2022高3统考数学文北师大版1轮教师文档：第5章 含答案

第五章

DIWUZHANG

数列

第一节数列的概念与简单表示法

^■回顾教材-夯实基础课本温故追根求理

授课提示：对应学生用书第88页

［基础梳理1

I.数列的有关概念

概念含义

数列按照•定顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数

数列的通项数列｛，，〃｝的第〃项an

数列｛m｝的第〃项小与〃之间的关系能用公式如三侬表示，这个

通项公式

公式叫作数列的通项公式

前〃项和数列｛〃〃｝中，Sn=41+。2~1-----叫作数列的前〃项和

2.数列的表示方法

列表法列表格表示〃与0〃的对应关系

图像法把点5,3画在平面直角坐标系中

公通项

把数列的通项使用公式表示的方法

式公式

法递推使用初始值41和3+1=次。〃）或41，。2和。“+1=人小,。“一1）等表示数列

公式的方法

3.%与S”的关系

若数列｛〃”｝的前n项和为

S],n=1,

贝Ia,i

$—S〃二],〃22.

4.数列的分类

L知识拓展提升思维能力

1.与函数的关系:

数列是一种特殊的函数，定义域为N.或其有限子集数列的图像是一群孤立的点.

2.周期性:若如+*=%（〃£N+,左为非零正整数）,则｛词为周期数列,左为｛〃〃｝

的一个周期.

［四基自测］

1.（基础点：数列的项）已知数列｛〃〃｝的通项公式为。〃=9+12%则在下列各数中，

不是｛〃”｝的项的是（）

A.21B.33

C.152D.153

答案：C

2.（基础点：数列递推关系）在数列｛〃”｝中，=1,Cln=1+（〃22）,则d4=（）

Cln-1

A3「5

A，2B.g

C4D・5

答案：B

3.（基础点：数列的前〃项和）设S”为数列SJ的前〃项和，已知$4=0,45=5,

则S5为.

答案：5

4.（易错点:数列的通项公式）数列1,黑23,4气5,…的一个通项公式小=.

答案:

2/1—1

考点分类-深度剖析名，市导悟以例示法

授课提示：对应学生用书第89页

考点一数列的项与通项公式

挖掘1判断通项公式/自主练透

［例1］（1）下列公式可作为数列｛m｝：1，2,1,2,1,2,…，的通项公式的是（）

（一1）”+1

A.1B.2

.，械（-1）1+3

C.。”=2-sin2D.cin=

［解析］由々”=2—sin詈可得。1=1,“2=2,。3=1,的=2,….故选C.

［答案］Q

（2）根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

①一1,7,-13,19,…；

②0.8,0.88,0.888,…；

「15132961

®2f4*一乖正~329641…；

岐L1卷…；

⑤0,1,0,1,・•・.

［解析］①符号问题可通过（一1）〃或（一l）〃+i表示，其各项的绝对值的排列规律

为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为〃〃=（—1）〃（6〃一

5).

888

②将数列变形为§x(l—0.1),^X(l-O.Ol),5X(l-O.OOl),

③各项的分母分别为2122,23,24,易看出第2,3,4项的分子分别比分

2—321一32~-32,—3

母少3.因此把第1项变为一方一，原数列可化为一下L,下一，一下二，

24-3

24，…,

2〃一3

•・〃〃=（-1）”•一yi~•

3579

④将数列统一为受，子正而…，对于分子3,5,7,9,…，是序号的2倍

加1,可得分子的通项公式为包=2〃+1,对于分母2,5,10,17,…，联想到

数列1,4,9,16,…，即数列｛/｝,可得分母的通项公式为外=层+1,因此可

得它的一个通项公式为小=京仃.

_/0,（〃为奇数），

⑤“产卜（〃为偶数）,

［破题技法］1.已知数列的前〃项写出一个通项公式，主要考查的是逻辑推理与

归纳.

常用方法：观察（观察规律）、2较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、

联想（联想常见的数列）等方法.

由于只给出了部分规律，符合这几个特殊项的通项公式并不唯一.

2.具体策略：

⑴分式中分子、分母的特征；

（2）相邻项的变化特征；

（3）各项的符号特征和绝对值特征；

（4）对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系;

（5）对于正负号交替出现的情况，可用（一及或（一1产1MN）处理.

