苏科版2024-2025学年九年级数学上册2.4圆的对称性(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)（含答案解析）

专题2.4圆的对称性（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】圆的对称性圆的旋转不变性：一个圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原来的图形重合.圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线是它的对称轴.【要点提示】（1）圆是平面内嗾一具有旋转不变性的图形；（2）圆的对称轴不能说是它的直径，因为直径是线段，可以说成：直径所在的直线是圆的对称轴.【知识点二】圆心角、弧、弦之间的关系圆心角定义：如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

【要点提示】(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.【解题技巧点拨】在同圆或等圆中，要证明弧、弦、圆心角中一组量相等，通常将其转化到证明另外两组量中的任意一组量相等，一般方法有多种，而连接半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、相等圆心角是常用来作辅助线的方法.

【知识点三】垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

【要点提示】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论；(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.3垂径定理的拓展：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【要点提示】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，通过勾股定理求值或证明.

第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用弧、弦、圆心角关系求线段长或角度大小；【例1】（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知为的直径，CD是的弦，、的延长线交于点E，且．（1）若，求的度数；（2）若的度数是的度数的m倍，则m＝．【变式1】（2024·广西·模拟预测）如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（

）A． B．2 C． D．【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为．

【题型2】利用弧、弦、圆心角关系证明；【例2】（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，．（1）求证：；（2）连接作直线求证：．【变式1】（23-24九年级上·广东阳江·期末）如图，已知，，，是圆上的点，，，交于点，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，是的直径，，，则的度数是°．

【题型3】利用垂径定理求半径或弦心距；【例3】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，，若，求的半径．

【变式1】（2024·安徽·模拟预测）已知点C在的弦AB上，，则的弦心距为（）A． B．3 C． D．2【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为．

【题型4】利用垂径定理求线段长【例4】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的与该直线相交于点C，连结，．（1）求点E到x轴的距离．（2）连结，求的长．【变式1】（2024·江西九江·三模）如图1，是的直径，C是上的一点，连接，D是上的动点，过点D作于点E．设，，y与x之间的函数关系的图象如图2所示，若P是图象的最高点，则的长是（

）

A．10 B．6 C．5 D．【变式2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为．【题型5】利用垂径定理求圆中平行弦问题（分类讨论）【例5】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．

（1）求证：直线；（2）求证：．【变式1】（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（

）A．2 B．14 C．2或14 D．7或1【变式2】（2023九年级·全国·专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是．【题型6】利用垂径定理求同心圆的问题【例6】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．

（1）求证：；（2）若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值．【变式1】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B． C． D．【变式2】如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm【题型7】利用垂径定理的推论求值或证明【例7】（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）操作题：如图，是的外接圆，弦AD平分，P是上一点．（1）请你只用无刻度的直尺在圆上找一点P使；（2）在（1）的条件下，当，圆的半径为5的时候，求的面积．【变式1】（2024·上海长宁·二模）如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（

）A． B．C． D．【变式2】（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为．【题型8】利用垂径定理及其推论求最值【例8】（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，．（1）求的长；（2）若点P为上的动点，请确定点P的位置，使得的值最小，并求出最小值【变式1】（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，在直角中，，D，E分别是，上的一点，且．若以为直径的圆与斜边相交于M，N，则的最大值为（

）

A． B． C．4 D．【变式2】（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与x轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，，点D是的中点，连接，则线段的最大值为．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（

）A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B．平分弦的直径垂直于弦C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等【例2】（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为．2、拓展延伸【例1】（2024·上海·模拟预测）如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接．（1）求证：；（2）连接，，求证：．【例2】（2024·浙江温州·二模）图1是圆形置物架，示意图如图2所示，已知置物板，且点E是的中点，测得，，，，则该圆形置物架的半径为cm．专题2.4圆的对称性（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】圆的对称性圆的旋转不变性：一个圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原来的图形重合.圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线是它的对称轴.【要点提示】（1）圆是平面内嗾一具有旋转不变性的图形；（2）圆的对称轴不能说是它的直径，因为直径是线段，可以说成：直径所在的直线是圆的对称轴.【知识点二】圆心角、弧、弦之间的关系圆心角定义：如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

【要点提示】(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.【解题技巧点拨】在同圆或等圆中，要证明弧、弦、圆心角中一组量相等，通常将其转化到证明另外两组量中的任意一组量相等，一般方法有多种，而连接半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、相等圆心角是常用来作辅助线的方法.

