教学过程 立体几何中的向量方法 高二数学

立体几何中的向量方法

适用学科高中数学适用年级高中二年级

适用区域通用课时时长（分钟）90

知识点用空间向量处理平行垂直问题；用空间向量处理夹角问题.

教学目标1.理解直线的方向向量与平面的法向量；

2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.

4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法的作用.

教学重点用向量方法解决立体几何中的有关问题

教学难点用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题

教学过程

一、课堂导入

空间平行垂直问题

1.两条直线平行与垂直；

2.直线与平面平行与垂直；

3.两个平面平行与垂直；

空间夹角问题

1•两直线所成角；

2.直线和平面所成角；

3.二面角的概念；

空间距离问题

复习预习

(1)空间向量的直角坐标运算律:设a=(%%，/)，b=(bvb2,b3)，则

〃+/?=(%+4,。2+4,生+4)a-b=(a一瓦,。?一4,%-b)Aa=(Aa,Aa,Aa)(A^R)

，[3，[23，

a-b=aibi+/&i〃〃)<=>%=油,外=血,%=H)iQ+外一4一十/.一&=0

(2)若A(Xi，％，zJ,B(x2,y2,z2)，贝A3=(々一为，％—M,z2一马).

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

(3)模长公式：若0=(4，%%),则⑷=后=而"+).

cos加疥=a-b=她+唾士地

(4)夹角公式•I。I•I川Ja；+4+/-Jb；+b；+.

(5)两点间的距离公式：若4不%4),8(孙打小)，则

朋==J、一丁)2+(%-必产+G-Z2)2.

三、知识讲解

考点1平面法向量的求法

在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设〃=(x,y,z),它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为0,

建立两个关于x,%z的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量.还有几种求平面法向量的办法也比

较简便.

求法一：先来看一个引理：

若平面A3C与空间直角坐标系X轴、y轴、z轴的交点分别为A(a,0,0)、B(Q,b,0)、C(0,0,c),定义三点分别

在x轴、〉轴、z轴上的坐标值XA=a,yB=b,zc=da,",c均不为0),则平面ABC的法向量为九=(2H0)参

abc

数2的值可根据实际需要选取.

z

证明：AB=(-〃,瓦0),AC=(-a,0,c),

/.n•AB=€),〃.AC=0,

n=2(-,^-,-)是平面ABC的法向量.

abc

这种方法非常简便，但要注意几个问题：

(1)若平面和某个坐标轴平行，则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为oo,法向量对应于该轴的坐标为0.比

如若和x轴平行(交点坐标值为oo)，和y轴、z轴交点坐标值分别为b、c，则平面法向量为n=；若平面和

bc

轴平行，和Z轴交点的坐标值为c，则平面法向量为n=2(0,0,-).

C

(2)若平面过坐标原点。，则可适当平移平面.

求法二：求出平面方程，得到法向量.

我们先求过点1(%,%/。)及以门={AEC}为法向量的平面的方程.

设P(x,y,z)是平面上的动点,于是有与P•n=0,

即A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

整理得Ax+By+Cz+(-Ax0-By0-Cz0)=0

令D=-Ax0-By0-Cz0,Ax+By+Cz+D=0

这就是平面的一般方程.

平面的方程可用三元一次方程来表示.且z的系数组成该平面的法向量.

注意：⑴有了平面的方程Ar+By+Cz+DnO,就能得到平面的法向量{A3,C},可用平面内不共线的三点求出平

面的方程.

(2)一些特殊情形的平面，方程会更简捷：

通过原点的平面，。=0,方程为Ar+By+Cz=O；

平行于x轴的平面,A=0,方程为By+Cz+£>=0；

通过x轴的平面，A=O,D=O，方程为By+Cz=O；

既平行于x轴又平行于y轴的平面，也就是一个平行于my坐标面的平面,方程为0+。=0；

类似地，可讨论其它特殊情形.

⑶两平面：A/+笈y+Gz+2=0与Ax+^y+Gz+A=0平行的充要条件是

A：4=5]：与=G:。2a2：2

求法三：用行列式求得法向量.

右n[={%，％,Z]},n2={x2,为，z2}是平面内两个不共线向量，

ijk

计算行列式七%Z[=ai+bj+ck,

%》2Z2

则平面的法向量为■={a/c}.