挖掘2判断数列的项/自主练透

［例2］（1）己知数列啦，小，2叵…，则2小是这个数列的（）

A.第6项B.第7项

C.第19项D.第11项_____

［解析］数列即:戏，小,小,…，据此可得数列的通项公式为：-1,

由、3几一1=2小,解得：〃=7,即2小是这个数列的第7项.

［答案］B

（2）如果一个数列｛〃〃｝的通项公式〃“=/+2〃+3.

①求410；

②83是否为该数列的项，如果是，是数列的第几项.

［解析］①当〃=10,6［|0=100+2X10+3=123.

②如果川+2〃+3=83,即n2+2H-80=0.

.・.（鹿+10）3—8）=0,・・・〃=8（〃=一10舍），

故83是这个数列的第8项.

考点二已知递推关系求通项公式

挖掘求通项公式/互动探究

［例］根据下列己知条件，求数列｛m｝的通项公式:

累加法：（1）0=2,a〃+i=a〃+ln（l+：）；

、1n—1

累乘法：（2）。1=/,Cln=।।dn-1（772）；

构造法：（3）〃1=La〃+i=2a〃+3；

辅助数列法：（4）ai=|,4"+1=*+（号；

取倒数：(5)。|=1,dn=~zTV*

3。11+1

取对数：(6)〃|=3,ClnI1=Qn.

［解析］(1)因为〃〃+i=a“+ln(l+;),

n~\~1

1-

所以alJ+=Inn(n21),

n

所以an-a,i-i=InAn22),

n—r

n—12、

所以小一1-…，42-〃1=1町(〃22),

U

所以an-a\=\n~+1n_~~~\-----FlnT=ln

n~\n~21

所以a”=ln〃+m(〃22),又〃i=2,所以〃”=ln〃+2.

(2)因为加=：+］小_1(〃22),

ann—\

所以当时

an-\〃+1

ru、，如1432421

所以---=-TT,…，—=7,—=7,

an-\n+1ai4'a\3'

个式子相乘得言公ain~1n—221

以上n—1

aia\n+1n.,了亨

即宾=17：X2X1,所以'（缶）・当〃=1时，^,=7x2=i也与已知

41=3相符,

所以数列｛〃〃｝的通项公式为av=

n(/i+l)

（3）设递推公式a〃+i=2a〃+3可以转化为a〃+i—f=2（a〃一。，即。〃+1=2。〃一，，解

得f=-3,故递推公式为a“+i+3=2（a〃+3）.

治+1a〃+i+3

令瓦=々〃+3,则氏=防+3=4,且

bna〃+3

所以｛为｝是以6=4为首项，2为公比的等比数列.

所以d=4X2〃—i=2"+i,即小=2〃+1—3.

1/i\n+l2

(4)在所1=.+(可两边分别乘以2叫得2〃+［十1=?(2凡4”)+1.

2

n

令bn=2-an,则bn+1=/?+1,

2

根据待定系数法，得及+］—3=，(瓦一3).

542

所以数列｛氏一3｝是首项为6-3=2X不一3=一丞公比为］的等比数列.

4,2甲一1/2Y2

所以d一3=一7团,即。〃=3—2团.

于是,小=*=3(；)"-2停)"

(5)取倒数，得%受F=3+£.•.尚是等差数列,2=t+3("—1)=1+

3(〃-1)=>〃“=3〃二.

(6)由题意知。。0,将4〃+i=症两边取常用对数得到Ig〃〃+i=21g。〃，即、：丁=2,

lg

所以数列｛lga〃｝是以Igm=lg3为首项，2为公比的等比数列.所以lga〃=(lg3>

所以。〃=32"一］.

［破题技法］常见求通项公式的方法

方法转化过程适合题型

Q—。1)+(。3­。2)+…+(〃”

累加法an+l—01=或〃)(/(〃)可求和)

一4〃-1)=4"一

累乘法—X—X…X—X—=—

an一八〃)，犬〃)可求积

a\aian-2an-\

由an+1=pan+q化为an+1+m

构造法=p(an+m)9构造｛。〃+加｝为cin+i=pa“+q

等比数列

由m+i—化为〃+i—

修+也放入辅助数列｛瓦｝,n

辅助数列法an+\=pan-\-rq

为+i=/〃+1,再构造数列

取倒数得

k\an\~vb)ma*i

取倒数法a

1妨1女人］1"k

anman-\man

对化为1g0=Hg

取对数an-\+\gpan=pa；i-i(n22,p>0)

令bn=lgGn

考点三S〃与。〃的关系的应用

挖掘1已知S〃求外/自主练透

［1501］(1)已知数列｛。”｝的前拉项和5〃=2〃-1,则。2闱6=()

A-L

八64

C.16D.64

2655

［解析］6F2=S2-SI=(2-1)-(2'-1)=2,4Z6=S6-S5=(2-1)-(2-1)=2=

32,a2-a6=()4.

