高中数学学案1：高中数学人教A版2019必修 第二册 平面与平面平行

8.5.3.2平面与平面平行的性质

【新知初探】

要点两平面平行的性质定理

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交

文字语言

线________

符号语言a〃£,aQy=a9y=b=>_______

图形语言

跟踪训练1如图，已知平面。〃£〃7,两条相交直线/,加分别与平面a,

£，7相交于/，B,C与D,E,F,若49=6,DE'.DF=2：5,则47=.

题型二利用面面平行的性质定理证明线线平行

【例2】如图所示，平面四边形/腼的四个顶点4B,3〃均在平行四边形

A'B'CD'外，且AA',BB',CC',DD'互相平行，求证：四边形ABCD

是平行四边形.

跟踪训练2如图，在三棱锥尸一/a'中，D,E,尸分别是为，PB,尸。的中点,

〃是力6上一点，连接舱1，川是41/与座的交点，连接AK求证：NF//CM.

p

B

题型三平行关系的综合应用

【例3】如图，在棱长为a的正方体48口一A3G〃中，E,F,P,0分别是比;

CD，AD、,劭的中点.

⑴求证：沟〃平面次:G〃；

⑵求AQ的长；

(3)求证：EF〃平面BBDD.

跟踪训练3如图所示，在棱长为2的正方体/四一4月G〃中，46的中点是P,

过点4作与截面网平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的

面积.

【课堂达标】

1.下列命题：

①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；

②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；

③若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一平面.

其中正确的命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.0

2.平面a〃平面£，点力，ga,B,DWB,则直线力勿直线劭的充要条件

是（）

A.AB//CDB.AD//CB「-----

D.4B,C,〃四点共面

C.AB与切相交c，»I

I,・

3.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面

相交，则两个平行平面内以交点为顶点的两个三角形是

A.相似但不全等的三角形B.全等三角形

C.面积相等的不全等三角形D.以上结论都不对

4.如图所示，正方体力腼-48C山中，AB=2小，点E为AD,/

的中点，点尸在G〃上，若跖〃平面阳&则篦=_：A\\

5.如图，在正方体4?（第一45G〃中，侧面对角线/A,8G上分别畛/二抄

有两点£,F,且6£=G£求证：EF〃平面ABCDY'Y

【札记】

参考答案

【新知初探】

平行

a//b

【基础自测】

［判断］

1.X直线/和/也可能是异面直线.

2.V

［训练］

1.解析由面面平行的性质定理易得.

答案A

2.解析由于。〃£,aua,MGB,过"有且只有一条直线与a平行，故D

项正确.

答案D

【题型通关】

【例1】解设仍"共面Y，

因为yna=/C,YnJ3=BD,且。〃£,

所以〃施，

所以△弘切，

值…SCS

明以SC+5一%

用SC_3

1SC+34-9，

所以SC=17.

跟踪训练1解析由面面平行的性质定理知〃应

.,ABDEiDF5

所C1以无三而所以/小=应.•45=]X6=15.

答案15

【例2】证明•••四边形〃B'CD'是平行四边形，D'//B'C.

'：A'D'4平面曲'CC,B'Cu平面3'CC,

：.A'D'〃平面如'CC同理A4'〃平面缈'CC.

\"A'D'u平面A4'D'D,AA'u平面A4'D'D,

且力'D'HAA'=A',

...平面44'D'〃〃平面期'CC.

又•.•平面/腼n平面力/'D'D=AD,平面力腼n平面如'CC=BC,：.AD//

BC.

同理可证AB//CD.：.四边形/心是平行四边形.

跟踪训练2证明因为。，少分别是为，阳的中点，所以DE〃/18

又弧平面46G/比平面48G所以龙〃平面/6G

同理以〃平面ABC,且DECDF=D,DE,DFu平面DEF,所以平面两〃平面ABC.

又平面PCMC平面DEF=NF,平面PQC平面ABC=CM,所以NF//CM.

【例3】⑴证明如图，连接力C,必.因为48（%是正方形，且0是劭的中点,

所以0是的中点，又P是4〃的中点，所以PQ〃CD”

又即平面〃CG〃，口u平面〃阳〃，所以国〃平面

1、回

⑵解由（1）易知PQ=/\C=%a.

⑶证明法一取区〃的中点Q,连接阳，B0、,则有加〃89且

乙

又BE〃BC豆BE=^B、C\,

所以BEHF0\,BE=FO\,

所以四边形座FQ为平行四边形，

所以EF〃BO1.

又小平面BB、D\D,BOu平面BB\D、D,

所以用1〃平面BBDD.

法二取8c的中点品连接旗，FE、,

则有用〃6口，EE\〃BB、,

且9A能=5，FE、,外u平面打人孙防u平面做

所以平面旗P〃平面BBDD.

又EFu平面EEE

所以跖〃平面BBM

跟踪训练3解能.如图，分别取力6,G〃的中点区N,

连接4MMC,CN,NAi.

•平面481G〃〃平面力比7?,平面4,必VC平面48£〃=4M平面136万Cl平面

AXMCN=MC,

：.AXN//MC.同理AXM//NC.

...四边形4，比”是平行四边形.

11

,:C、N=aCD\=QA\B\=A\P,C\N〃AP

，四边形4尸卬V是平行四边形，

:.A\N〃PG.同理4M〃欧

又C、PCPB=P,A.N,力/上平面4,必MCRQfc平面呼，

，平面4股犷〃平面PBC\.

故过点4与截面PBC、平行的截面是平面AM

连接MN,作仞V于点H.

由题意，易得加仁4N=#,W=2^2.

，四边形4MCN是菱形，MH=NH=/,

:"出=事.

故S菱LV=2S*LMV=2X-X2'\^2X^3=2^6.

【课堂达标】

1.解析根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.

答案C

2.解析充分性：A,B,C,〃四点共面，由平面与平面平行的性质知做

必要性显然成立.

答案D

3.解析由面面平行的性质定理，得力加力'C,

则四边形"TA'为平行四边形，C.

同理a'=8'C,AB=A'B',比/△/B'C.

答案B

4.解析设平面/sen平面/£=血

•.•①〃平面仍&同t平面4G，：.EF//m.

又平面4c〃平面力C,平面4?Cn平面4C=加，平面45CC平面然=4。,

：.m//AC,：.EF//AC.

又AGIIAC,:.EFHAC.

为4〃的中点，

£F=fiC=2.

答案2

5.证