【知识点三】垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

【要点提示】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论；(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.3垂径定理的拓展：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【要点提示】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，通过勾股定理求值或证明.

第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用弧、弦、圆心角关系求线段长或角度大小；【例1】（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知为的直径，CD是的弦，、的延长线交于点E，且．（1）若，求的度数；（2）若的度数是的度数的m倍，则m＝．【答案】(1)(2)3【分析】（1）根据得到，根据等腰三角形底角相等得，再根据三角形的外角定理得到，从而得到，再通过三角形外角定理即可得到的度数．（2）根据圆弧度数比等于对应的圆心角之比即可得到答案．（1）解：如下图所示，连接，由题意得，∵，∴，∴，∵，∴，∵,∴，∵,∴；（2）解：∵对应的圆心角，对应的圆心角，∴．【点拨】本题考查圆的性质和三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识和三角形外角定理．【变式1】（2024·广西·模拟预测）如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，在上取一点F，使得，连接，由得到，进而证明，得到，由三线合一定理得到，则．解：如图所示，在上取一点F，使得，连接，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选：B．【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为．

【答案】/80度【分析】本题考查平行线的性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识点，连接，根据平行线的性质求出，根据圆周角定理求出，再求出的度数，即可求出本题答案．解：连接，

∵，，∴，∵，∴∴，∴的度数是，∵是的两条直径，∴的度数是，∴的度数是，故答案为：．【题型2】利用弧、弦、圆心角关系证明；【例2】（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，．（1）求证：；（2）连接作直线求证：．【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，则；（2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答．（1）证明：∵，∴∴，即．∴．（2）证明：连接

∵∴∴∴∵∴E、O都在的垂直平分线上．∴【变式1】（23-24九年级上·广东阳江·期末）如图，已知，，，是圆上的点，，，交于点，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查圆心角、弧、弦的关系．连接，根据弧与弦的关系得出，进而判断即可．解：连接，∵，∴，∴，∴，故选：C．【变式2】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，是的直径，，，则的度数是°．

【答案】【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，圆的基本性质；可求，从而可求，由等腰三角形的性质可求；掌握“同弧所对的圆心角相等”是解题的关键．解：，，，，，，，；故答案：．【题型3】利用垂径定理求半径或弦心距；【例3】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，，若，求的半径．

【答案】【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，过点分别作于点于点，由矩形的判定及性质得到，再根据垂径定理，得为的中点，为的中点，连接，在中，利用勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握垂径定理及勾股定理求线段长是解决问题的关键．解：过点分别作于点于点，连接，如图所示：

由垂径定理，得为的中点，为的中点，，，，，，四边形是矩形，，∴在中，由勾股定理可得．【变式1】（2024·安徽·模拟预测）已知点C在的弦AB上，，则的弦心距为（）A． B．3 C． D．2【答案】B【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，解答本题的关键是求出的长．作于点D，则是的弦心距，根据垂径定理可以得到的长，然后根据勾股定理求解即可．解：作于点D，如图所示，则是的弦心距，∴，由题意可知：，∴，∴，∴，在中，，故选：B．【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为．

【答案】10【分析】此题考查垂径定理及勾股定理，设的半径是r，由垂径定理得，根据勾股定理列得，即，求出r即可．解：设的半径是r，∵弦，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴的半径长为10．故答案为：10．【题型4】利用垂径定理求线段长【例4】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的与该直线相交于点C，连结，．（1）求点E到x轴的距离．（2）连结，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征．（1）过点作轴于点，先确定，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出即可；（2）连结，，如图，先求出，则可判断为等腰直角三角形，所以，再根据圆周角定理得到，所以为等腰直角三角形，于是根据等腰直角三角形的性质可求出的长．（1）解：过点作轴于点，如图，当时，，解得，，，，在中，，点到轴的距离为；（2）连结，，如图，当时，，，，为等腰直角三角形，，，为等腰直角三角形，．【变式1】（2024·江西九江·三模）如图1，是的直径，C是上的一点，连接，D是上的动点，过点D作于点E．设，，y与x之间的函数关系的图象如图2所示，若P是图象的最高点，则的长是（

）

A．10 B．6 C．5 D．【答案】C【分析】本题主要考查动点函数图象问题和垂径定理，过点O作于点G，交于点H，由图象可知此时，，设，则，在中，由勾股定理可列方程，求出，得，从而可求出解：如图，过点O作于点G，交于点H，结合图象知，，，设，则，在中，∴解得，∴∴故选：C【变式2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为．【答案】【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解．解：∵，，设的半径为，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，，在中，由勾股定理得：，故答案为：．【题型5】利用垂径定理求圆中平行弦问题（分类讨论）【例5】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．

