2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第三章 圆锥曲线的方程综合拔高练

2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册

综合拔高练

五年高考练

考点1椭圆的定义及其标准方程

22

1.(2021新高考I,5)己知是椭圆C:?+91的两个焦点，点M在C上，则

94

|MFJ•IMF2I的最大值为()

A.13B.12C.9D.6

2.(2021全国甲理，15)已知FbF2为椭圆C:g+的两个焦点,P,Q为C上关于

lo4

坐标原点对称的两点,_a|PQ|=|F.F2|,则四边形PFQF2的面积为.

考点2椭圆的几何性质

3.(2021全国乙理，11)设B是椭圆C：W+]=l(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一

a2b2

点P都满足IPB|W2b,则C的离心率的取值范围是()

A.怪1)BE，】！2"0,第0.(0.1

4.(2021浙江，16)已知椭圆马+*l(a>b>0),焦点BQc,0),Fz(c,0)(c>0).若过

a2bz

日的直线和圆(%-相，+丫2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2±X轴，则该

直线的斜率是,椭圆的离心率是.

考点3直线与椭圆的位置关系

22

5.(2021新高考n,20)已知椭圆C的方程为,+*l(a>b>0),若右焦点为

F(V2,0),且离心率为£

(1)求椭圆C的方程；

⑵设M,N是C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切,证明:M,N,F三点共线

的充要条件是|MN|二K.

6.(2021天津，⑻已知椭圆捺+^=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为B,离心率为

哈旦|BF|二相

(1)求椭圆的方程；

⑵直线1与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N,过N与BF垂直的

直线交x轴于点P,若MP〃BF,求直线1的方程.

7.(2020新高考1,22)已知椭圆C：q+]=l(a>b>0)的离心率为4,且过点

a2b22

A(2,1).

(1)求C的方程；

⑵点M,N在C上,且AM±AN,AD±MN,D为垂足.证明：存在定点Q,使得IDQ|为定

值.

考点4双曲线的标准方程及其应用

22—

8.(2021北京,5)双曲线版-过点(V2,A/3),离心率为2,则双曲线的解析式为

()

%2y2

A.——y2=1B.x2--^l

3)3

9.（2020全国I文，11）设FI,F2是双曲线C:x2-（=1的两个焦点,0为坐标原点，点P

在C上且10P|=2,则△PF1F2的面积为（）

A.=7B.3C;SD.2

22

考点5双曲线的几何性质

10.（2021全国甲理,5）已知R,Fz是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且

NFFF2=60。"PF』二3|PF2|,则C的离心率为（）

A.yB.当C.V7D.V13

11.（2021全国甲文,5）点（3,0）到双曲线1一千1的一条渐近线的距离为（）

A-B-C-D-

氏5口5L，5U,5

12.（2021新高考n,13）已知双曲线C:1—、=l（a〉0,b>0）,离心率e=2,则双曲线

C的渐近线方程为,.

考点6直线与双曲线的位置关系

13.（2021新高考I,21）在平面直角坐标系xOy中，已知点H（-a7,0）,F2（g,0）,

点M满足|MFj-lMF2|=2.记M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且

|TA•|TB|=|TP|•|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

考点7抛物线的标准方程与几何性质

14.(2021新高考II,3)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+l的距离为四,则

p=()

A.1B.2C.2V2D.4

15.(2020全国I,4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距

离为12,到y轴的距离为9,则p=()

A.2B.3C.6D.9

16.(2021北京，12)已知抛物线C:yMx,C的焦点为F,点M在C上，且|FM|=6,则M

的横坐标是;作MN±x轴于N,则SAFMN=.

17.(2021新高考1,14)已知0为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P

为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ1OP.若|FQ|=6,则C的准线方

程为.

18.(2021全国乙文,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

⑵已知0为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF,求直线0Q斜率的最大值.

考点8直线与抛物线的位置关系

19.(2020新高考I,13)斜率为旧的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A,B

两点,则IAB|=.

20.(2021全国乙理，21)己知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆

M:x2Hy+4)2=l上点的距离的最小值为4.