［答案］D

(2)(2020•广东化州第二次模拟)已知S〃为数列｛〃〃)的前n项和，且log2(S〃+l)="

+1,则数列｛m｝的通项公式为.

［解析］由log2(S〃+l)=〃+l,得S〃+l=2”+i,

n

当〃=1时，a\=S\=3;当〃22时，an=Sn—Sn-\=2f

3,72=1,

所以数列｛〃〃｝的通项公式为小=

.2",〃22.

3,n=\

［答案］an=

2”，

挖掘2已知S〃与。〃的关系/互动探究

［例2］(1)(2018・高考全国卷I)记S”为数列｛小｝的前n项和.若Sn=2an+\f则

§6=.

［解析］・・・S〃=2〃〃+1,当“22时，S〃—I=2Q〃_I+1,

♦•Cln~~Sn—Sn-1=2,Cln-2。”-1,

=

即a〃=2a〃-it当〃=1时，u\S\=2in+1,得ci\~~—1.

・•・数列｛为｝是首项的为一1,公比q为2的等比数列,

(1一/)-1(l-2n)

：.Sn=—--------------

i—q

AS6=l-26=-63.

［答案］—63

(2)(2020•广东江门模拟)记数列｛〃〃｝的前〃项和为S“，若任意〃£N+,2s“=m+1,

则42020=.

［解析］・・・2S=a〃+l,

25〃-1=斯-1+1(〃32),

/.2Sn—2Sn-1=2a,t=a”—〃1(九N2),

即a〃=-a”_i(〃22),又2si=2ai=m+1,

41=1,・.42020=42=-41

［答案］—1

［破题技法］S“与关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

(1)利用。“=5〃一*一1(〃22)转化为只含8,S”」的关系式，再求解.

(2)利用5“一5"_|=〃”(〃22)转化为只含々〃，的关系式，再求解.

L变式训练培养应变能力

1.在例2(2)中，｛如｝的通项公式。尸

答案：(―l)w+1

2.在例1(1)中，可否求通项公式

解析：当〃=1时，di=5i=l,

当时，5«-1=(2,7—l)—(2/,-|—l)=2n~1,

41=1适合。〃=2"一|,

n［

故an=2~.

考点四数列的性质

［例］已知数列｛〃“｝满足也尸=2,山=20,则管的最小值为()

A.4^5B.4^5-1

C.8D.9

［解析］由々“+I—0?=2〃知：02—01=2X1,43-42=2X2,an—an-1=2

(〃一1),〃22,

以上各式相加得〃“一ai=〃2—〃，〃22,所以m=〃2—〃+20,〃22,当〃=1B寸，

0=20符合上式，所以〃〃=??—〃+20,〃£N+,所以管=〃+吊"―1，〃£N+,

所以后4时仅单调递减，心5时管单调递增，因为詈=母，所以管的最小值为詈

=y=8,故选C.

［答案］c

［破题技法］1.类比周期函数的概念，我们可以定义：对于数列｛〃〃｝,如果存在

一个常数7(TEN)使得对亍任意的正整数〃,〃o,恒有斯+丁=〃〃成立，那么称

数列仅〃｝是从第〃。项起的周期为7的周期数列.若m=1,则称数列伍”｝为纯周

期数列；若加22,则称数列｛〃“｝为混周期数列.丁的最小值称为最小正周期，

简称周期.

2.解决数列周期性问题时，可先根据已知条件求出数列的前几项，当出现各项

重复性地出现后，便可由此磔定该数列的最小正周期7,再根据公式。〃+7=。〃将

所求项转化为较小的项，从而求得该项的值.

3.求数列的最大项、最小项的常见方法

(1)利用“两边夹”思想

设小为数列｛〃〃｝中的最大项，则有彳、(〃22).