考点2用空间向量求解二面角

(-)用法向量解二面角

用法向量求解二面角时遇到一个难题：二面角的取值范围是［0,乃］,而两个向量的夹角取值范围也是［0,万］,那用向

量法算出的角是二面角的平面角呢还是它的补角？如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角，只要取不超过

f的那个角即可，但对二面角却是个难题.笔者经过思考，总结出一个简单可行的方法，供读者参考.

图一

用法向量解二面角首先要解决的问题就是：两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致？其次，如何去判

断得到的法向量是否是我们需要的那个方向？

对第一个问题，我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角(如图一)，两个平面的法向量公n2则应分别垂直于

该平面角的两边.易知，当心巧同为逆时针方向或同为顺时针方向时，它们所夹的解即为。.所以，我们只需要沿着二

面角棱的方向观察，选取旋转方向相同的两个法向量即可.或者可以通俗地理解，起点在半平面上的法向量，如果指向

另一个半平面,则称为“向内”的方向；否则称为“向外’的方向.两个法向量所夹的角与二面角大小相等当且仅当这两个

法向量方向一个“向内”，而另一个“向外”.

Iz

y

图二

对第二个问题，我们需要选取一个参照物.在空间直角坐标系中，我们可以选择其中一个坐标轴（如Z轴），通过前

面的办法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与xOy平面的关系，是自下而上穿过X。7平面呢，还是自上而下穿

过xOy平面？若是第一种情形，贝!J〃与友所夹的角是锐角，只需取法向量的z坐标为正即可；若是第二种情形，贝心

与友所夹的角是钝角，只需取法向量的Z坐标为负即可.若法向量与X。〉平面平行，则可以选取其它如yOz平面、zOx

平面观察.

（二）用半平面内的向量解二面角

由二面角的平面角定义，由棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这样构成的角即为二面角的平面角.如果分

别在两个半平面内作两个向量（如图），起点在棱上且均垂直于棱，可以看出，这两个向量所夹的角，与二面角的大小

是相等的.这种方法与用法向量解二面角相比，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的不同方向给二面角大小

带来的影响.

考点3空间直线与空间平面的向量形式

在平面解析几何中，曲线上的动点可以用坐标表示，通过对变量的运算达到求值、证明的目的.在立体几何中借用

向量，直线、平面上的点也可以用参数来表示，通过对参数的运算，同样可以达到求值、证明的目的.

i.空间直线：如果i为经过已知点A且方向向量为a的直线，那么点P在直线i上的充要条件是存在实数t,满足等

式=,或对任一点。（通常取坐标原点）,有

OP=OA+ta

这是空间直线的向量形式.

2.空间平面：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对s、乙使

MP=sMA+tMB,或对空间任一定点0（通常取坐标原点）,有

OP=OM+sMA+tMB.

这是空间平面的向量形式.

四、例题精析

【例题1】如图，在四棱锥s-ABCD中,底面ABCD为正方形，侧棱底面ABCD,E、F分别是A&SC的中点。

(I)求证：〃平面SAD；

(II)设SD=2CD,求二面角A-EF-D的大小；

【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系。-孙Z.

设A(a,O,O),S(0,0,b)，贝!J3(a,a,0),C(0,a,0),

E［吟o］,小，K)，跖=，a,0,，］.

y

取SO的中点G(0,0,6,则AG='a,O,g

EF=AG,EF//AG,AGu平面5AD,£F<z平面1s4T>

所以郎〃平面SAD.

(2)不妨设A(1,O,O)，则5(110),C(0,l,0),S(0,0,2),石糙,0),尸(0,；,1).

平面AERG与x轴、z轴的交点分别为A(1,0,0)、6(0,0/)，与丁轴无交点，则法向量々=(1,0,1)，在CD延长线上取

点H,使AE,则DH/^AE,所以AH//ED，由(1)可知AG//EF,所以平面AHG〃平面EFD,平面AHG与x

轴、y轴、z轴的交点分别为A(l,0,0).H(0,-1,0)、G(0,0,l),则法向量%=(1-2,1),设二面角A-EF-D的大小为a,

则

costz=।,即二面角A-EF-D的大小为arccos—.

匐司33

【例题2］已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB〃DC,ND48=90°，外，底面ABCD,^PA=AD=DC=^AB

=1,M是尸5的中点.

(1)求二面角C-AM-B的大小；

(2)求二面角A-MC-B的大小.