⑴求P；

⑵若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求aPAB面积的最大值.

21.(2021浙江,21)如图，已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,M是抛物线的准线

与x轴的交点，且|MF|=2.

(1)求抛物线的方程；

(2)设过点F的直线交抛物线于A,B两点,若斜率为2的直线1与直线MA,MB,AB,x

轴依次交于点P,Q，R，N,且满足|RN「2=|PN|•|QN|,求直线1在X轴上截距的取值

范围.

三年模拟练

应用实践

1.（2021江西南昌二中月考）已知Fl,F2分别为椭圆W+3=1（a>b>0）的左、右焦点,

a2b2

点P在椭圆上,APOFz是面积为国的正三角形,则b?的值为（）

A.V3B.2V3C.3V3D.4V3

2.（2022重庆一中期中）过点（4,6）且与双曲线x2-^=l有相同渐近线的双曲线方

程是（）

A.4_E=I

2442

V?42y2

a——1

4224

3.（2022河南洛阳嵩县一中月考）已知直线y二kx与双曲线C:^—[=1（a>0,b>0）

a2b2

的左、右两支分别交于A,B两点,F为双曲线的右焦点，其中NABFW，NBAF=£

Z0

则双曲线C的离心率e=（）

A.2B.V34-1C.V3D.V7

2

4.（2022四川成都七中开学考试）已知点0为坐标原点，点F是椭圆Cv:^+

a2

y,2

9=l（a〉b>0）的左焦点，点A（-2,0）,B⑵0）分别为C的左、右顶点，点P为椭圆C

上一点,且PF±x轴,过点A的直线交线段PF于点M,交y轴于点E.若直线BM经

过0E上靠近点0的三等分点N,则|PF|二（）

3

A4-C2D3

♦2*

5.（多选）（2022河北保定曲阳一中期中）如图，两个椭圆■+5=1总+卷=1内部

zbyzby

重叠区域的边界记为曲线c,P是曲线C上的任意一点，下列说法正确的为（）

A.P到Fi(-4,0),F2(4,0),Ei(0,-4),E2(0,4)四点的距离之和为定值

B.曲线C关于直线y=x,y=-x均对称

C.曲线C所围区域的面积必小于36

D.曲线C的总长度不大于6n

6.(2022江苏南通如东期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线

浮-4y2=l的右焦点相同，过点F作两条直线lb12,直线L与抛物线C交于A,B两

点,直线k与抛物线C交于D,E两点,若L与L的斜率的平方和为1,则IAB|+1DE|

的最小值为()

A.16B.20C.24D.32

7.(2021江西临川一中期中)已知抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,准线1与x轴交

于点H,过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,分别过点A,B作准线1的垂线,垂足

分别为A,Bi,如图所示.

①以线段AB为直径的圆与准线1相切；

②以AB为直径的圆经过焦点F;

③A,0,Bi(其中点0为坐标原点)三点共线；

④若点A的横坐标为xo,且T(-xo,0),则直线TA与抛物线相切.

以上说法中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

&(2。22辽东南协作体期中)双曲线C《一^l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为

F1,F2,过Fz作线段F2P与C交于点Q,且而二话,若等腰三角形PFE的底边PF?的

长等于C的半焦距，则C的离心率为.

9.(2021浙江丽水五校共同体段考)已知椭圆/+(a>b>0)的短轴长为2,上顶

点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是件,F2,且△FAB的面积为/，点P为椭圆

上的任意一点,则/+/的取值范围是

IPF1|\PF2I

10.(2021新高考八省(市)联考)双曲线C:1一(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦

azb2

点为F,动点B在C上.当BF_LAF时，|AF|=|BF|.

(1)求C的离心率;

⑵若B在第一象限,证明：NBFA=2NBAF.

11.(2021山东滨州博兴期中)从①离心率e§；②椭圆C过点(1,|);③△PFF2面积

的最大值为百这三个条件中任选一个,补充在下面横线处,并解答.