。”三4”_1

解出适合上述不等式组的，值，从而确定数列的最大项.

a〃&an+1,

类似地，设。〃为数列｛〃〃｝中的最小项，则有J”(〃22).

an^an-\

解出适合上述不等式组的〃值，便能确定数列的最小项.

⑵利用函数思想

①数列是特殊函数，具有函数的一些特性，求数列项的最值完全可以依据研究函

数最值的方法解决，但特别要注意数列的项数〃只能是正整数.

②根据条件构造相应的函数，通过配方、作差、作商等方法来确定函数的单调性，

进而确定数列的单调性，再求出数列的最大项或最小项.

③给出一个数列｛。〃｝,若能够判断数列｛〃〃｝为递增数列，则该数列具有以下性质：

防V。2V…Va〃V…，故(〃〃)mh=ai.

反之，若该数列为递减数列，则有41>42>…故(〃〃)max=4l.

L同源异考重在触类旁通

1.在数列｛〃〃｝中，41=—彳，an=1—(〃22,〃£N+),则。2020的值为()

4(In-1

A.一；B.5

J一5

C,5D4

解析：在数列｛〃〃｝中，ai=—7,o〃=l一」一(“22,〃WN+),所以。2=1—'T=

4Qn-1__£

-4

411

5-----

a3=15y4中

-

5

所以｛〃〃｝是以3为周期的周期数列，所以。2020=4673x3+1=0=一

答案：A

x+1,

2.（2020•江西宜春期末测试）己知函数/（x）=52x~1,^<x<l,歹J｛｝两

3—1,工21,

7

0--

3a〃+lwN-),则。2019=()

7

-

A.3

51

c--

6D.3

解析：由题意,a（）=灼)

不…，故数列｛〃〃｝从第三项起构成周期数列，且周期为3,故

019=43=］.故选D.

答案：D

第二节等差数列及其前〃项和

^^回顾教材-夯实基础课本温故追根来源

授课提示：对应学生用书第92页

［基础梳理］

1.等差数列的有关概念

⑴定义：

①文字语言：从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于圆一个常数.

②符号语言：an+\—an=d（nGN-,d为常数）.

(2)等差中项：数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=亍，其中虫叫作出

〃的等差中项.

2.等差数列的有关公式

(1)通项公式：an=a\-\-(n—\｝d.

乂〜-L、~，八(〃-1),n(川+〃“)

(2)IJUn项和么式：Sn—ncii+d=3.

3.等差数列的性质一

(1)通项公式的推广：an=a,n-F(n—m)d(n,机£N+).

⑵若｛〃“｝为等差数列，且2+/=〃z+〃(火，/,m,则次

(3)若｛〃”｝是等差数列，公差为d,则ak,ak+mfak+2mf•••(k,m6N+)是公差为

md的等差数列.

(4)若S为等差数列｛〃”｝的前〃项和,则数列S〃，S2nLsm,S3加一S加，…也是等

差数列.

R知识拓展提升思维能力

1.两个重要技巧

(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为。一d,a,a+d.

(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再依据等差

数列的定义进行对称设元.

2.三个必备结论

(1)若等差数列｛m｝的项数为偶数2〃，则①S2”=n(a1+。2〃)=…=n[an+1);

②S/—5升=〃d,兴=-^~.

OiwUn+\

s,1]

(2)若等差数列｛m｝的项数为奇数2〃+l,则①S2”+i=(2〃+l)a”+i;磅

Clin.0,

(3)在等差数列｛小｝中，若0>0,d<0则满足一八的项数机使得S“取得最

f如+iW0

W0,

大值S”；若aiVO,40,则满足，、八的项数帽使得S取得最小值%.

3.两个函数

等差数列｛a〃｝,当dWO时，an=dn+(a\-d)f是关于〃的一次函数；

S〃=，/2+(0一务?是无常数项的二次函数.

[四基自测]

1.(基础点:求项数)已知数列｛跖｝中,。“=3〃+4,若〃〃=13,则〃等于()

A.3B.4

C.5D.6

答案：A

2.(基础点：求公差)已知等差数列｛〃“｝满足：43=13,413=33,则数列｛“〃｝的公

差为()

A.1B.2

C.3D.4

答案：B

3.(基础点：求通项)己知数列｛如｝中，0=1,。〃+1=小一1,则4〃等于.