【解析】如图建立空间直角坐标系，则对二面角C-AM-B而言，~AD是平面AMB的法向量(向内)，易知平面ACM符

合“向外”方向的法向量是自下而上穿过xOy平面,所以与次所夹的角是锐角.对二面角A-MC-B而言,平面ACM选

取上述法向量,则为“向外”的方向,平面3cM就应选取“向内”的方向，此时是自上而下穿过xOy平面，与z轴正向所夹

的角是钝角.

f

/

X

(1)如图，以AD为x轴，A3为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则平面AMB的法向量为勺=(1,0,0),设平

面ACM的法向量为%=(%,%z).

由已知C(1,1,0),P(0,0,1),B(0,2,0)，则M(0,1,1),

AC=(1,1,0),~AM=(0,1,1).

「s八0,

,n-AC=0,Ix+y=_l।

由仁?1八取y=-1,则x=l,z=2,

n,-AM=0.V+Gz=0.

1I2

n2=(1,-1,2).(满足%•次>0).

_々%_1

设二面角C—AM—B的大小为6，则cos6

匐.同忖

A/6

所求二面角的大小为arccos

~6

(2)选取(1)中平面ACM的法向量的=(1,-1,2),设平面BCM的法向量为

«3=(x,y,z).

~BC=(1,-1,0),~BM=(0,-1,1),

fnc八fx-y=0,

,n,-BC=0,'

由《一二〈1

n.BM=0.-y+-z=0.

LI2

取z=-2,则y=-1,x=-1,"3=(-1，-1，-2),则〃2,公所夹的角大小即为二面角A-MC-B的大小,

设为3coscp-

•••所求二面角的大小为万-arcs普

[例题3]如图，已知长方体ABC。-ABGOi中，48=8。=1,A4i=2,E是35的中点•

(1)求二面角E-AC\-B的大小；

(2)求二面角Ci-AE-B的大小.

【解析】在第(1)题中，只需在AC上找到两点G、H，使得行、~HE均与7苕垂直，则F、~HE的夹角即为

所求二面角的大小.如何确定G、”的位置呢？可设G4=XAC1,GB=GA+AB=AACl+AB，这样向量,就用参数4

表示出来了，再由■•~ACi=0求出4的值，则向量,即可确定,同理可定出H点.第(2)题方法类似.

以B为坐标原点,为无轴，及1为y轴建立空间直角坐标系，则5(0,0,0),A(0,l,0),C(l,0,0),9(0,0,2),Ci(l,0,2),

E(0,0,l).~ACi=(1,-1,2),~AB=(0,-1,0).

(1)^G4=2AC1=(2,-2,22),贝U

GB=GA+AB^(A,-A-1,22),

由言•~ACi=0=>2+(2+1)+42=0,

解得：4=--,

6

图六

同理可得：HE-(—―,——,0),HE-ACi=0.

~GB、~HE的夹角等于二面角E-ACx-B的平面角.

cos<GB,HE>=

GBHE_6GB2HE_1+5_715

|GB|-|HE||6GB|.|2HE|底W5

・•・二面角E-ACi-B的大小为arccos•

(2)73=(0,-1,1),在AE上取点M、N,

MA=yAE-(0,-y,/),

贝!]MB=AM+A6=(0,—7—l，7),

由瓦苏~AE=0得：/+l+y=0,解得：片

图七

(o—.

同理可求彳导：-^VCi=(1,1,~NCi.~AE=0.

22

MS、~NCi的夹角等于二面角Ci-AE-B的平面角

_1_1

MBNC；_二工__V|

cos<MB,NC\>-

二面角Ci-AE-B的大小为arccos(-

五、课堂运用

【基础】

1.在空间直角坐标系。-盯z中，已知A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,也).若Si,S2,S3分别是三棱

锥D-ABCKxOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()

A.S=S2=S3B.S2=S1且S2邦3

C.S3=S1且S3卦2D.S3=S2且S3rsi

【解析】设顶点。在三个坐标平面立认yOz,zOx上的正投影分别为£h、D2、。3,则

ADi=BDi=^2,AB=2,

Si=3x2x2=2,S2=SOCD2-；x2x啦=,S3=SOAD3=^x2x-^2=.

.,.选D.

【答案】D

2.求过点监(2,0,1),M2(1,1,0),叫(0,1,1)的平面的法向量.

【解析】方法一：由给定平面上的三个点的坐标，可知平面上的两个向量加1加2={-U，T}，={-2,1,0},

设平面的法向量为7={x,y,z},由[也％•尸，得「了-z：0,

M{M3-n=Q[-2x+y=Q

令九=1,得平面的一个法向量«={1,2,1}.