设椭圆C：q+'=l(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过K且斜率为k的直线1

交椭圆于P,Q两点,椭圆C的短轴长为2V3,.

⑴求椭圆C的方程；

⑵若线段PQ的中垂线与x轴交于点N,求证:陪为定值.

12.(2021四川乐山期末)已知点M(2,1),点F/2分别为双曲线透一*1的左、

耐•MF[_F2FI•~MF^

右焦点，点P(x0,yo)(x0>0,y0>0)在双曲线C上且满足司=铳，

SAPMFJS丛PMF?的值.

迁移创新

13.(2020上海浦东新区月考)某同学观看了2019年春节档非常热门的电影《流浪

地球》后引发了他的思考:假定地球（设为质点P,半径忽略不计）借助原子发动机

开始“流浪”的轨道是以木星（看作球体,其半径R约为7万千米）的中心F为右

焦点的椭圆C.已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的

距离为1万千米，远木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为

25万千米.

⑴求椭圆C的标准方程；

（2）若地球在“流浪”的过程中，由A第一次逆时针“流浪”到与轨道中心。的距

离为属（a,b分别为椭圆的长半轴长、短半轴长）万千米时，由于木星引力，部分

原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定

地球变轨后的轨道为一条直线L,称该直线的斜率k为“变轨系数”.当“变轨系

数”k的取值为-2或1时,地球与木星会不会发生碰撞？

答案全解全析

五年高考练

1.CVM在椭圆C:^+匕1上,且a=3,

94

二|MF』+|MF2|=6.

・.・MF]:MF2•IMF2I,

2

AII•IMF?]W（MB；MF?）二%

当且仅当IMF』=|MF2|=3时,等号成立.故选C.

2.答案8

解析解法一：如图，设|PFd=m,|PF2|=n,由椭圆方程三+。=1可

164

得，2a=lPFj+1PF2|=m+n=8,2c=|FRI=4班.

由P,Q关于原点对称得IOPI=IOQI,又IOFJ=IOF21,故四边形PF.QF2为平行四边形.

又|FF2=PQl,所以平行四边形PF1QF2为矩形,故PF|J_PF2.

O222

在RtAF,PF2中，ZF2PFF90,则m+n=(4V3)=48.

由(m+n)2=64得m2+n2+2mn=48+2mn=64,解得mn=8,所以四边形PFiQF2的面积为8.

解法二：由解法一知四边形PFQF2为矩形，所以由焦点三角形面积公式得

S四边形PF1QF2=2b2tan^2X4X>8.

3.C由题意知B(0,b).设P(xo,y0),则去噜=1,

・..x广£(1一居).・•.1PB/=W+(yo-b)邑£(1一居)+yQ2by°+bJ—盘羽一

2byo+a2+b2.

VC上任意一点P都满足任8|52匕丫。£[-13,13],・・・当y0=-b时"PB『取得最大

值,当W-b,即b22c：又a2=b2+c2,/.a2-c2^c2,即a2^2c2,Ae2^-,又

2

VeE(0,1),.\eG(0,y].故选C.

4答案警冷

oo

解析解法一:设切点为B,圆心为A,连接AB.

易知|&A|音，|FE|=2c,|AB|二c,|BFj考，

|PF21二f,J直线PF.的斜率k=tanNPFE二碧二等二乎.

a|BF115

,I尤广

在△PFR中，tan/PFFz=萼=或辿,EPV5bMac,BPA/5(a2-c2)=4ac,方程两边同

IF1F2I2C5

时除以a2,整理可得除2+4e—6=0,解得e亭或e=-遥(舍)，.建亭.

解法二：:tan/PFFz=等，，在RtZMTFz中，可令|PF21=2,〔FFzkVS,贝U|PF」二3,

故e=—=———--.

2a\PF1\+\PF2\5

(c=V2,2

5.解析(1)由题意得［?=£=渔，解得=：

Ia3W£=1,

\a2=b2+c2,

故椭圆C的方程为?+y2=l.

(2)证明：设M(xi,yi),N(X2,y2).

①先证必要性.

易知直线MN的斜率不为0.

