2023–2024学年七年级数学下册单元速记与巧练（人教版）第九章 不等式与不等式组知识突破（原卷版）

第九章不等式与不等式组（知识归纳+13题型突破）1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.知识点一不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.特别说明：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2.不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．知识点二一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，特别说明：：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

特别说明：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.特别说明：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.知识点三一元一次不等式组

关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.

特别说明：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【题型一根据题意列不等式】例题：（2024上·浙江宁波·八年级统考期末）用不等式表示减去大于：．【变式训练】1．（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）根据数量关系“x的2倍与y的差大于3”，列不等式：．2．（2023下·河南周口·七年级统考期末）某日我市最高气温是27℃，最低气温是22℃，则当天气温℃的变化范围是．【题型二不等式的解集】例题：（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）下列说法中，正确的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个【变式训练】1．（2023下·全国·八年级假期作业）下列的值中，是不等式的解的是（

）A．4 B．2 C．0 D．2．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、【题型三不等式的基本性质】例题：（2024上·浙江宁波·八年级宁波市第十五中学校考期末）若，则下列不等式不一定成立的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2024上·江苏苏州·七年级统考期末）已知，则下列各式中一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2024上·浙江杭州·八年级统考期末）已知，则下列各式中，正确的是（

）A． B．C． D．【题型四一元一次不等式的辨别】例题：（2023下·上海宝山·六年级统考期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．0个【变式训练】1．（2023下·福建福州·七年级统考期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．2．（2023下·全国·七年级专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（

）个．A．3 B．4 C．5 D．6【题型五求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集】例题：（2024上·广西来宾·八年级统考阶段练习）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．【变式训练】1．（2023下·全国·八年级假期作业）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．2．（2024下·全国·七年级假期作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：(1)；(2)．【题型六求一元一次不等式的整数解】例题：（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）不等式的正整数解是．【变式训练】1．（2023上·浙江宁波·八年级校考阶段练习）关于x的不等式的正整数解是．2．（2023下·辽宁盘锦·七年级校考期末）不等式的所有正整数解的和为．【题型七用一元一次不等式的解决实际问题】例题：（2023下·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）某景区为了吸引游客，现打算在一空地种植A，B两种品种的牡丹，A、B两种牡丹每棵的价格分别是55元和72元，若购买两种牡丹共90棵，且总价格不超过5460元，求最少要购买A种牡丹多少棵？【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某商店购进甲、乙两种品牌的文具，若购进甲种文具20件，乙种文具30件，共需要400元；若购进甲种文具10件，乙种文具5件，共需要100元．(1)求该商店购进甲、乙两种品牌的文具每件各需要多少元？(2)若该商店准备购进甲、乙两种品牌的文具共100件，且总预算费用不超过800元，那么该商店最多可购进乙种品牌的文具多少件？2．（2024上·浙江衢州·八年级统考期末）2024年，人工智能技术将迎来新的突破，智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利，某连锁酒店计划向机器人公司购买A型号和B型号送餐机器人共台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的倍．(1)该连锁酒店最多购买几台A型号机器人？(2)机器人公司报价A型号机器人7万元/台，B型号机器人9万元/台，要使总费用不超过万元，则有哪几种购买方案？【题型八一元一次不等式组的定义】例题：（2023下·七年级课时练习）下列选项中，是一元一次不等式组的是（

）A．B．C．D．【变式训练】1．（2022下·七年级单元测试）下列各式中是一元一次不等式组的是（）A．B．C．D．2．（2023上·浙江·八年级专题练习）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【题型九求一元一次不等式组的解集】例题：（2024上·浙江·八年级统考期末）解一元一次不等式组．【变式训练】1．（2024上·湖南湘潭·八年级统考期末）解不等式组将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解．2．（2023上·湖南岳阳·八年级统考期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．【题型十求一元一次不等式组的整数解】例题：（2024上·湖南永州·八年级统考期末）解不等式组，并求其整数解．【变式训练】1．（2023上·湖南娄底·八年级统考期末）解不等式组，并把所有的整数解写出来．2．（2023下·甘肃天水·七年级校考期末）解不等式组：．（注：必须通过画数轴求解集）并写出该不等式组的最小整数解．【题型十一解一元一次不等式组中错解复原问题】例题：（2023·宁夏·统考中考真题）解不等式组下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：解：由①得：

第1步

第2步

第3步

第4步任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______；任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．【变式训练】1．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）下面是小东同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务．解：由不等式①，得．…………第一步解得．………第二步由不等式②，得．……第三步移项，得．

………第四步解得．………第五步所以，原不等式组解集是．…………第六步(1)小东的解答过程中，第______；步开始出现错误，他错误的原因是_____________；(2)第三步的依据是_____________________；任务二：(3)直接写出这个不等式组的解集：______．【题型十二列一元一次不等式组】例题：（2023下·福建三明·八年级统考期中）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（）A． B．C． D．【变式训练】1．（2022上·浙江宁波·八年级统考期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（）A． B．C． D．2．（2023·全国·七年级假期作业）一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为()A． B．C． D．【题型十三用一元一次不等组的解决实际问题】例题：（2024上·浙江宁波·八年级校联考期末）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元．(1)求A模型和B模型的单价．(2)根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．【变式训练】1．（2024上·浙江·八年级统考期末）学校准备安装校园人脸识别系统，计划购买人脸识别通道闸机和门禁机．已知通道闸机的单价是门禁机单价的3倍，购买2台通道闸机和4台门禁机共需7500元．(1)求通道闸机和门禁机的单价．(2)已知该校园内至少需要安装10台通道闸机，若购买通道闸机和门禁机共40台，且费用不超过48000元，请列出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金多少元？2．（22·23七年级下·内蒙古通辽·期末）在疫情期间，重庆某医药公司往武汉运送医药物资，若用辆型车辆和辆型车辆装满物资一次可以运送吨；用辆型车辆和辆型车辆装满物资一次可以运送吨根据以上信息，解答下列问题：(1)通过列方程组求出：辆型车辆和辆型车辆都装满物资一次分别运多少吨？(2)该医药公司准备将一批医药物资一次性运输至武汉，于是从租车公司租用了和两种型号车辆共辆，其中型车辆每辆要付费元，型车辆每辆要付费元，若付费总金额不超过元，且物资不少于吨，请问怎么安排车辆总费用最少？3．（23·24八年级上·浙江