河南省郑州市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题含解析

PAGE河南省郑州市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）.1．假如α＝﹣2，则α终边所在象限为（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限2．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…599，600从中抽取60个样本，现供应随机数表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若从表中第6行第6列起先向右依次读取3个数据，则得到的第7个样本编号（）A．522 B．324 C．535 D．5783．下列四个数中，数值最小的是（）A．25（10） B．54（4） C．10110（2） D．10111（2）4．掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在打算掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为1.25米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（）（参考数据：）A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米5．已知sinθ＝3cosθ，则＝（）A． B． C． D．6．下列说法中正确的是（）A．若事务A与事务B是互斥事务，则P（A）+P（B）＝1 B．若事务A与事务B满意条件：P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，则事务A与事务B是对立事务 C．一个人打靶时连续射击两次，则事务“至少有一次中靶”与事务“至多有一次中靶”是对立事务 D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事务“甲分得红牌”与事务“乙分得红牌”是互斥事务7．已知△ABC的边BC上有一点D满意，则可表示为（）A． B． C． D．8．如图程序框图是为了求出满意3n﹣2n＞2024的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞2024和n＝n+1 B．A＞2024和n＝n+2 C．A≤2024和n＝n+1 D．A≤2024和n＝n+29．已知，，那么等于（）A． B． C． D．10．2024年某省实施新的“3+1+2”高考改革方案，“3”即为语文、数学、英语3科必选，“1”即为从物理和历史中任选一科，“2”即为从化学、生物、地理、政治中任选2科，则该省某考生选择全理科（物理、化学、生物）的概率是（）A． B． C． D．11．已知单位向量，满意⊥，若向量＝+，则向量与向量夹角的正弦值为（）A． B． C． D．12．已知函数在一个周期内的图象如图所示．则y＝f（x）的图象，可由函数y＝cosx的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（）A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 B．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位 C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为．14．已知＝（2，0），＝（1，2），实数λ满意||＝，则λ＝．15．甲、乙两名学生的六次数学测验成果（百分制）的茎叶图如图所示．①甲同学成果的中位数小于乙同学成果的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成果的方差小于乙同学成果的方差．上面说法正确的是．16．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满意，则的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共6小题，共70分.17．已知，是平面内两个不共线的非零向量＝2+，＝﹣+λ，＝﹣2+，且A，E，C三点共线．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）若＝（2，1），＝（2，﹣2），求的坐标；（Ⅲ）已知D（3，5），在（Ⅱ）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针依次构成平行四边形，求点A的坐标．18．某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员．依据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（I）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）若采纳分层抽样的方式从评分在[40，60），[60，80），[80，100]的公司职员中抽取10人，则评分在[60，80）内的职员应抽取多少人？（Ⅲ）该公司规定：假如职员对公司餐厅服务质量的评分低于75分，将对公司餐厅进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分的平均分，并据此回答餐厅是否须要进行内部整顿．19．设函数（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）若，且，求sin2α的值．（Ⅲ）画出函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象（完成列表并作图）．20．某同学在一次探讨性学习中发觉，以下四个式子的值都等于同一个常数：①sin212°+cos242°+sin12°cos42°；②sin215°+cos245°+sin15°cos45°；③sin220°+cos250°+sin20°cos50°；④sin230°+cos260°+sin30°cos60°．（Ⅰ）试从上述式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）依据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发觉推广为三角恒等式，并证明你的结论．21．如图，单位圆O：x2+y2＝1与x轴的非负半轴相交于点P，圆O上的动点Q从点P动身沿逆时针旋转一周回到点P，设∠POQ＝x（0≤x＜2π），△OPQ的面积为y（当O，P，Q三点共线时，y＝0），y与x的函数关系为如图所示的程序框图．