因为M,N,F三点共线，

所以设直线MN:x=my+V2.

由题意知0(0,0)到直线MN的距离d=解得启1,故m=±l,所以直线

Vm2+1

MN:x±y-V2=0.

根据对称性,不妨设直线MN:y=x-V2.

由卜=三?消去并整理得4X2_6&X+3=0.

[x2+3y2=3,

22=

故X1+X2=乎,X1X2=^,所以|MN|=V1+l•|X「X21=V2XJ(xt+x2)-4x1x2V3,即

必要性成立.

②再证充分性.

易知直线MN的斜率存在,设其方程为尸kx+t.

由题意得彳4/b=l,即t2=l+k2.

V1+/C2

y=kx+I,

由产,21消去y并整理，得(l+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0,则

匕+y=1，

6kt3d-3

x/xk—77^，X[X2

22

所以|MN|=J(1+k)[(%i+X2)-4X1X21

22

J\(6kt\3t~312(件-13H)(i+H)

(1+k2)(-——-4Ax--

[Il+3k2Jl+3fc2(l+3fc2)2

_124k2(i+肉

q(14-3/c2)2'

因为|MN|=?3,所以萼詈1,解得片二1,贝I]t'2.

(l+3fc2)

因为XI+X=--^7>0,即kt<0,

21IoK

所以k=l,t=-&或k=-l,t=V2,

所以直线MN的方程为y=x-&或y=-x+V2.

无论哪一种情况,直线MN恒过焦点F,所以M,N,F三点共线.

故M,N,F三点共线的充要条件是IMN|=V3.

6.解析⑴由题意得a二|BF|二遍.又离心率e=J乎,所以c=2,所以b2=a2-c2=l,

a5

2„

所以椭圆的方程为言v+y'L

⑵解法一：由题意知直线1的斜率存在且不为0,设其方程为y=kx+m.

“22x

由-5+'->^#(l+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0.

=kx+m,

因为直线1与椭圆有唯一的公共点M,所以A=0,BP(10km)2-4(l+5k2)(5m2-5)=0,

22

化简得m-5k-l=0.①

由？=kx+mf得所以点N的坐标为(0,m).

(%=0,

由⑴知B(0,1),F(2,0),所以ks尸艺二一

0-22

由题意知NP_LBF,所以k后2,

所以直线NP的方程为y=2x+m.

由忧/+犯得x号所以点P的坐标为(-晟，0).

因为MP〃BF,所以k产kBF二3，

所以直线MP的方程为尸苫1+三).

5m

由片-XT)，'=一诉,

得-km+2m

、y=kx+V=----

：4A+2

所以点M的坐标为(-黑，誓誓所以卜守+(聂鲁)2=1,即

\4k+24k+2

(k2-4k+9)m2=(4k+2)2.®

(舍去).

由①②解得忆)或｛IE

所以直线1的方程为尸x+痣.

解法二：设M（x。,y。）（y0>0）,则直线1的方程为暂x+y0y=L

由（自，+尢丫=1，得yA所以点N的坐标为（0,三）.

G=0,丫。'姬

由⑴知B（0,1）,F（2,0）,所以%七二一去

由题意知NPLBF,所以1<痔2,

所以直线NP的方程为y=2x+-.

yo

0=2*+^x=_；,所以点P的坐标为（一3_,o）.

{y=0,2y。I2y。J

因为MP〃BF,所以整理得2x0yo+4%+l=O.③

小丽2

v2

又？+y广i④，

（5历

联立③④,解得彳一二6'

V6

3。=丁，

所以直线1的方程为产X十遍.

佗+2=1，

7.解析（1）由题意得（£=立，

la2=b2+c2,

解得偿=，所以C的方程为=+4二L

S'=3.63

⑵证明:设M（xbyi）,N（x2,y2）.

