高中数学：教学设计：复数代数形式的乘除运算

§3.2.2复数代数形式的乘除运算

教学目标：

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运

算的逆运算

过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不

易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践

的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a,

b,c,dGR,那么a+bi=c^dioapc,b=d,只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

教学过程：

学生探究过程：

1.虚数单位，：(1)它的平方等于即『=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行

四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

2.，与一1的关系：，就是一1的一个平方根，即方程Y=—1的一个根，方程子=-1的

另一个根是一i

3.，的周期性：产+工。产严3=_。产勺

4.复数的定义：形如初(a/eR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体

复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*

3.复数的代数形式：复数通常用字母2表示，即2=。+初(a,AeR),把复数表示成a+〃

的形式，叫做复数的代数形式

4.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+初(a/eR),当且仅当左。时，

复数a+6/(a、6GR)是实数a；当，#0时，复数z=a+6/叫做虚数；当a=0且6W0时，z=bi

叫做纯虚数；当且仅当a=/^0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：N至ZMQMRMC.

6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复

数相等即：如果a,b,c,那么b=d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可

以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

7.复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a,纵坐标是6,复数z=a+(a、6©R)可用点Z(a,6)表示，这个建立

了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实

轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是

z=0+0/=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

8.复数21与Z2的和的定义：Zi+z2=(a+/27)+(cH-c/j)=(a+c)+(Mo)i.

9.复数©与Z2的差的定义：zi-z2=(a+/?7)-(crHc/i)=(a-c)+(b-c/)i.

10.复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1.

11.复数的加法运算满足结合律：(2I+Z2)+Z3=©+(@+23)

讲解新课：

1.乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z尸a+反，Z2=c^dila、b、c、d©R)是任意两个复数，那么它们的积(a+反)(c^oV)=(ac

—bd)+{bc^-ad)i.

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把/换成一1,并且把

实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

2.乘法运算律：

(1)Z1(Z2Z3)=(Z1Z2)z3

证明：设Zi=ai+4_z,z十a^+lhi,z^d^bii(ai,a”a,,b、,bz,&GR).

•zL=(ai+-_z)(a2+&z)=(aia2—"2%)+(Aaz+ai/%)z,

=

ZzZi=(az+Z%/)(ai+&z)(a2a「+kbia计azb。i.

ct\_3.2~b\b^bib\,b、a什a、b市b^a计a^b、.

••ZiZ\.

(2)Zi(z2+z3)=ziz2+ziz3

证明：设z尸ai+4i,>ZFa^+也11a、,a”a3，b、,bi,&GR).

V(Z1Z2)Z3=[(31+Z?17)(ag+Z^i)](必+&[')=[(当色-6㈤+(A4+&[)y](&+4[')

=[(aia2-A^)a3-(Aa2+aife)Z%]+[(Aa2+ai/%)a3+{axarbYkh}Z%]i

-ka\aza「bbarb^azbrabb。+(4a2a3+&/%&+&a?A/%&)i,

同理可证：

Zi(Z2Z3)=kagzarb\biarb、a2b「a、b1b+(Aa2a3+aib2a3+axa2brbxbib^i,

♦♦(Z1Z2)Z3—Z1(Z2Z3).

(3)©(Z2+Z3)=ZiZ2+^iZ3.

e

Z3=a3+&，(ai，a,

证明：设Zi=&+A，，z*az+bgi,a2,3bub2,Z23R).

,.,©(Z2+Z3)=(a+%£)[(a2+/%7)+(a3+^3^)]=(31+/217)[(a2+a3)+(&+功)/]

=[4忌+①)-■(&+&)]+[瓦(&+a)+&(b+&)]i

=(Sia2+Sia3-A/%-A/%)+(右e2+4&3+囱4+&&)i.

Z1Z2+Z1Z3=(4+51Z)(a2+A>^)+(31+617)(as+Zv)

=ka\arb£)+kb、akagi+<a\arb\b。+(/?ia3+aiZ%)i

=(a、arb从a、arb拉+〈b、a#a、b#b、a#a、b。i

=ka、aka、a「b、brbg+(Aa2+Z2ia3+aiZ%+aiZ%)i

♦.Zi(Z2+Z3)=ZiZ2+ZlZ3.

例1计算(l-2i)(3+4i)(-2+i)

解：(l-2i)(3+4i)(-2+i)=(ll-2i)(-2+1)=-20+151.

例2计算：

(1)(3+4i)(3-4i)；(2)(1+i)2.

解：⑴(3+4i)(3-4i)=32-(4i)=9-(-16)=25;

(2)(1+i)=l+2i+i=l+2i-l=2i.