答案：一〃+2

4.(基础点：求等差数列的前〃项和)已知等差数列5,4y,3y,则前〃项和

Sn=.

答案：得(15〃一〃2)

^■考点分类•深度剖析名帅导悟以例示法

授课提示：对应学生用书第92页

考点一等差数列的基本运算及性质

挖掘1用等差数列的基本量⑶和d进行计算/自主练透

［例1］(1)(2018.高考全国卷］)记5〃为等差数列｛〃〃｝的前〃项和，若3s3=&+S4,

41=2,则45=()

A.-12B.-10

C.10D.12

［解析］设等差数列｛m｝的公差为d,由3s3=S2+S4,

山=2代入上式，解得4=-3,

故。5=m+(5—l)d=2+4X(—3)=-10.故选B.

［答案］B

(2)(2019・高考全国卷I)记S为等差数列｛小｝的前〃项和.已知S4=0,3=5,

则()

=

A.an=2n—5B.an3n—\0

C.S〃=2〃2—8〃D.S〃=；〃2—2〃

［解析］设首项为s,公差为d.

m+4d=5,

由S4=0,“5=5可得，

4m+6d=0,

解得

所以a“=-3+2(〃-1)=2〃-5,

.n(〃-1)c

S〃=〃X(-3)+----z----X2=n2-4n.

故选A.

［答案］A

(3)已知等差数列｛〃〃｝的各项都为整数，且的=-5,GO4=—1,则⑸|+|。2|+…

+©。1=()

A.70B.58

C.51D.40

［解析］设等差数列｛m｝的公差为d,

由各项都为整数得

因为。1=—5,所以。3。4=(—5+2J)(—5+3J)=—1,化简得6〃-25d+26=0,

解得d=2或4=x（舍去），所以a〃=2n—7,

7X（［+［3）

所以|。1|+|。2|+…+|mo|=5+3+1+1+3+…+13=9+=58.故选

B.

［答案］B

挖掘2用等差数列性质进行计算/互动探究

［1502］（1）记S〃为等差数列｛〃〃｝的前〃项和.若以+。5=24,S6=48,则｛〃“｝的

公差为（）

A.1B.2

C.4D.8

［解析］设等差数列｛m｝的公差为d,

m+3d+m+4d=24,

A］,6X5

d=48,

，d=4,故选C.

［答案］C

（2）已知｛如｝为等差数列，41+43+45=105,42+04+。6=99,则420等于（）

A.7B.3

C.-1D.1

［解析］由｛。“｝是等差数列及m+。3+4=105,

得343=105,即43=35,

由｛〃〃｝是等差数列及々2+04+^6=99,得3的=99,即々4=33,则公差d=«4—。3

=-2,

则«20=«3+（20-3）6/=35-34=1,故选D.

［答案］D

（3）（2020•广东第一次模拟）等差数列log3（2x）,log3（3x）,log3（4x+次，…的第四项

等于（）

A.3B.4

C.log318D.log324

［解析］・.」og3（2x）,Iog3（3x）,log3（4*+2）成等差数列,

Iog3（2x）+log3（4x+2）=21og3（3x）,

Iog3［2x（4x+2）］=log3（3x）2,

C2x（4x+2）=（3x）2,

2x>0,

・•・<解得x=4.

4x+2>0,

l3x>0,

・•・等差数列的前三项为log38,log312,log318,

3

公差d=logs12-loga8=logs^,

3

数列的第四项为log318+Iog32=log327=3.

［答案］A

［破题技法］等差数列的计算技巧

方法解读适合题型

基本用小和d表示条件和所求，用方程五个基本量，aifd,Sn,n,a〃中知

量法思想求出ai和4三求二

性质用等差数列的性质将已知和所求联

当已知中有式的表达式

法系起来，用性质表示〃〃和S”

L同源异考重在触类旁通

(2020•河北石家庄一模)已知函数7U)在(-1,+8)上单调，且函数)，=//一2)的

图像关于直线X=1对称，若数列｛斯｝是公差不为0的等差数列，且正。50)=/351),

则｛。〃｝的前100项的和为()

A.-200B.-100

C.0D.-50

解析：由2)的图像关于直线x=l对称，

可得y=/(x)的图像关于直线工=-1对称，由数列｛〃〃｝是公差不为0的等差数列，

且贝〃50)=人。51),函数7U)在(-1,+8)上单调，可得。5。+公1=—2,

又由等差数列的性质得a\+ai(x)=tZ5o+«5i=-2,

100(ai+moo)

100,故选B.