（Ⅰ）写出程序框图中①②处的函数关系式；（Ⅱ）若输出的y值为，求点Q的坐标．22．设某城市的公交公司为了便利市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流淌地段增个起点站，为了探讨车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间x（分钟）101112131415等候人数y（人）232526293032调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回来方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回来方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的肯定值不超过1，则称所求方程是“恰当回来方程”．（Ⅰ）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是前面4组数据，求y关于x的线性回来方程，并推断程是否是“恰当回来方程”．附：回来直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣，．

参考答案一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）.1．假如α＝﹣2，则α终边所在象限为（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限解：∵，∴α终边所在象限为第三象限．故选：C．2．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…599，600从中抽取60个样本，现供应随机数表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若从表中第6行第6列起先向右依次读取3个数据，则得到的第7个样本编号（）A．522 B．324 C．535 D．578解：第6行第6列的数起先的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578，324；所以抽取的7个编号为436，535，577，348，522，578，324；即第7个样本编号为324．故选：B．3．下列四个数中，数值最小的是（）A．25（10） B．54（4） C．10110（2） D．10111（2）解：∵对于B，54（4）＝20+4＝24（10）；对于C，10110（2）＝0+2+4+16＝22（10）；对于D，10111（2）＝1+2+4+16＝23（10）；故四个数中10110（2）最小，故选：C．4．掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在打算掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为1.25米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（）（参考数据：）A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米解：依据题意作出下图，弧AD的长为，，所以．故选：B．5．已知sinθ＝3cosθ，则＝（）A． B． C． D．解：因为sinθ＝3cosθ，所以＝sin2θ＝＝＝．故选：C．6．下列说法中正确的是（）A．若事务A与事务B是互斥事务，则P（A）+P（B）＝1 B．若事务A与事务B满意条件：P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，则事务A与事务B是对立事务 C．一个人打靶时连续射击两次，则事务“至少有一次中靶”与事务“至多有一次中靶”是对立事务 D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事务“甲分得红牌”与事务“乙分得红牌”是互斥事务解：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事务“甲分得红牌”与事务“乙分得红牌”由互斥事务和对立事务的概念可推断两者不行能同时发生，故它们是互斥事务，故选：D．7．已知△ABC的边BC上有一点D满意，则可表示为（）A． B． C． D．解：因为△ABC的边BC上有一点D满意，所以，则，所以＝，故选：A．8．如图程序框图是为了求出满意3n﹣2n＞2024的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞2024和n＝n+1 B．A＞2024和n＝n+2 C．A≤2024和n＝n+1 D．A≤2024和n＝n+2解：∵程序框图为当型循环，∴当A满意条件，才会进行循环，明显推断框中，不能填A＞2024，故解除A、B，∵输出n为偶数，且n的初始值为0，∴处理框中应填n＝n+2．故选：D．9．已知，，那么等于（）A． B． C． D．解：由于，，所以tan（）＝tan[（α+β）﹣（）]＝＝．故选：A．10．2024年某省实施新的“3+1+2”高考改革方案，“3”即为语文、数学、英语3科必选，“1”即为从物理和历史中任选一科，“2”即为从化学、生物、地理、政治中任选2科，则该省某考生选择全理科（物理、化学、生物）的概率是（）A． B． C． D．解：“3+1+2”高考改革方案，“3”即为语文、数学、英语3科必选，“1”即为从物理和历史中任选一科，“2”即为从化学、生物、地理、政治中任选2科，基本领件总数n＝＝12，该省某考生选择全理科（物理、化学、生物）包含的基本领件个数m＝1，则该省某考生选择全理科（物理、化学、生物）的概率是P＝＝．故选：D．11．已知单位向量，满意⊥，若向量＝+，则向量与向量夹角的正弦值为（）A． B． C． D．解：依据题意，设向量与向量夹角为θ，向量＝+，则||＝＝3，•＝2+•＝，则有cosθ＝＝，又由0≤θ≤π，则sinθ＝＝；故选：B．12．已知函数在一个周期内的图象如图所示．则y＝f（x）的图象，可由函数y＝cosx的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（）A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 B．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位 C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位解：由图知，A＝1，最小正周期T＝4×[﹣（﹣）]＝π，∴T＝＝π，即ω＝2，把点（，1）代入函数中，有1＝sin（2•+φ），∴+φ＝+2kπ，k∈Z，即φ＝+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝，∴函数f（x）＝sin（2x+）＝sin（2x﹣+）＝cos（2x﹣）＝cos2（x﹣），函数y＝cosx的图象横坐标缩短为原来的，得到y＝cos2x，再将其向右平移个单位，得到y＝cos2（x﹣）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为5．