2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示素养检测含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养检测八平面对量数乘运算的坐标表示(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.下列各组向量中,不能作为平面内全部的向量的基底的一组是 ()A.a=(-1,2),b=(0,5)B.a=(1,2),b=(2,1)C.a=(2,-1),b=(3,4)D.a=(-2,1),b=(4,-2)【解析】选D.因为(-2)×(-2)-1×4=0,所以a与b共线,不能作为平面内向量的基底.2.若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i,j的方向分别与x,y轴正方向相同且为单位向量).与共线,则x,y的值可能分别为 ()A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4【解析】选B.由题意知,=(1,2),=(3-x,4-y).因为∥,所以4-y-2(3-x)=0,即2x-y-2=0.只有B选项,x=2,y=2代入满意.【补偿训练】设向量a,b满意|a|=2QUOTE,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为 ()A.(-4,-2) B.(3,4)C.(4,2) D.(-3,-4)【解析】选A.因为b=(2,1),且a与b的方向相反,所以设a=(2λ,λ)(λ<0).因为|a|=2QUOTE,所以4λ2+λ2=20,λ2=4,λ=-2.所以a=(-4,-2).3.若a=(x,2),b=QUOTE,c=a+2b,d=2a-b,且c∥d,则c-2d等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.(1,2) D.(-1,-2)【解析】选D.c=(x+1,4),d=QUOTE,因为3(x+1)=4QUOTE,所以x=1.所以c=(2,4),d=QUOTE,c-2d=(-1,-2).4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量A.(1,-1) B.(-1,1)C.(-4,6) D.(4,-6)【解析】选D.因为4a,3b-2a,c对应的有向线段首尾相接能构成三角形,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-5.已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-bA.-QUOTE B.-QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选B.v=2(1,2)-(0,1)=(2,3),u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k).因为u∥v,所以2(2+k)-1×3=0,解得k=-QUOTE.6.(多选题)下列向量组中,不能作为表示它们所在平面内全部向量的基底的是 ()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=QUOTE【解析】选ACD.A中向量e1为零向量,所以e1∥e2;C中e1=QUOTEe2,所以e1∥e2;D中e1=4e2,所以e1∥e2.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下列结论:①直线OC与直线BA平行;②+=;③+=;④=-2.其中,正确结论的序号为________.

【解析】①因为=(-2,1),=(2,-1),所以=-,又直线OC,BA不重合,所以直线OC∥BA,所以①正确;②因为+=≠,所以②错误;③因为+=(0,2)=,所以③正确;④因为=(-4,0),-2=(0,2)-2(2,1)=(-4,0),所以④正确.答案:①③④【补偿训练】已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则实数k的值是________.

【解析】=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2).因为A,B,C三点共线,所以,共线,所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-QUOTE.答案:-QUOTE8.对于随意的两个向量m=(a,b),n=(c,d),规定运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd,bc+ad),运算“⊕”为m⊕n=(a+c,b+d).设m=(p,q),若(1,2)⊗m=(5,0),则(1,2)⊕m等于________.

【解析】由(1,2)⊗m=(5,0),可得QUOTE解得QUOTE所以(1,2)⊕m=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0).答案:(2,0)三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC与OB的交点P的坐标.【解析】方法一:由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ),则=-=(4λ-4,4λ),=-=(-2,6).由与共线得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=QUOTE,所以=QUOTE=(3,3),所以P点的坐标为(3,3).方法二:设P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),且与共线,所以QUOTE=QUOTE,即x=y.又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线,则得(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以P点的坐标为(3,3).10.在△ABC中,已知点A(3,7),B(-2,5).若线段AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.【解析】(1)若AC的中点在y轴上,则BC的中点在x轴上,设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得QUOTE=0,QUOTE=0,所以x=-3,y=-5,即C点坐标为(-3,-5).(2)若AC的中点在x轴上,则BC的中点在y轴上,则同理可得C点坐标为(2,-7).综合(1)(2),知C点坐标为(-3,-5)或(2,-7).(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,假如c∥d,那么 ()A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向【解析】选D.若c∥d,则c=λd,所以(k,1)=λ(1,-1),所以k=λ=-1,所以k=-1,且c与d反向.2.已知点A(-1,1),点B(2,y),向量a=(1,2),若∥a,则实数y的值为 ()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选C.=(3,y-1),又∥a,所以(y-1)-2×3=0,解得y=7.3.下列向量中,与向量c=(2,3)不共线的一个向量p= ()A.(3,2) B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为向量c=(2,3),对于A,2×2-3×3=-5≠0,所以A中向量与c不共线.【补偿训练】已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则QUOTE= ()A.2B.3C.±2D.-2【解析】选D.向量a=(2,3),b=(-1,2),则ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1),若ma+nb与a-2b共线,所以-2m+n=12m+8n,即14m=-7n,所以QUOTE=-2.4.(多选题)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是 ()A.(1,5) B.(-3,-5)C.(3,5) D.(5,-5)【解析】选ABD.设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D,①若这个平行四边形为▱ABCD,则=,所以D(-3,-5);②若这个平行四边形为▱ACDB,则=,所以D(5,-5);③若这个平行四边形为▱ACBD,则=,所以D(1,5).综上所述,D点坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).二、填空题(每小题5分,共20分)5.设向量a=(1,2),b=(2,3).若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ=________.

