5示范教案(22函数的表示法第2课时)

第2课时分段函数导入新课思路1.当x>1时,f(x)=x+1;当x≤1时,f(x)=-x,请写出函数f(x)的解析式.这个函数的解析式有什么特点教师指出本节课题.思路2.化简函数y=|x|的解析式,说说此函数解析式的特点,教师指出本节课题.推进新课新知探究提出问题①函数h(x)=与f(x)=x-1,g(x)=x2在解析式上有什么区别②请举出几个分段函数的例子.活动：学生讨论交流函数解析式的区别.所谓“分段函数〞,习惯上指在定义域的不同局部,有不同对应法那么的函数.并让学生结合体会来实际举例.讨论结果：①函数h(x)是分段函数,在定义域的不同局部,其解析式不同.说明:分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集;生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.②例如:y=等.应用例如思路11.画出函数y=|x|的图象.活动：学生思考函数图象的画法:①化简函数的解析式为根本初等函数;②利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式.解法一：由绝对值的概念,我们有y=所以,函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.图1-2-2-10解法二：画函数y=x的图象,将其位于x轴下方的局部对称到x轴上方,与函数y=x的图象位于x轴上方的局部合起来得函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.变式训练1.函数y=(1)求f{f［f(5)］}的值;(2)画出函数的图象.分析:此题主要考查分段函数及其图象.f(x)是分段函数,要求f{f［f(5)］},需要确定f［f(5)］的取值范围,为此又需确定f(5)的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解.画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象.解：(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3.∵-3<0,∴f［f(5)］=f(-3)=-3+4=1.∵0<1<4,∴f{f［f(5)］}=f(1)=12-2×1=-1,即f{f［f(5)］}=-1.(2)图象如图1-2-2-11所示:图1-2-2-112.课本P23练习3.3.画函数y=(x+1)2,-x,x≤0,x>0的图象.步骤:①画整个二次函数y=x2的图象,再取其在区间(-∞,0］上的图象,其他局部删去不要;②画一次函数y=-x的图象,再取其在区间(0,+∞)上的图象,其他局部删去不要;③这两局部合起来就是所要画的分段函数的图象.如图1-2-2-12所示.图1-2-2-12函数y=f(x)的图象位于x轴上方的局部和y=|f(x)|的图象相同,函数y=f(x)的图象位于x轴下方的局部对称到上方就是函数y=|f(x)|的图象的一局部.利用函数y=f(x)的图象和函数y=|f(x)|的图象的这种关系,由函数y=f(x)的图象画出函数y=|f(x)|的图象.2.某市“招手即停〞公共汽车的票价按以下规那么制定:(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米),票价2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(缺乏5千米按5千米计算),如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.活动：学生讨论交流题目的条件,弄清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.由于里程在不同的范围内,票价有不同的计算方法,故此函数是分段函数.解：设里程为x千米时,票价为y元,根据题意得x∈(0,20］.由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:图1-2-2-13y=根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图1-2-2-13所示.点评：此题主要考查分段函数的实际应用,以及应用函数解决问题的能力.生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.在列出其解析式时,要充分考虑实际问题的规定,根据规定来求得解析式.注意：①本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义;②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各局部的自变量的取值情况.