方法二：设过点M(2,0,1),心(1,1,0),M3(0,1,1)的平面的方程为Ax+By+Cz+DN,

A=-2

'2A+C+D=Q3

代入点的坐标，得A+B+D=0,解之B=-当,即-[x-与y-，z+D=0,

Jouo

B+C+D=Qn

1C=——

[3

所以平面的方程为x+2y+z-3=0,所以平面的一个法向量；={1,2,1}.

方法三：由给定平面上的三个点的坐标,可知平面上的两个向量两记1},M,M3={-2,1,0},

iik

因为这两个向量不平行，计算-11-l=i+2j+k.故所求平面的一个法向量n={1,2,1}.

-210

3.已知正方体AG的棱长为a,E是CG的中点，。是对角线即的中点，

(1)求证：OE是异面直线CC,和5A的公垂线；(2)求异面直线CC,和8。的距离.

【解析】(1)解法一：延长EO交AA于尸，则/为AA的中点，•;EF//AC,

'：CCX±AC,qc1EF,连结D]E,3E,则RE=BE,

又。是的中点，...OE，3。，...(?£是异面直线CG和BA的公垂线.

解法二：以。为原点,分别以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

于是有(0,0,tz),C(O,a,0),G(0,a,a),B(a,a,0),0((,1,1),E(0,a,|-),

--------*,--------*,—*,aa

BD[=(-a,—a,a),CQ=(0,0,a),EO==0),

西•访=0,西.丽=0,所以OE是异面直线CCI和8,的公垂线.

(2)由(1)知，OE为异面直线CG和8,的距离.

所以。£=|阿=，174=字-

【巩固】

1.已知正方体ABC。-A耳GA的棱长为a，求与。与血间的距离.

【解析】解法一：(转化为耳C到过且与与C平行的平面的距离)

连结4。，贝!14。〃用C,平面,连AG,可证得

ACX±BD,AC,±AD,，AC1，平面片。3,

・..平面AC」平面,且两平面的交线为4。，过C作CE，A。，垂足为E,

则CE即为BXC与平面\DB的距离，也即BXC与BD间的距离,

在AAQC中，=,：.CE=^-a.故耳。与5。间的距离日a.

解法二：以。为原点,分别以DADC,。。所在的直线分别为1轴,y轴、z轴建立空间直角坐标系,

IJJI]A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Bx(a,a,a),\(«,0,a),Z)(0,0,0),

由(解法一)求点。到平面4。以的距离C石，设£(x,y,z),

•・•E在平面上，

/.A^E=AA[D+/uA^B,即(x—a,y,z—a)=%(—a,0,—a)+〃(0,a,G),

八-（

•••।4nIon•（龙，'-2,Z）（一。,0,一。）=0

・・〈y=Lia..C/s_LA17,C七_LBD..•<.

,［（羽y—2,z）（一见一。,0）=。

z=a-jLia-Aa

解得：2=4=g，•二CE—（g—gCE=^~a.

解法三：直接求片。与5。间的距离,设与C与m的公垂线为。。1,且QiCO^BD,

设。（％y,z）,设DO=；LBD,

x=-Aa

贝！］（羽y,z）=2（—。,一。,0）,.*.<j=-Aa,/.O（-2a,-2a,0）,

z=0

同理01（〃。,。,〃。），

/.OOX=（（//+/l）a,a+Aa,^ua）,OOX±BD,OOX±BXC,OOX-BD=0,OOX-BXC=0,

r\1

彳导：%=—,〃=—,OO=（—〃,—〃,一〃）,|。。|=—a.

3333l33

2.如图所示，三棱柱ABC-A山Ci中，点4在平面ABC内的射影。在AC上,ZACB=90°,BC=1,AC=CCi=2.

⑴证明：ACiXAiB;

(2)设直线A4i与平面BCCiBi的距离为小,求二面角Ai-AB-C的大小.

【解析】方法一：⑴证明：因为4。，平面ABC,ALDU平面A4CC,故平面A41cle，平面A3C.

又BC1AC,所以平面AAiCiC.

连接AC,因为侧面AA1C1C为菱形,故AC4C.由三垂线定理得AC,43.

(2»C,平面AA1C1C,3Cu平面BCCLBI,故平面A41cle，平面BCCLBI.

作AIELCCI,E为垂足，则AiE,平面BCCLBI.

又直线441〃平面BCCLBI,因而AiE为直线AAi与平面BCC131的距离，即AiE=4.

因为AC为NACG的平分线,所以ALD=AIE=^.

作DfUAB,R为垂足,连接.