工2y2

了+石=L得

y=kx+m

(f

222=

(l+2k)x+4kmx+2m-6=0.则Xi+x~——z,IQ

2l+2k2XX=―l+2—kz

由AM±AN知前•丽二0,故(x「2)3—2)+3-1)。2-1)=0,即

22

(k+l)X1X2+(km-k-2)(Xi+x2)+(m-1)+4=0,所以

(k2+1)2m(km-k-2)4fcm+(m-1)2+4=0,整理得(2k+3m+l)(2k+mT)=0.

1+2/c21+2/c2

因为A(2,1)不在直线MN上，所以2k+m-lWO,

所以2k+3m+l=0,kWl.

于是MN的方程为尸k(%-|)T(kWl).

所以直线MN过点P(|,

若直线MN与x轴垂直，则N3,-Y1).

由福•前二0W(x-2)(x-2)+(y-l)(-y-l)=0.又净L所以3xf-8Xl+4=0,解

得x尸2(舍去)或XL|.所以直线MN过点Pg,-i).

令Q为AP的中点，即Qg,i).

若D与P不重合,则由题设知AP是RtAADP的斜边，故|DQ|三|AP|普.

若D与P重合,PIIJ|DQ|=||AP|.

综上,存在点，3,使得IDQI为定值.

2__2_=1

{e=|=2,解得仁：二\则双曲线的解析式为x2-^=l.

c2=a2+b2,

9.B由题易知a=l,b=V3,Ac=2,又Y|OP|=2,，△PFE为直角三角形，易知

||PFd-|PF2||=2,

222

・・・|PFF+1PF2|-2IPFJ-IPF21=4,X|PF』2+1PF2|=|F,F2|Mc=16,

AIPFiI•IPF21=^=6,/.SAPF1F2=1IPFiI•防|=3.故选k

10.A设双曲线C的标准方程为q-3=l(a>0,b>0),由题意知

a2b2

IPEHPF21=2a,|PFJ=31PF21,两式联立解得|PFd=3a,|PF」=a,又|FEI=2c,所以

在ZXPFF2中，由余弦定理得|FF2|2二|PF/2+|PF2|2-2|PF』IPF2ICOSNF1PF2,即

4c2=9a2+a2-2X3a•

a-cos60°,可得J1,所以双曲线C的离心率e二空故选A.

a2a2

11.A双曲线的渐近线方程为尸土白,根据对祢性，不妨取yj,即

16944

3乂-4尸0,点(3,0)到直线3x-4y=0的距离d二誉望=4,故选A.

K+e4产5

12.答案y=V3x;y=-V3x

P=£=2j.2

解析由题意得•。一’所以2=3,

(2=@2+82,a

所以双曲线的渐近线方程为y=±-x=±V3x.

a

13.解析⑴由题意知IFF2U2VU,因为|MFJTMF2|=2〈|FF2|二2VT7,所以结合

双曲线定义知，点M的轨迹C是以F],F2为焦点的双曲线的右支.设其方程为

《-3=l(a>0,b>0,x^a),则2a=2,2c=2V17,解得a=l,c=y/17,则

b2=c2-a2=(V17)-12=16,所以M的轨迹C的方程为x2-^l(x^l).

(2)解法一:如图，设Tg,m),直线AB的方程为

(y=^1+

由｛J

x2-y-=l(x>1),

得(16-照)x?+(好-2km)x-i好+kim-心16=0.

设A（xi,设，B（X2,y2）,

则X1+X2与筌，XIXk吗关T

AO汽1XO

则|TA|=J1+好(%勺,ITB|=71+fci(x2-|)，

所以|TA|,|TB=(1+好)(x「?•叱尸七黑十畸

设直线PQ的方程为y-m=k2(x-i),

同理，得|TP|•向仁田+乎(1+彪).

抬-16

因为|TA|•|TB|=|TP|•|TQ|,

所以空党产二空嘿誓,所以占9黑,即四二四，

fc£-16gT6kf-16fc^-16x4

由题意知k.^k2,所以L+k2=0,即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

解法二：设Tm),直线AB的倾斜角为0I,直线PQ的倾斜角为

02,\TA\=th\TB\=Uf

则直线AB的参数方程为卜=ticos%，

y=771+CiSin%.