【解析】λa+b=(λ+2,2λ+3),因为(λa+b)∥c,所以-7(λ+2)=-4(2λ+3)⇒λ=2.答案:26.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为________.

【解析】由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ).设B(x,y),则=(x-1,y-2)=b.由QUOTE⇒QUOTE又B点在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0,所以BQUOTE或QUOTE.答案:QUOTE或QUOTE【补偿训练】已知向量a=(QUOTE,1),b=(0,-1),c=(k,QUOTE),若a-2b与c共线,则k=________.

【解析】a-2b=(QUOTE,3),依据a-2b与c共线,得3k=QUOTE×QUOTE,解得k=1.答案:17.如图所示,在四边形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),则直线AC与BD的交点P的坐标为________.

【解析】设P(x,y),则=(x-1,y),=(5,4),=(-3,6),=(4,0).由B,P,D三点共线可得=λ=(5λ,4λ).又因为=-=(5λ-4,4λ),由与共线得,(5λ-4)×6+12λ=0,解得λ=QUOTE,所以=QUOTE=QUOTE,所以P的坐标为QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】已知A(-1,4),B(x,-2),若C(3,3)在直线AB上,则x=________.

【解析】=(x+1,-6),=(4,-1),因为∥,所以-(x+1)+24=0,所以x=23.答案:238.(双空题)已知a=(1,0),b=(2,1).当k=______时,ka-b与a+2b共线,若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,则m=________.

【解析】ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为ka-b与a+2b共线,所以2(k-2)-(-1)×5=0,得k=-QUOTE.方法一:因为A,B,C三点共线,所以=λ,λ∈R,即2a+3b=λ(a+mb),所以QUOTE解得m=QUOTE.方法二:=2a+3b=(8,3),=a+mb=(2m+1,m),因为A,B,C三点共线,所以∥,故8m-3(2m+1)=0,m=QUOTE.答案:-QUOTEQUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)9.如图,已知四边形ABCD是正方形,∥,||=||,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE.【证明】建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则A(-1,1),B(0,1),设点E的坐标为(x,y),则=(x,y-1),=(1,-1).因为∥,所以x×(-1)-1×(y-1)=0.①又||=||,所以x2+y2=2.②由①②联立,解得点E的坐标为QUOTE.设点F的坐标为(x′,1),由=(x′,1)和=QUOTE共线,得QUOTEx′-QUOTE=0,所以x′=-(2+QUOTE),所以点F的坐标为(-2-QUOTE,1).所以=(-1-QUOTE,0),=QUOTE,所以||=1+QUOTE=||,即AF=AE.10.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).(1)若点A,B,C不能构成三角形,求x,y满意的条件;(2)若=2,求x,y的值.【解析】(1)因为点A,B,C不能构成三角形,则A,B,C三点共线.由=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y)得=(3,1),=(2-x,1-y),所以3(1-y)=2-x.所以x,y满意的条件为x-3y+1=0.(2)=(-x-1,-y),由=2得(2-x,1-y)=2(-x-1,-y),所以QUOTE解得QUOTE11.如图,在▱OABP中,过点P的直线与线段OA,OB分别相交于点M,N,若=x,=y(0<x<1).(1)求y=f(x)的解析式;(2)令F(x)=QUOTE+x,推断F(x)的单调性,并给出你的证明.【解析】(1)==-,=-=x-y,=-=(-)-x=-(1+x)+