则｛〃“｝的前100项的和为2

答案：B

考点二等差数列的判定与证明

挖掘1用等差数列定义证明/自主练透

［例11(2020•南京模拟)已知数列｛〃“｝的前〃项和为S〃且满足外+25”-5〃-1=

0(〃22),£7i=1.

(D求证：是等差数列;

⑵求小的表达式.

［解析］(1)证明：因为a”=S“一S“」(〃22),

11

=

又Cln-2Sn，Sn-lf所以Sn-1—Sn=2S,「Sn-1,S〃W0.因此，=2(〃22),故由

等差数列的定义知&■］是以卷='=2为首项，2为公差的等差数列.

dlCl\

(2)由(1)知三=［+。—1)d=2+(〃-1)X2=2〃，

ono\

即S产去

由于当〃22时'有。“=—2&$」=一2〃(二一1)，

又因为ai=1,不适合上式.

R(〃=i),

所以a=

n1

(心2).

、2n(M—1)

挖掘2用等差中项法证明/互动探究

［例2］己知等比数列｛m｝的公比为q,前〃项和为S”.

⑴若S3,S9,S6成等差数列，求证：S,。8,45成等差数列；

(2)若加+2是。n+1和m的等差中项，则S“，S〃+2,S〃+l成等差数列吗？

［解析］(1)证明：由S3,59,S6成等差数列，得S3+S6=2S9.

若q=l,则3m+6m=18勿，解得m=0,这与｛〃〃｝是等比数列矛盾，所以夕W1,

于是有,—4)?一力=2内,—q9)整理得夕3+/=2/

1—q1~q1—qn1

因为夕WO且qWl,所以寸=-3，tZ8=^6=^a2,〃5=a2g3=—%2,

所以2〃8=。2+。5,即〃8—Q2=Q5—48,故〃2,〃8,45成等差教列.

(2)依题意，得2小1+2=丽+1+。小，则2。1/|"=。1/"+04〃厂1.在等比数列｛。〃｝中，

6n=0,qRO,所以2夕2=q+］,解得夕=1或q=一~z.

当4=1时，5,〃+5加+1="以1+(6+1)小=(26+1)。|,S〃1+2=(〃z+2)ai.

因为卬工0,所以2SMRSM+Si此时S”，S〃+2,S〃+i不成等差数列.

当g=_g时，

=争[1一(一％+l-(-1)w,+l]

所以2S〃J+2=Sin4Sm+1.

故当(］=1时，Sin,Sm+2fSm+l不成寺差数列；当q=—1时，Sm,Sm+2fSm+1成

等差数列.

［破题技法］判定数列｛如｝是等差数列的常用方法

(1)定义法：对任意〃£N+,小+i—小是同一个常数.(证明用)

(2)等差中项法:对任意〃22,〃EN+,满足2〃〃=〃升|+〃〃i.(证明用)

(3)通项公式法：数列的通项公式如是〃的一次函数.

(4)前〃项和公式法：数列的前〃项和公式S”是〃的二次函数，且常数项为0.

提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断.

［拓展1判断数列为等差数列，也可以利用图像特点：如果数列的图像(孤立的点)

分布在一条直线上，则该数列为等差数列，否则不是等差数列.

L同源异考重在触类旁通

如果小儿C,成等差数列且不全相等，!，:能构成等差数列吗？用函数图像

解释一下.

解析：a,b,C成等差数列，通项公式为)，=p〃+g的形式，且出b,C位于同一

直线上，

而,，4，，的通项公式为丁=一二的形式.

abc•pn+q

其图像不是直线，故*:不是等差数列.

考点三等差数列前〃项和及综合问题

挖掘1等差数列的求和及最值/互动探究

［例1］(1)(2018.高考全国卷H)记S”为等差数列｛〃”｝的前〃项和，已知m=-7,

S3=-15.

①求｛m｝的通项公式；

②求S”，并求S“的最小值.

［解析］①设｛m｝的公差为d,由题意得3山+3d=-15.