2

因为点A在双曲线上，所以16G+tiCOS/)-(m+3sin0)2=16,即

(16cos2。「sir?。Jt^+(16cos。「2msin。i)ti-(m2+12)=0.

22

同理,可得（16COS?。-sin0J,+（16cos0「2m•sin01）t2-（m+12）=

0.

22

所以tbt2为方程（16cos?0「sin,01）t+（16cos。「2msin01）t-（m+

12)=0的两个根,

则|TA|•|TB|二t£-上,

22

16cos01-sin01

一的)

同理，2+12

|TP|•|TQ|=2_2

16cos02sin2

22

结合|TA|­|TB|=|TP|•|TQ|,#COS01=00802,

又因为AB与PQ是不同直线，所以cosei=-coso2,于是e1+e2=4，则kAB+kPQ=0,

即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

14.B抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是0),由点仁，0)到直线x-y+l=0的距

离为鱼,可得吃鱼,即卜+1卜2,解得p=2或p=-6,又・・・p>0,・・.p=-6不合题意,

V212I

舍去,・・・p=2.故选B.

15.C设焦点为F,点A的坐标为(xo,y0),由抛物线定义得lAFkxo+a・・,点A到y

轴的距离为9,

Ax0=9,A9+£=12,Ap=6.故选C.

16.答案5;4西

解析设点M的坐标为(xo,y。)，则|FM|=x0+l=6,解得x°=5,所以M的横坐标是5.将

x0=5代入y2=4x,得|y0|=2而，由题意得S△刖二打(5-1)义2遥二4遍.

17.答案x=-|

解析・・•点P在抛物线上且PF±x轴，不妨设点P位于x轴上

方，，P&p)・・・OP，PQ,・・・由平面几何知识可得|PF「=|OF|•|FQ|,

又・・,|FQ|=6,，p2=2X6,・♦・p=3或p=0(舍)，

AC的准线方程为x=-|.

FQ

18.解析(1)由已知得p=2,所以C的方程为y2=4x.

⑵由⑴知F(l,0).设P传,y0)，Q(xi,yi),

则由已知得(工「*，%-九)二9(l-xb-yi),

所以看磊(9+*,y超.

于是直线0Q的斜率心生.

9+4

4

当yWO时，k<0.

当y<>0时，

-L.ZO

yo4

当且仅当2二个，即y°=6时取等号.

yo4

所以直线0Q斜率的最大值为去

19.答案y

2

解析解法一:设A(xbyi),B(x2,y2),由已知可得抛物线y=4x的焦点为F(l,0),

过点F且斜率k二b的直线方程为y=V3(x-1).

—4乂

由一屋八消去y得3X2T0X+3=0,

(y=V3(x-1),

.•.X1+X2Fxix2=l,

22

/.IAB|=V1+kJ(%i+上)~4x1x2=y/l+3XJ等-4=y.

解法二:在抛物线y2=4x中,2p=4,斜率为遮的直线的倾斜角0=今・•.过焦点的弦

4

20.解析(1)由题设知F(0,Q,圆M的圆心为(0,-4),半径为1,F与圆M上点的

距离的最小值为表3,由题设解得p=2.

(2)由(1)知C:x?=4y.

设P(xo,y0),A(xi,yi),B(x2,y2)・

因为C在A处切线的斜率为其所以直线PA的方程为xix-2y-2厅0.

因为P在直线PA上，所以x1xo-2yo-2yFO,所以A在直线xox-2y-2yo=O上.

同理,B也在直线xox-2y-2yo=O上.

所以直线AB的方程为xox-2y-2yo=O.

由国-2尸=0x2.20)

=4y,

故Xi+x2-2xo,X1X2-4y().

2

因此IABI=J1+停)(xt-x2)(就+4)(X-—4y()).

因为点P到直线AB的距离d=翠丝]

、爆+4

所以APAB的面积S=i|AB|Xd=1(xg-4y0)l

2

由就=「(y°+4)2得S=i[21-(y0+6)]l

因为y°w-5,-3],所以当y0=-5时，APAB的面积取得最大值,最大值为20V5.