（1）求证：直线；（2）求证：．【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论；（2）证明，由垂径定理可得结论．（1）证明：如图，连接，

过点，为的中点，．（2）证明：延长交于．

，，．过点，，垂直平分，．【点拨】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键．【变式1】（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（

）A．2 B．14 C．2或14 D．7或1【答案】C【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离．解：如图，作于E，于F，连，则，∵，∴E、O、F三点共线，在中，，在中，，当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离．所以与的距离是14或2．故选：C．【变式2】（2023九年级·全国·专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是．【答案】2或14【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，

过点O作，垂足为F，交于点E，连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴；②当弦与在圆心异侧时，如图，

过点O作于点E，反向延长交于点F，连接，同理，，，所以与之间的距离是2或14．故答案为：2或14．【点拨】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．【题型6】利用垂径定理求同心圆的问题【例6】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．

（1）求证：；（2）若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键．（1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证；（2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出．（1）证明：过O作于点E，如图，由垂径定理可得，，∴，∴；（2）解：连接、，如图，

∵，，∴，∴，∴，∴在中，，∴在中，，∴，即小圆的半径r为【变式1】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B． C． D．【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=，∴AB=2AC=.故答案为C.【点拨】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.【变式2】如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm【答案】134【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中，在RT△OCE中，，则解得：r=134．故答案为：134．【点拨】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【题型7】利用垂径定理的推论求值或证明【例7】（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）操作题：如图，是的外接圆，弦AD平分，P是上一点．（1）请你只用无刻度的直尺在圆上找一点P使；（2）在（1）的条件下，当，圆的半径为5的时候，求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了弧与弦，圆周角之间的关系，垂径定理的推论，勾股定理等等：（1）如图所示，连接并延长交于点P，点P即为所求；（2）先由垂径定理的推论得到，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可根据三角形面积公式求出答案．（1）解：如图所示，连接并延长交于点P，点P即为所求；由角平分线的定义得到，则，则，则；（2）解：设交于H，连接，角平分线的定义得到，则，∴，∴，∴，∴，∴．【变式1】（2024·上海长宁·二模）如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．解：∵，∴，，故A正确；，∴，,∴，故B正确；,∴，故C错误；∵，∴，故D正确；故选：C．【变式2】（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为．【答案】/度【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟知等腰三角形的性质以及直角三角形的性质是解本题的关键．根据垂径定理的推理得，再利用三线合一及直角三角形的性质解答即可．解：∵半径经过的中点．∴，∵，∴，∵，，∴，故答案为：．【题型8】利用垂径定理及其推论求最值【例8】（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，．（1）求的长；（2）若点P为上的动点，请确定点P的位置，使得的值最小，并求出最小值【答案】(1)(2)点P位置建详解；【分析】（1）连接，分别求出和的长，进而即可求解；（2）连接交于点P，连接，作于点G，的长即为的最小值．（1）连接，∵，，是的直径，，∴，∵，∴，∴，∴．（2）连接交于点P，连接，作于点G，则四边形是矩形，∴，∴．∵，是的直径，∴，∴．∴，即的值最小值为．【点拨】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．【变式1】（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，在直角中，，D，E分别是，上的一点，且．若以为直径的圆与斜边相交于M，N，则的最大值为（

）

A． B． C．4 D．【答案】B【分析】作于F，根据垂线段最短，当经过圆心O时，最小，根据垂径定理，勾股定理计算即可．解：如图，作于F，∵，∴，∴，

∵，∴，根据垂线段最短，当经过圆心O时，最小，有最大值，∴，连接，∴，根据垂径定理，得，故选B．【变式2】（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与x轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，，点D是的中点，连接，则线段的最大值为．【答案】【分析】本题考查了三角形中位线、勾股定理、垂直定理，根据垂径定理及中点得是的中位线，，当是的直径时，线段取得最大值，在中，根据勾股定理得，进而可得，进而可求解，熟练掌握相关知识点，找准线段的最大值的位置是解题的关键．解：，点坐标为，，点D是的中点，，是的中位线，，当是的直径时，线段取得最大值，如图：、点M坐标为，，在中，根据勾股定理得：，，，故答案为：．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（

）A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形B．平分弦的直径垂直于弦C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等【答案】C【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解．A.顺次连接平行四边形