由三垂线定理得AifUAB,故NAFD为二面角Ai-AB-C的平面角.

由，得。为AC中点,

DF=^',tanZAiFD==V^5,所以COSZAIFD=4.

所以二面角Ai-AB-C的大小为arccos!.

方法二：以C为坐标原点，射线C4为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.

由题设知AiD与z轴平行，z轴在平面AACC内.

⑴证明:设Ai(a,0,c).由题设有tz<2,A(2,0,0),B(0,1,0),

贝佛=(-2,1,0),At=(-2,0,0),Ati=(a-2,0,c),A?i=At+M=(tz-4,0,c),BAI=(a,-1,c).

由I|=2,得｛(a-2)2+C?=2,即a?-4a+°2=0.①

又•怎i=屋-4a+°?=o,所以ACi-LAiB.

(2)设平面BCCLBJ的法向量用=(x,y,z),则加，建，m±B$i,即加=0,*闻i=0.因为m=(0,1,0),屈i=

AA\=(a-2,0,c),所以y=0且(a-2)x+cz=0.

令x=c,贝!]2=2-a,所以m=(c,0,2-a),

Alc

故点A到平面BCCiB的距离为|瑞.|cos(m,cA)\=^=~1==c.

又依题设，A到平面BCCB的距离为小，所以c=小，

代入①，解得。=3(舍去)或a=1,于是用1=(-1,0,小).

设平面ABAx的法向量n=(p,q,r),

贝!]n-LAAi,n±A^,即n-AAi=0,n-Ati=0,-p+y[3r=0,且-2p+q=0.

令P=小，则q=24，r=1,所以〃=(小,2小，1).

又P=(0,0,1)为平面ABC的法向量，故

1

2-

C一=

OS一4

IIPI

1

-

所以二面角Ax-AB-C的大小为arccos4

【拔高】

1.如图，已知A3CD为边长是4的正方形,E、歹分别是A&AD的中点,GC垂直于A3CD所在的平面，且GC=

2,求点B到平面EFG的距离.

【解析】分别以F、F、飞为X、”2轴建立空间直角坐标系，则E(2,4,0),网4,2,0),6(0,0,2),5(040).

・••~EF=(2,-2,0),~EG=(-2,-4,2),

设P是平面EFG上的动点,则存在实数印，使得

~CP=~CE+^~EF+r~EG

=(2,4,0)+5(2,-2,0)+/(-2,-4,2)

=(2s-2,+2,4-2s-4r,2t),

**•尸(2s-2%+2,4-2s-2t),

BP=(2s-2t+2,-2s-It).

当且仅当BP±EF^.BP±EG时，BP,平面EFG,BP即为所求的点B到平面EFG的距离.

,fBPEF=0f2(2s-2t+2)-2(-2s-4t)=0-曰\S='U

由—一八一1-2(2.-2/+2)-4(-25-4/)+4/=0，解得：j_3_-

、BP•EG=0t=五

.—>226

••3P=(TT，TT，TT)，

・•.点3到平面ERG的距离即为|罚|=斗J

解法二：因为平面EFG的竖截距为2,可设平面EFG的方程为

7

Ax+By+-=1,将E(2,4,0)，网4,2,0)的坐标分别代入，得

rL_1

—，解之所以平面ERG的方程为f++f=1

4A+28=1n_l662

、6

即x+y+3z—6=0

点3(0,4,0)到平面EFG的距离为I。："。-6=叩

V1+1+911

2.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,。为CG中点。

(I)求证：AB，面ALBD；

(II)求二面角A-AiD-B的大小；

(III)求点C到平面AiBD的距离.

【解析】（I）取中点。，连结A。.

△ABC为正三角形，「.AO,BC.

在正三棱柱ABC-43£中，平面ABC，平面3CC4,

AOJ_面BCG3].

取用G中点。1，以。为原点，OB,OO],的方向为x,y,Z轴的正方向建立空间直角坐标系贝！］5(100),

0(—1,1,0),4(。，2,百)，A(0,0,6),4(1,2,0),

.•.做=(1,2,-扬,50=(-2,1,0),B%=(-12,亚.

♦.•福.丽=-2+2+0=0,AX-BA=-1+4-3=0,

丽±BD,丽,

..A4,平面A5。.

(II)设尸是直线4。上的动点，由(I)可得以=(1,1,6)，则存在。£尺，使得

OP=OD+tDAi=(-1,1,0)+t(l,1,A/3)=(r-1,r+1,V3r),

P[t—1,?