21.解析(1)由题意知p=2,所以抛物线的方程是yMx.

⑵由题意可设直线AB的方程为x=ty+l(tw0,A(xby),B(X.2,y2).

将直线AB的方程代入y2=4x,得y2-4ty-4=0,

所以yi+y2=4t,yiy2=-4.

直线MA的方程为尸”=(x+l),

设直线1的方程为xgy+s.

t己P(xP,yP),Q(XQ,yQ),

,y=%i+i(x+1),2(S+1)%

由《得yp二

(2t-l)y+4

x=；y+s,1

2(s+l)y2

同理，得YQ='

(2t-i)y2+4

r

x=ty+1,2(-1)

记R(X,yj,由・1得YR=

R=-y+s,2t-l

由题意知MblyJ•乐|,化简得易知SA所以第二普葛

(2t-l)4tz+3(s-1)(2t-l)

因为品=(念+当仅得时，等号成立,所以智得s<-7-4遮或

sA7+4V5且sWl.

因此直线1在x轴上截距的取值范围是(-8,_7—4b]u[-7+4V3,1)

U(1,+8).

三年模拟练

1.B,•.△POFz是面积为次的正三角形，・・・¥c2=V5,・・・c=2.不妨设P在第一象限,

4

则P(1,V5).

将(1,8)代入椭圆方程可得与a2=b2+4联立,解得b2=2V3.故选B.

azbL

2

2.C设所求双曲线方程为x?-(t(tWO).

因为点(4,6)在所求双曲线上,所以16-18-t,解得t-2,所以所求双曲线的方程为

[一翼1.故选C.

42

3.D不妨设k>0.设双曲线的左焦点为九连接AF.,BF.,如图所示.

由题意知四边形AFBR是平行四边形.

易知|BF』二|AF|二2|BF|.

由双曲线的定义知IBEHBF|=2a,所以|BF|=2a,则|AF|=4a,

|AB|=2V3a.

由双曲线的对称性知0A|=|0B|=||AB|=d5a.

在RtZiOBF中，|0B|=8a,|OF|=c,|BF|=2a,|0B『+|BF|2二|0F|2,即3a2+4a?=c：所以

c=V7a,所以e=^=V7.故选D.

a

4.B如图所示.

设M(-c,t).易得直线AM的方程为y=4(x+2),

2-C

令x=0,得y=^,所以E(0,言)

易得直线BM的方程为尸-二(x-2),

2+c

令x=0,得y啜，所以N(。,给.

由题意得10E|二31ON|,所以3X2卢,解得c=l.

所以b2=a2-c2=4-l=3,所以|PF|二也2.故选B.

a2

2222

5.BC易知件,F2为椭圆曰*1的两个焦点,Ei,E2为椭圆白高二1的两个焦点,若

点P仅在椭圆冬+4=1上，则P到3(-4,0)产2(4,0)两点的距离之和为定值,到

日(0「4),E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A中说法错误;两个椭圆关于直线

y=x,y=-x均对称，故曲线C关于直线y=x,y=-x均对称，故B中说法正确；曲线C

所围区域在边长为6的正方形内部,所以面积必小于36,故C中说法正确;曲线C

所围区域在半径为3的圆外部,所以曲线的总长度大于圆的周长6%故D中说法

错误.故选BC.

6.C由双曲线方程知F(l,0),所以即p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.

由题意设直线L的方程为尸k/x-1)(k1W0),直线b的方程为y=k2(x-l)(k2^0),

则呼+好=L

由消去「得股x2-(2好+4)x+四二0,

所以XA+XIF^^=2+2.同理,XD+XE=2+2

Ze】k]Ze2

由抛物线的定义口J得IAB|+1DE|=(当+々+1)+(0+々+

%＞门质网+2P=2+±+2+±+4=8+瞥=8+忌28+商=24,当且仅当

好=好号时,AB|+|DE|取得最小值24.故选C.