由u\——7得d=2.

所以｛。〃｝的通项公式为。“=41+(〃-l)d=2〃-9.

②由①得S”=曳留8〃=(〃-4/一16.

所以当〃=4时，，取得最小值，最小值为一16.

(2)已知数列■〃｝满足m=2,“(斯+i—〃一l)=(〃+l>(z+〃)5£N+).

①求证数列|答｝是等差数列，并求其通项公式；

②设为=病;-15,求数列｛|5|｝的前〃项和Tn.

［解析］①证明：〃-1)=(〃+1)(〃“+〃)(〃WN+),

/.nan+1-(〃+1=2n(n+1),・，・黑;-詈=2,

・•・数列愕是等差数列，其公差为2,首项为2,

.'.~=2+2(w—1)=2〃.

②由①知Cln=2〃2,bn-15=2〃-15,

e…，f,,工一”(-13+2〃-15)1

贝数列｛。〃｝的前n项和Sn=2=n2-14M.

令瓦=2〃-15W0,解得"W7.

:.〃W7时，数列｛|b〃|｝的前/项和

T,t=­b\—bl------bn=—Sn=-"2+14〃

时，数列｛|。”|｝的前n项和Tn=~b\—bi•一加+加+…+b〃=—2S7+S”

=-2X(72—14X7)+〃2—14”=序一14〃+98.

14n—M2,.W7,

•T=«

n［«2—14/7+98,〃28.

［破题技法］等差数列优〃｝的前〃项和S“存在最值的情况：

如果6Z|>0,J<0时，数列的项先正(或0)后负，将所有正项(或0)相加，则Sn

最大，或者5〃=%+3一9表示开口向下的抛物线，S〃存在最大.

如果mVO,J>0,数列的项先负(或0)后正，将所有的负项(或0)相加，则S〃最

小，或者5"=夕2+(4］一多〃表示开口向上的抛物线，SA存在最小.

挖掘2等差数列求和的综合应用/互动探究

［例2］(1)(2019.高考全国卷【)记S〃为等差数列｛〃“｝的前n项和.已知S9=一〃5.

①若43=4,求｛〃｝的通项公式；

②若0>0,求使得的〃的取值范围.

［解析］①设｛如｝的公差为d.

由59=_。5得0+44=0.

由43=4得41+21=4.

于是41=8,d=­2.

因此｛〃〃｝的通项公式为a〃=10—2几

②由①得4i=-4d,故a〃=(〃-5)d,

n(/?—9)d

S尸2,

由m>0知d<0,故&等价于/—15+10W0,解得1W〃W1O,所以〃的取

值范围是｛W〃W10,

(2)已知等差数列伍〃｝的前〃项和为S〃，0=-2,公差为d(d£N+).

①若45=30,求数列｛〃”｝的通项公式；

②是否存在%〃使S“=10成立？若存在，试找出所有满足条件的d,〃的值，

并求出数列｛如｝的通项公式；若不存在，请说明理由.

［解析］①当w=30时，由〃5=m+4d,

得30=—2+4乩解得d=8.

所以4］=。1+(〃-1)d=8//—10.

所以数列｛〃〃｝的通项公式为必=8〃-10.

②由S〃=10,得一2九+“-)=］(),

即一4〃+加一血=20,

所以飙2-(d+4)〃-20=0.

n=\时，得一24=0不存在；

〃=2时，得d=14符合，

此时数列的通项公式为an=a-\-(n—\)d=14/?—16;

〃=3时，得1=竽不符合；

〃=4时，得d=3符合，

此时数列的通项公式为。“=4：+(〃-l)d=3〃-5;

当〃=5时，d=2符合，

此时数列的通项公式为m=a+(〃-l)d=2〃-4；

99Q

〃=6时，得4=正不符合：〃=7时，得d=,不符合；

13

〃=8时，得4=逋不符合；〃29时，dVl均不符合，

所以存在3组满足题意，其解与相应的通项公式分别为

d=14,n=2,a〃=14〃-16;

d=3,〃=4,a〃=3〃-5;

d=2fn=5,an=2n—4.

［破题技法］有关S”的处理方法

关于等差数列前〃项和问题，主要是求和方法及性质的应用，其关键点为：

（1）定性质，根据已知条件判断出数列具有哪些特性.