变式训练2022上海中学高三测试,理7某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100千米,票价是每千米0.5元,如果超过100千米,超过局部按每千米0.4元定价,那么客运票价y(元)与行程千米数x(千米)之间的函数关系式是________.分析:根据行程是否大于100千米来求出解析式.答案：y=思路21.函数f(x)=(1)求f(-1),f［f(-1)］,f{f［f(-1)］}的值;(2)画出函数的图象.活动：此函数是分段函数,应注意在不同的自变量取值范围内有不同的对应关系.解：(1)f(-1)=0;f[f(-1)]=f(0)=1;f{f[f(-1)]}=f(1)=-12+2×1=1.(2)函数图象如图1-2-2-14所示:图1-2-2-14变式训练2022福建厦门调研,文10假设定义运算a⊙b=那么函数f(x)=x⊙(2-x)的值域是________.分析:由题意得f(x)=画函数f(x)的图象得值域是(-∞,1］.答案：(-∞,1］点评：此题主要考查分段函数的解析式和图象.求分段函数的函数值时,要注意自变量在其定义域的哪一段上,依次代入分段函数的解析式.画分段函数y=(D1,D2,…,两两交集是空集)的图象步骤是(1)画整个函数y=f1(x)的图象,再取其在区间D1上的图象,其他局部删去不要;(2)画整个函数y=f2(x)的图象,再取其在区间D2上的图象,其他局部删去不要;(3)依次画下去;(4)将各个局部合起来就是所要画的分段函数的图象.2.如图1-2-2-15所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从B点开始沿着折线BC、CD、DA前进至A,假设P点运动的路程为x,△PAB的面积为y.图1-2-2-15(1)写出y=f(x)的解析式,指出函数的定义域;(2)画出函数的图象并求出函数的值域.活动：学生之间相互讨论交流,教师帮助学生审题读懂题意.首先通过画草图可以发现,P点运动到不同的位置,y的求法是不同的(如图1-2-2-16的阴影局部所示).图1-2-2-16可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的,它们的面积由其高来定,所以只要由运动里程x来求出各段的高即可.三角形的面积公式为底乘高除以2,那么△PAB的面积的计算方式由点P所在的位置来确定.解：(1)分类讨论:①当P在BC上运动时,易知∠B=60°,那么知y=×10×(xsin60°)=x,0≤x≤4.②当P点在CD上运动时,y=×10×2=10,4<x≤10.③当P在DA上运动时,y=×10×(14-x)sin60°=x+35,10<x≤14.综上所得,函数的解析式为y=(2)f(x)的图象如图1-2-2-17所示:图1-2-2-17由图象,可知y的取值范围是0≤y≤10,即函数f(x)的值域为[0,10].知能训练1.函数f(x)=|x-1|的图象是()图1-2-2-18分析:方法一:函数的解析式化为y=画出此分段函数的图象,应选B.方法二:将函数f(x)=x-1位于x轴下方局部沿x轴翻折到x轴上方,与f(x)=x-1位于x轴上方局部合起来,即可得到函数f(x)=|x-1|的图象,应选B.方法三:由f(-1)=2,知图象过点(-1,2),排除A、C、D,应选B.答案：B2.函数f(x)=(1)画出函数的图象;(2)求f(1),f(-1),f［f(-1)］的值.解析:分别作出f(x)在x>0,x=0,x<0段上的图象,合在一起得函数的图象.(1)如图1-2-2-19所示,画法略.图1-2-2-19(2)f(1)=12=1,f(-1)==1,f［f(-1)］=f(1)=1.3.某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地,到达B地并停留1.5小时后,再以65千米/时的速度返回A地.试将此人驱车走过的路程s(千米)表示为时间t的函数.分析:此题中的函数是分段函数,要由时间t属于哪个时间段,得到相应的解析式.解：从A地到B地,路上的时间为=5(小时);从B地回到A地,路上的时间为=4(小时).所以走过的路程s(千米)与时间t的函数关系式为s=拓展提升问题:函数y=1,f(n+1)=f(n)+2,n=1,n∈N*.(1)求:f(2),f(3),f(4),f(5);(2)猜想f(n),n∈N*.探究:(1)由题意得f(1)=1,那么有f(2)=f(1)+2=1+2=3,f(3)=f(2)+2=3+2=5,f(4)=f(3)+2=5+2=7,f(5)=f(4)+2=7+2=9.(2)由(1)得f(1)=1=2×1-1,f(2)=3=2×2-1,f(3)=5=2×3-1,f(4)=7=2×4-1,f(5)=