3.共拆复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共辗复

数虚部不等于0的两个共辗复数也叫做共辗虚数

通常记复数z的共辗复数为I。

4.复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y©R)叫复数a+bi除以复数

c+di的商，记为：(a+bi)+(c+di)或者"十历

c+di

5.除法运算规则：

①设复数a+力，(a,右GR),除以次oV(c,dGR),其商为x+yi(x,HR),

即(a+力Z)4-(cH-c/j)-x^yi

(^+yy){c^di)-{cx—dy)^^dx^cy)i,

/.(ex—dy)^-{dx^-cy)i=a^bi.

cx-dy-a,

由复数相等定义可知＜

dx+cy=b.

ac+bd

x-—~~

解这个方程组，得c+d

be-ad

y二­

c+d

_ac+bdbe-ad

于是有：(a+反)4-3d。-9----T+i.

c+dc2+d2

②利用(次力)(c—应)="+/于是将的分母有理化得:

c+di

a+bi(a+bi)(c-di)[ac+bi•(-di)]+(be-ad)i

原式二

c+di(c+d，)(c—di)c2+

(ac+bd)+(be-ad)iac+bdbe-ad.

--------------------------1-------1

c1+d2c2+d2c2+d2

ac+bdbe-ad.

(a+Z?7)4-(c+df)H—A-----

c2+d2c+d

点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理

化思想方法，而复数3/与复数c—近，相当于我们初中学习的有+血的对偶式血-血，

它们之积为1是有理数，而(^山)•(「一/)=/+)是正实数.所以可以分母实数化.把这种方

法叫做分母实数化法

例3计算(1+27)+(3—旬

解：(1+2f)-(3-4z)=1±2L

3-4z

_(1+2/)(3+4(_3—8+6i+4i_-5+10,_」+匕

一(3-4z)(3+4z)-—32+42—-25一一二十V

(l—4Q(l+Q+2+4

例4计算

3+4z

功1+4—31+2+4/7+z(7+z)(3-4z)

WE•-(-1---4--Z)-(-1-+--0--+--2-+--4-Z=---------------=-----=------------

,3+4z3+4z3+4z32+42

2了4±3口；"=一.

2525

17—1

例5已知z是虚数，且z+士是实数，求证：二」是纯虚数.

ZZ+1

证明：设z=a+，/(a、且6W0),于是

1,.1,.a-bia,,b..

z+—=a+6i+--------=a^bi+—--------=a+—------+(Z?——------)i.

za+bia+b^a~+ba'+b'

b

Vz+-GR,/.b~=0.

za2+b2

VZ?^0,・•・4+4=1.

.Z1_(〃1)+万」3—1)+13(〃+1)次]

z+1(6/+1)+bi(tz+1)2+b2

2

Q?—1+Z?+[(tz+V)b—(a—l)b]i0+2bib

a2+l)2+2a+11+2a+1a+1

b

,・7W0,a、6£R,・•・——，是纯虚数

a+1

巩固练习：

1.设好3+，,则1等于

Z

31

A.3+/B.3-7C.—/+—D.—+—i

10101010

ca+bia—bi./土日

2.---+-----的值是

b-aib+ai

A.0B.iC.~iD.1

3.已知z「2—i,Z2=1+37,则复数上+三的虚部为

45

A.1B.—1C.iD.—i

4.设上=N-+上(XGR,y©R),则",

1+z2-i1-i

3o

答案：l.D2.A3.A4.11

课后作业：课本第112页习题3.2A组4,5,6

B组1,2

教学反思：

复数的乘法法则是：(a+b。3dQ=(ac—b小+(bc^a小i.复数的代数式相乘，可按多项

式类似的办法进行，不必去记公式.

a+biac+bdbe-ad

复数的除法法则是:c1+d2+c2+d2

c+di

两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分

母的共辗复数，再把结果化简

高考题选

2

1.(2007年北京卷)-----

(1+02

2.(2007年湖北卷)复数z=a+bi,a,bGR,且bWO,若z2-4历是实数，则有序实数对(a,b)

可以是________岂写出一个有序实数对即可)

【答案】：(2,1).

【分析】：z?-4Z?z=(a+bi)?-4b(a+bi)=a?-4a/?-/+2b(a-2b)i是实数，所以a=2b.

取(a”)=(2,1).

【高考考点】：本题主要考查复数的基本概念和运算.

【易错点】：复数的运算公式不能记错。

备考提示】：复数的基本概念和运算，是高考每年必考的内容，应熟练掌握。

3.(2007年福建卷)复数」二等于(D)

(1+i/

A.-B.--C.-iD.--i

2222

4.(2007年广东卷)若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b为实数)，则b=

(A)-2(B)-1(C)1(D)2

22

答案：B；解析：(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+l)i,故2b+l=0,故选B；

5.(2007年湖南卷)复数［卷］等于(C)

A.4iB.-4iC.2iD.-2i

6.（2007年江西卷）化简2上+二4/的结果是（C）

（1+02

A.2+iB.-2+iC.2-iD,-2-z

7.（2007年全国卷I）设。是实数，且旦+匕是实数，则&=（B）

1+i2

13

A.-B.1C.-D.2

22

8.（2007年全国卷H）设复数z满足”=i,则2=（C）

z

A.-2+iB.-2-iC.2-iD.2+i

9.（2007年陕西卷）在复平面内，复数斤」-对应的点位于（D）

2+i

（A）第一象限（B）第二象限（C）第在象限（D）第四象限

10.（2007年四川卷）复数匕i+尸的值是（）