7.D设|AF|二a"BF|=b,则|AAj=a,|BB/二b,

.,•线段AB的中点到准线的距离为等二年，

・・・以线段AB为直径的圆与准线1相切,故①正确；

连接AF,BF,・・・|AA/二|AF|,|BB』二|BF|,

JNAFALNAAENBFB尸NBBF,又NBAAI+NABB尸180°,

A180°—2NAFAi+1800-2NBFB尸180°,.・・NAFA]+NBFBL900,

...NAFB尸90°,・•.以AB为直径的圆经过焦点F,故②正确；

设直线AB:x=my+pA(xbyj,B(x2,y2),

,x=my+一，g22

由｛2<y-2pmy-p=0,Ayiy2=-p9-,

3?=2px,

易知函二（xby）二偿,％）,西二（-1,丫2），

••等•yz=竽•y尸%，，出〃西，・・・A,0,Bi三点共线，故③正确；

易知A（xo,痴焉），贝Ih©笋，，直线AT:x二&-Xo,与抛物线方程y2=2px联立,

2Ko7P

得y2-2p怪y+2px0=0,・・・A=4p2xW"8pxo=O,・♦•直线TA与抛物线相切，故④正确.

7Pp

故选D.

8.答案出正

解析连接QFi,由题意得QF」PF2,且|QF2《.

由双曲线的定义知|QF」;2a+|.

在RtZ\FQF2中，(2a+：)2+(()2=(2c)2,艮08a2+4ac-7c2=0,BP8+4e-7e2=0,

e二等(负值舍去).

9.答案[1,4]

解析由已知得2b=2,故b=l.

VAF^B的面积为一,..，(a-c)b=・・・a-c=2一四.

又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=l,Aa=2,c=V3.

・i十i_-J：+PF?：

iPFil\PF2\|PF1I\PF2\

_4________4_______

IPF11(4-1PRI)一出&|2+4p0「

易知2-百W|PFjW2+V5,

•K-lPFil+4|PF/W4,

・,”金+总会

故—+土的取值范围为[1，4].

PF*I\PF2\

10.解析⑴当BF_LAF时，|AF|=a+c"BF|二丝,

a

/.a+c-,又b2=c2-a2,/.a2+ac=c2-a2,

a

/.2a2+ac-c2=0,

.\e2-e-2=0,解得e=2(负值舍去).

(2)证明：设B(x,y),x>0,y>0.

当xWc时，tanNBAF=k后一^-,kF=—,

x+aBx-c

2y

Atan2NBAF=?tan产厂严、右)y2(x+a)y2(x+a)yyy

z2

l-tan2zBAF卜(上)“(x+a)2-y2(x+d)2-3a2-2x+2ax+4a2a-xc-x

-kBF-tanZBFA.

ZBAF,ZBFAe[o,Qug,IT),

・・・NBFA=2NBAF.

当x=c时，|BF|=|AF|,・・・NBFA=90。=2ZBAF.

综上，ZBFA=2ZBAF.

11.解析（1）选①：

a2=b2+c2

由题意可得12b=2百，[Q=2,

c_1w=V3,

-2，

22

・・・椭圆c的方程为—+一=1

43

选②：

（2b=2A/3,

由题意得1i2解得

三+今=1，

故椭圆C的方程为

43

选③：

当P在上(下)顶点时,S&F/2最大，

Hltt|x2cXb=V3,即bc=V3.

V2b=2V3,Ab=V3,Ac=l,

・・・a2=l+3=4,・••椭圆C的方程为。+《=L

43

(2)证明：(i)当k=0Bt,(1)W|PQ|=2a=4,|NFj=c=l,.*.7^7=4.

1/vFiI

(ii)当kWO时，由(1)可得B(-1,0),所以直线PF.的方程为y=k(x+l).

设P(xb设，Q(X2,y2),

y=fc(x+1),

由江+片得(3+410x2+8k2x+4k2-12=0,

=1,

\43

8k24k2-12_oj>3

则X1+X2=一，2X1X22,yi+y2=k(xi+1)+k(x+l)=k(xi+x)+2k=