初中数学浙教课标版八年级上册(2013)-第二讲最短路程(平面)-公开课

第二讲

最短路程（平面）B··A小水沟C两点之间线段最短C●探究新知探究1：每年的3月12日是植树节。801班和802班要求分别在A，B两地植树。801班完成任务后，去帮助802班，他们之间有一条可以跨过去的小水沟。请问801班的同学要怎样走才能使所走的路程最短？ABB··AlC探究2

若A，B两地如图所示，801班种好树后，先去水沟打水，再去B地帮助802班浇水，如何在水沟l上找到点C，使得AC+BC最短？

探索新知AB思考：能把A、B两点转化到直线l的两侧吗？B·lA·CB··AlC探索新知方法揭晓作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．

ABlB′C此时路径AC+BC是最短路程。A′B·lA·C作点A或点B关于直线l的对称点，所得到的C点位置不变方法提示B·lA·CB′你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？

由轴对称的性质可知，BC=B′C，BC′=B′C′．在△AB′C′中，∵AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即

AC+BC

最短．ABlB′CC′证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C

不重合），连接AC′，BC′，B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′∴AC′+BC′=AC′+B′C′理论证明2.最短路程问题的解决方法：1.基本模型：lABA′C两定点在直线同侧CAlB两定点在直线异侧利用“轴对称”化折为直化同为异阶段小结模型特点：一动点，二定点，一条对称轴1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）DPQlAMPQlBMPQlCMPQlDM学以致用一动点M,两定点P、Q,一对称轴l作对称，做点P或点Q的对称点2.已知两点A(2，3),B(4,-3),在x轴上找一点P，使PA+PB最小，并求出点P的坐标。yxABA′P-4-3-2-101234

4321

-1-2-3-4若换成y轴呢？P学以致用探究3若将军要先让马到草地OM吃草，再到河边ON喝水，最后回到出发点A，你能画出最短路径吗？M将军饮马问题NO草地河流A一题多变分析：1、建模：点在两直线的内部BAC将军饮马问题OMN2、在OM上找点B，在ON上找点C，使AB+BC+CA的和最小。考虑对称点的作用1.将直线同侧两点问题转化为直线异侧两点问题；2.利用轴对称的性质可以将相等线段转化。探究新知作法：1、作点A关于直线OM的对称点A1，点A关于直线ON的对称点A2

，2、连接A1，A2，交OM于B，交ON于C,则路径A-B-C-A是最短路径。B·AA1C将军饮马问题OMNA2AB+BC+CA的和为什么是最小呢？两点之间线段最短方法揭晓探究4将军从A地出发,先到草地让马吃草，再到河边让马喝水，然后回到B处，请画出最短路径。OABNM能力提升将军饮马问题草地河流ABNMO分析：1、建模：两点在两直线的内部2、作对称点，连线A′B′PG路径A-P-G-B是最短路径。探究4将军从A地出发,先到草地让马吃草，再到河边让马喝水，然后回到B处，请画出最短路径。能力提升将军饮马问题2、一种解决方法：作对称点，利用轴对称的性质化折为直，化同为异。B··AlC1、四种基本模型(1)两点在直线异侧(2)两点在直线同侧(3)点在两直线内部

(4)两点在两相交直线内部

4、一种数学思想：利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型。3、一个理论依据：两点之间，线段最短。小结提升如图，在