2024-2025学年新教材高中数学第五章数列5.3等比数列5.3.2.1等比数列的前n项和课时素养检测含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE九等比数列的前n项和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1= ()A.4 B.-4 C.2【解析】选A.由S5=QUOTE=QUOTE=44,所以a1=4.2.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于 ()A.2 B.QUOTE C.4 D.QUOTE【解析】选C.a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得a4-a3=3a3,即a4=4a3,所以q=4.3.已知{an}是正项等比数列,a1+a2=3,a3+a4=12,则该数列的前5项和等于()A.15 B.31 C.63【解析】选B.设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),因为a1+a2=3,a3+a4=12,即QUOTE,解得a1=1,q=2,所以数列{an}的前5项和为S5=QUOTE=31.4.在等比数列{an}中,已知S30=13S10,S10+S30=140,则S20等于 ()A.90 B.70 C.40 【解析】选C.因为S30≠3S10,所以q≠1.由QUOTE得QUOTE所以QUOTE所以q20+q10-12=0,所以q10=3,所以S20=S10(1+q10)=10×(1+3)=40.5.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N*,满意QUOTE=9,QUOTE=QUOTE,则数列{an}的公比为 ()A.-2 B.2 C.-3 D.3【解析】选B.设公比为q,若q=1,则QUOTE=2,与题中条件冲突,故q≠1.因为QUOTE=QUOTE=qm+1=9,所以qm=8.所以QUOTE=QUOTE=qm=8=QUOTE,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.6.记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则QUOTE等于 ()A.-3 B.5 C.-31【解析】选D.由题意知公比q≠1,QUOTE=QUOTE=1+q3=9,所以q=2,QUOTE=QUOTE=1+q5=1+25=33.二、填空题(每小题5分,共10分)7.等比数列{an}共2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=________.

【解析】依据题意得QUOTE所以QUOTE所以q=QUOTE=QUOTE=2.答案:28.已知首项为1的等比数列{an}是摇摆数列,Sn是{an}的前n项和,且QUOTE=5,则数列QUOTE的前5项和为________.

【解析】QUOTE=QUOTE=1+q2=5,q=±2.因为{an}是摇摆数列,所以q=-2.所以QUOTE首项为1,公比为-QUOTE,前5项和为QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列{an}是一个递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8,求数列{an}的前n项和Sn【解析】因为{an}是递增的等比数列,由a1+a4=9,a2a3=a1a4=8,得a1=1,a4=8,所以q3=QUOTE=8,所以q=2,所以Sn=QUOTE=2n-1.10.已知{an}是以a为首项,q为公比的等比数列,Sn为它的前n项和.(1)当S1,S3,S4成等差数列时,求q的值;(2)当Sm,Sn,Sl成等差数列时,求证:对随意自然数k,am+k,an+k,al+k也成等差数列.【解析】(1)由已知,得an=aQUOTE,因此S1=a,S3=a(1+q+q2),S4=a(1+q+q2+q3).当S1,S3,S4成等差数列时,S4-S3=S3-S1,可得aq3=aq+aq2,化简得q2-q-1=0.解得q=QUOTE.(2)若q=1,则{an}的各项均为a,此时am+k,an+k,al+k明显成等差数列.若q≠1,由Sm,Sn,Sl成等差数列可得Sm+Sl=2Sn,即QUOTE+QUOTE=QUOTE,整理得qm+ql=2qn.因此am+k+al+k=aQUOTE(qm+ql)=2aQUOTE=2an+k,所以am+k,an+k,al+k成等差数列.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.设等比数列{bn}的前n项和为Sn,若QUOTE=7,则QUOTE= ()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由等比数列前n项和性质可知:S3,S6-S3,S9-S6成等比数列.设S3=k,则S6=7k,所以QUOTE=QUOTE=6,所以QUOTE=6,即S9-S6=36k,所以S9=43k,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初日健步不犯难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公细致算相还”.其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从其次天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为()A.6里 B.12里 C.24里 D.48里【解析】选B.记每天走的路程里数为{an},由已知{an}是公比为QUOTE的等比数列,由S6=QUOTE=378,解得a1=192,所以a5=192×QUOTE=12(里).【补偿训练】(2024·全国卷Ⅰ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 ()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【解析】选B.塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由QUOTE=381,得x=3.3.在等比数列{an}中,对随意n∈N*,a1+a2+…+an=2n-1,则QUOTE+QUOTE+…+QUOTE等于()A.(2n-1)2 B.QUOTE C.4n-1 D.QUOTE【解析】选D.因为a1+a2+…+an=2n-1,所以a1=21-1=1.因为a1+a2=1+a2=22-1=3,所以a2=2,所以{an}的公比为2.所以{QUOTE}的公比为4,首项为QUOTE=1.所以QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE=QUOTE.4.设等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*),已知am-1·am+1-2am=0,且T2m-1=128,则m的值为 ()A.4 B.7 C.10 【解析】选A.因为{an}是等比数列,所以am-1·am+1=QUOTE,又由am-1am+1-2am=0,可知am=2.由等比数列的性质可知前(2m-1)项积T2m-1=QUOTE,即22m-1=128,故m=4.二、填空题(每小题5分,共20分)5.(2024·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=QUOTE,QUOTE=a6,则S5=__________.