解：依据题意，设黑色部分的面积为S，正方形二维码的边长为3，则其面积S′＝3×3＝9，则有＝＝1﹣，解可得S＝5，故答案为：5．14．已知＝（2，0），＝（1，2），实数λ满意||＝，则λ＝或1．解：∵；∴由得，λ2﹣4λ＝5；∴5λ2﹣4λ﹣1＝0；解得或1．故答案为：．15．甲、乙两名学生的六次数学测验成果（百分制）的茎叶图如图所示．①甲同学成果的中位数小于乙同学成果的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成果的方差小于乙同学成果的方差．上面说法正确的是①③④．解：依据茎叶图中数据知，对于①，甲同学成果的中位数是×（80+82）＝81，乙同学成果的中位数是×（87+88）＝87.5，所以甲的中位数小于乙的中位数，①正确；对于②，甲同学的平均分为×（72+76+80+82+86+90）＝81，乙同学的平均分为×（69+78+87+88+92+96）＝85，所以甲同学的平均分比乙同学的平均分低，②错误；对于③，甲同学的平均分比乙同学的平均分低，③正确；对于④，计算甲的方差为×[（﹣9）2+（﹣5）2+（﹣1）2+12+52+92]＝，乙的方差为×[（﹣16）2+（﹣7）2+22+32+72+112]＝，所以甲的方差小于乙的方差，④正确．所以正确的命题序号是①③④．故答案为：①③④．16．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满意，则的取值范围是．解：如图：设圆心为O，由圆的性质以及，可设∠MPO＝∠MPN＝α，，连接OP，OM，ON，则OP＝OM＝ON＝1，且PM＝PN＝2cosα，即，∠MPN＝2α，所以＝4cos2α•cos2α＝2（1+cos2α）•cos2α＝2（cos2α）2+2cos2α＝，cos2α∈（﹣1，1），由二次函数的性质可知：当cos2α→1时，原式→4，当时，原式取得最小值，故的取值范围是．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共6小题，共70分.17．已知，是平面内两个不共线的非零向量＝2+，＝﹣+λ，＝﹣2+，且A，E，C三点共线．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）若＝（2，1），＝（2，﹣2），求的坐标；（Ⅲ）已知D（3，5），在（Ⅱ）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针依次构成平行四边形，求点A的坐标．解：（Ⅰ），因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，即，得，因为，是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得，；（Ⅱ）；（Ⅲ）因为A，B，C，D四点按逆时针依次构成平行四边形，所以，设A（x，y），则，因为，所以，解得，即点A的坐标为（10，7）．18．某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员．依据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（I）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）若采纳分层抽样的方式从评分在[40，60），[60，80），[80，100]的公司职员中抽取10人，则评分在[60，80）内的职员应抽取多少人？（Ⅲ）该公司规定：假如职员对公司餐厅服务质量的评分低于75分，将对公司餐厅进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分的平均分，并据此回答餐厅是否须要进行内部整顿．解：（Ⅰ）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10＝1，解得a＝0.006．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，评分在[40，60），[60，80），[80，100]内公司职员人数之比为：（0.004+0.006）×10：（0.022+0.028）×10：（0.022+0.018）×10＝1：5：4，所以评分在[60，80）内的公司职员应抽取（人）．（Ⅲ）由题中数据可得公司职员对餐厅服务质量评分的平均分为：×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10＝76.2．因为76.2＞75．所以餐厅不须要内部整顿．19．设函数（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）若，且，求sin2α的值．（Ⅲ）画出函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象（完成列表并作图）．解：（Ⅰ）∵函数，∴．∴ω＝2．∴函数的解析式为：，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由，即sin（）＝得：．∵∴故得sin2α＝2sinαcosα＝．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，于是有（1）列表x0πy﹣1010描点，连线，函数y＝f（x）在区间[0，π]上图象如下：20．某同学在一次探讨性学习中发觉，以下四个式子的值都等于同一个常数：①sin212°+cos242°+sin12°cos42°；②sin215°+cos245°+sin15°cos45°；③sin220°+cos250°+sin20°cos50°；④sin230°+cos260°+sin30°cos60°．（Ⅰ）试从上述式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）依据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发觉推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：（Ⅰ）由④式可得，（Ⅱ）由（Ⅰ）的计算结果可得推广的三角恒等式为．证明：左边＝sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）＝＝＝＝＝＝右面，∴原式得证．21．如图，单位圆O：x2+y2＝