⑵定方法，根据已知条件或具有的性质，确定解决问题的方法.

①求和：用哪个公式，需要哪些量.

②求S〃最值：（i）借助S“的二次函数法；

（ii）借用通项的邻项变号法

4/1>0,d<0,满足11八，S”取得最大值以；

%+1so

忘0

«1<0,办0,满足1、八，S”取得最小值Sm.

3+BO

挖掘3等差数列和的性质及创新问题/互动探究

［例3］（1）（2020.河北唐山第二次模拟）设｛〃”｝是任意等差数列，它的前几项和、

前2〃项和与前4〃项和分别为X,Z,则下列等式中恒成立的是（）

A.2X+Z=3YB.4X+Z=4y

C.2X+3Z=7YD.8X+Z=6Y

［解析］设数列｛〃“｝的前3〃项的和为R,则由等差数列的性质得X,y-X,R-Yf

Z-R成等差数列，

所以2（Y-X）=X+R—匕解之得R=3Y-3X,

又因为2（R-y）=y-X+Z-R,把R=3Y-3X代入得8X+Z=6Y,故选D.

［答案］D

（2）（2020.湖北黄冈一模）设等差数列｛〃〃｝的前〃项和为Sn,等差数列｛b〃｝的前n项

如小T用S“2018〃一I03_

和为4,右元一3〃+4'则iri|以一（）

A.528B.529

C.530D.531

［解析］根据等差数列的性质；状=等式得.=,=2??1=531.故选D.

On12n-\"3153X3十4

［答案］D

（3）（2020•江西红色七校第一次联考）已知数列｛汝｝为等差数列，若〃2+扇+小0=多

则匕。（。3+。9）的值为（）

A.0B坐

C.1D.小

［解析］•・,数列｛〃〃｝为等差数列，〃2+。6+。10=,,

4

3676=2，解得。6=不••♦。3+。9=2。6=?

・。11（43+々9）=1@吟=小.故选D.

［答案］D

(4)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分

八子作盘缠，次笫每人多十七，要将笫八数来言”.题意是：把996斤绵分给-8

个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17

斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()

A.174斤B.184斤

C.191斤D.201斤

［解析］用0,。2,…，48表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意

得数列s,42,…，48是公差为17的等差数列，且这8项的和为996,/.8tzi+—

X17=996,解得s=65.

.*.678=65+7X17=184,即第8个儿子分到的绵是184斤，故选B.

［答案］B

・同源异考重在触类旁通

1.(2020•广东六校第三次联考)等差数列｛〃“｝中,若〃4+。6+制+。10+〃12=120,

则ag—^aw的值是()

A.14B.15

C.16D.17

解析：依题意，由。4+。6+〃8+。1()+。12=120,得5(78=120,即48=24,所以

49—；au=J(3a9-an)=J(a9+a7+4ii-mi)=/a9+a7)=壬8=924=16,故选

C.

答案：C

2.设等差数列｛〃“｝,｛瓦｝的前〃项和分别为S〃，Tn,若对任意正整数〃都有*=

Ln

2〃-349.03也在、1

4〃一3'人与5+历+加+儿的值为-------,

解析：因为｛&｝,｛d｝为等差数列,

49」。349J43。9+。346

所以加十历十力8十九=赤+赤=2b6=下

r&Siia\-\-aw2ci62X11—319“19

因为方=市诟=诙=4*11—3=石.所以/=布.

答案:若19

3.设等差数列｛m｝的前n项和为Sn,若53=9,S=36,则幻+制+49=.

解析：S3,S6—S3,S9—S6成等差数列，

即9,27,S9—S6成等差数列，

。7+。8+。9=59—§6=2X27—9=45.

答案：45

第三节等比数列及其前〃项和

回顾教材-夯实基础课本温故追根求理

授课提示：对应学生用书第96页

［基础梳理］

1.等比数列的有关概念

(1)定义：

①文字语言：从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数.

②符号语言：答,夕为非零常数).

⑵等比中项：加果小G,b成等比数列，那么G叫作a与力的等比中项.即：

G是。与b的等比中项oa,G,b成等比数列oG2=⑰(a、G、b不为零).

2.等比数列的有关公式

(1)通项公式：an=a\(fx1.

⑵前〃项和公式：

tui\>q=1>

ai(1—q")m—。心

｛1-q