【解析】设等比数列的公比为q,由已知a1=QUOTE,QUOTE=a6,所以QUOTE=QUOTEq5,又q≠0,所以q=3,所以S5=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.数列{an}满意:a1=QUOTE,且an+1=QUOTE(n∈N*),则QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=________.

【解析】由题意可知QUOTE=QUOTE+QUOTE·QUOTE,即QUOTE-1=QUOTE,又QUOTE-1=-QUOTE,所以QUOTE=1-QUOTE,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=n-QUOTE=n-QUOTE+QUOTE·QUOTE,则QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=2018-QUOTE+QUOTE×QUOTE=2017QUOTE+QUOTE.答案:2017QUOTE+QUOTE7.已知数列{an}的前n项和Sn=3(2n-1),数列{bn}的通项公式为bn=5n-2.数列{an}和{bn}的全部公共项按从小到大的依次构成数列{cn}.若数列{cn}的第n项恰为数列{an}的第kn项,则数列{kn}的前32项的和是________.

【解析】当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3(2n-1)-3(2n-1-1)=3×2n-1,当n=1时,a1=S1=3,所以an=3×2n-1.令at=bs,所以3×2t-1=5s-2,则s=QUOTE.t=1,s=1,符合题意;t=2,s=QUOTE,不合题意;t=3,s=QUOTE,不合题意;t=4,s=QUOTE,不合题意;t=5,s=10,符合题意;…;所以{kn}是以1为首项,4为公差的等差数列,所以数列{kn}的前32项之和为32×1+QUOTE×4=2016.答案:20168.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满意b1=1,b2=QUOTE,anbn+1+bn+1=nbn.则{an}的通项公式为________;{bn}的前n项和Sn=________.

【解析】由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=QUOTE,得a1=2.所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.结合anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=QUOTE,因此{bn}是首项为1,公比为QUOTE的等比数列.则Sn=QUOTE=QUOTE-QUOTE.答案:an=3n-1(n∈N*)QUOTE-QUOTE(n∈N*)三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知数列{an}满意an+1=3an+2(n∈N*),且a1=2.(1)求证:数列{an+1}是等比数列.(2)求数列{an}的前n项和Sn.【解析】(1)因为QUOTE=QUOTE=3,a1+1=3,所以{an+1}是首项为3,公比为3的等比数列.(2)由(1)可得an+1=3n,所以an=3n-1.Sn=QUOTE-n=QUOTE-n.10.已知等差数列{an}满意a7=4,a11=6.(1)求{an}的通项公式an.(2)设等比数列{bn}满意b1=a3,b4=a31,求{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)由题意,设等差数列的公差为d,可得QUOTE,解得QUOTE,故{an}的通项公式an=1+QUOTE=QUOTE.(2)由(1)得b1=a3=2,b4=a31=16.设{bn}的公比为q,则q3=QUOTE=8,所以q=2,所以数列{bn}的前n项和为Tn=QUOTE=2n+1-2.11.在数列{an}中,a1=1,当n>1时,2an+anan-1-an-1=0,数列{an}的前n项和为Sn.求证:(1)数列{QUOTE+1}是等比数列.(2)Sn<2.【证明】(1)方法一(定义法):因为a1=1,当n>1时,2an+anan-1-an-1=0,易知an≠0,所以an(2+an-1)=an-1,an=QUOTE,QUOTE=QUOTEQUOTE+1=QUOTE+1=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=2,又因为QUOTE+1=2,所以QUOTE是首项为2,公比为2的等比数列.方法二(构造新数列):因为a1=1,当n>1时,2an+anan-1-an-1=0,易知an≠0,两边同时除以anan-1得QUOTE+1-QUOTE=0,整理得QUOTE-2QUOTE=1,所以QUOTE+1=2QUOTE,即QUOTE=2(常数),又因为QUOTE+1=2,所以{QUOTE+1}是首项为2,公比为2的等比数列.方法三(换元法):因为a1=1,当n>1时,2an+anan-1-an-1=0,易知an≠0,两边同时除以anan