据正切值范围求解角度范围的方法等.属于中等题型.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.下列函数中，在其定义域内是偶函数有（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】先求定义域，后依据奇偶性定义推断即可.【详解】对于A，，，是奇函数；对于B，，，是非奇非偶函数；对于C，由得，或，，是偶函数；对于D，，，偶函数；故选：CD.【点睛】此题考推断函数奇偶性的方法，属于简洁题.10.下列各式中值为的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用三角函数的两角和差公式，以及二倍角公式，逐个选项验证，即可求解【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，，，C错误；对于D，，D正确；故选：BD【点睛】方法点睛：本题主要考查三角函数的两角和差公式，以及二倍角公式，运用到的公式有：，，，，本题难度属于中档题11.给出下列结论，其中正确的结论是（）A.函数在中存在零点，用二分法求零点时，若要求精确度为0．01，则运算次数至多为7次B.已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是C.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称D.若，则的值为1【答案】ACD【解析】【分析】依据二分法的精确度，代入公式，即可推断A的正误；依据a的范围，可得为减函数，依据x的范围，可求得a的范围，分别探讨和两种状况，分析即可推断B的正误；依据与互为反函数，即可推断C的正误；依据题意，可求得a，b的值，依据对数的运算性质，即可推断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：二分法精确度为，所以，可得，故至多运算7次，故A正确；对于B：因为，所以为减函数，所以，解得，当时，在上单调递增，故舍去，当时，在上单调递减，满意题意，所以实数的取值范围是，故B错误；对于C：函数与互为反函数，所以函数与的图象关于直线对称，故C正确；对于D：因为，所以，因为，所以，所以，故D正确.故选：ACD12.已知函数，则下列推断错误的是（）A.函数的图象关于直线对称B.要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位C.当时，函数最小值为D.函数在上单调递减【答案】AC【解析】【分析】利用正弦型函数的图象性质，逐一推断即可得出结果.【详解】A.令，故A错误；B.向右平移个单位可得：，故B正确；C.，所以函数，故C错误；D.令当，函数单调递减，所以单调递减，故D正确.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则扇形中心角的弧度数为______．【答案】3【解析】【分析】设这个扇形中心角的弧度数为，半径为．利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．【详解】设这个扇形中心角的弧度数为，半径为．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，且，解得，故答案为：314.已知，且，则______．【答案】【解析】【分析】用同角间的三角函数关系计算，用诱导公式化简后再计算．然后计算，可得．【详解】∵，且，∴，∴故答案为：．【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最终才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应留意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．15.已知，，，，则______．【答案】【解析】【分析】依据三角函数的诱导公式得到，用已知角表示未知角，即，按公式绽开即可．【详解】∵，∴，又∵，∴.∵，∴，又∵，∴.∵∴，∴.故答案为：【点睛】方法点睛：给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”绽开，看须要求相关角的哪些三角函数值，然后依据角的范围求出相应角的三角函数值，代入绽开式即可．16.若函数的值域为，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】问题转化为可以取全部正数，且，由分类探讨和基本不等式可得.【详解】∵函数的值域为，，且，当时，，故只需即可，解不等式可得，综上可得的取值范围为：且.故答案为：.【点睛】本题考查对数函数的性质，涉及恒成立问题和基本不等式求最值，属中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，在平面直角坐标系中，角的终边在其次象限与单位圆交于点．（1）若点的横坐标为，求的值．（2）若将绕点逆时针旋转，得到角（即），若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用点的坐标，得出三角函数值，由齐次式求值即可；（2）利用两角差的正切公式求值即可．【详解】（1）∵在单位圆上，且点的横坐标为，可求得纵坐标为，所以，．（2）由题知，则则18.设，且．（1）求的值及的定义域；（2）求在区间上的最值．【答案】（1），；（2）函数在区间上的最小值是，无最大值．【解析】【分析】（1）依据，代入数据，即可求得a值，即可求得解析式，依据真数大于0，即可求得定义域.（2）由（1）得，令，依据x的范围，即可求得t的范围，结合的单调性，即可求得答案.【详解】（1）由题意得：，因为，解得，所以，所以，解得，所以函数的定义域为；（2）由（1）得，令，由得：，则原函数为，，由于函数在上单调递减，所以，因此，函数在区间上的最小值是，无最大值．【点睛】解题的关键是娴熟驾驭对数函数的定义域、值域的求法、考查分析理解，计算求值的实力，属基础题.19.已知函数（且）的图象恒过点，点在函数的图象上．（1）求的最小值；（2）若，当时，求的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）依据对数函数的性质求出，从而可得，再利用基本不等式即可求解.（2）依据对数函数的性质可得，令，再利用二次函数的性质即可求解.【详解】（1）因为，可得，所以函数的图象恒过点因为在函数的图象上．所以所以因为，所以，所以（当且仅当，时等号成立）所以当，时，最小值为．（2）当时，因为在上单调递增，所以当时，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以当时，；当时，，故所求函数的值域为．20.已知函数，（1）求的最小正周期；（2）求的单调递减区间；（3）求在区间上的取值范围．【答案】（1）；（2），；（3）．【解析】【分析】（1）依据二倍角公式、协助角公式，化简可得，依据最小正周期公式，即可求得答案.（2）由，，可求得x的范围，即可求得的单调递减区间.（3）依据x的范围，求得的范围，结合余弦型函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）由已知可得．所以的最小正周期为．（2）令，函数的单调递减区间是，．所以，，解得，所以的单调递减区间为，．（3）因为，所以，当或时，，当时，，所以，所以，即在区间上的取值范围是．21.某同学在做探讨性学习时发觉，在邢台大峡谷景区，每年到访的游客人数会发生周期性的改变．现假设该风景区每年各个月份游客的人数（单位：万人）可近似地用函数来刻画．其中：正整数表示月份且，例如时表示二月份；和是正整数；．统计发觉，风景区每年各个月份游客人数有以下规律：①每一年相同的月份，该风景区游客人数大致相同；②该景区游客人数最多的八月份和最少的二月份相差约400000人；③二月份该风景区游客大约为100000人，随后渐渐增加，八月份达到最多．（1）试依据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；（2）一般地，当该地区游客超过400000人时，该风景区也进入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪几个月是该风景区的旅游“旺季”？请说明理由．【答案】（1）；（2）一年中的7，8，9，10四个月是该风景区的旅游“旺季”，理由见解析．【解析】【分析】（1）由实际问题的周期性且周期为、淡旺季数据，结合数学模型即可求，，进而可得表达式；（2）由（1）结合已知条件即可求出的范围，结合实际条件即可知旺季所含月份．【详解】（1）依据三条规律，可知该函数为周期函数且周期为12，可得，即，由规律②③可知，，解得：，综上可得，；（2）由条件，，可得∴，，即，又，，所以，，故：，8，9，10，即一年中的7，8，9，10四个月是该风景区的旅游“旺季”．【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的实际应用，结合已知数据求数学模型，并利用模型求参数范围是解题的关键．22.已知，（1）某同学解决问题“若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围”时，做出如下解答：由，解得，所以，实数的取值范围是．上述解答正确吗？若正确，请给出理由；若不正确，请给出正确的解答过程．（2）若函数在区间内至多有一个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）不正确，答案见解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用零点存在性定理的内容可知不正确，再结