2024-2025学年新教材高中数学 第六章 计数原理 排列数的综合应用（习题课）（教师用书）教案 新人教A版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第六章计数原理排列数的综合应用（习题课）（教师用书）教案新人教A版选择性必修第三册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：排列数的综合应用

2.教学年级和班级：高中数学选择性必修第三册

3.授课时间：2024-2025学年第二学期第14周星期三第2节

4.教学时数：1课时（45分钟）

二、教学目标

1.知识与技能：使学生掌握排列数的定义及其计算方法，能够运用排列数解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例分析，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。

三、教学内容

1.教材：《2024-2025学年新教材高中数学第六章计数原理排列数的综合应用》

2.教学重点：排列数的定义、计算方法及其应用。

3.教学难点：排列数在实际问题中的应用。

四、教学过程

1.导入：回顾上一节课的内容，引导学生复习排列数的定义和计算方法。

2.新课讲解：通过实例分析，讲解排列数在实际问题中的应用。

3.课堂练习：让学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。

4.课后拓展：布置一道涉及排列数应用的实际问题，鼓励学生课后思考和探索。

五、教学评价

1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2.课后作业：检查学生完成的练习题和课后拓展题目，评估学生的掌握程度。

3.学生互评：鼓励学生相互评价，共同提高。核心素养目标1.逻辑推理：通过排列数的应用实例，培养学生运用逻辑推理解决实际问题的能力，使其能够理解和运用排列数的相关概念和公式。

2.数学建模：培养学生运用数学建模思想，将实际问题抽象为排列数问题，并通过排列数的计算方法求解。

3.直观想象：通过排列数的图形表示和实际应用，培养学生的直观想象能力，使其能够形象地理解排列数的概念和应用。

4.数学运算：培养学生熟练运用排列数的计算方法，解决实际问题中的运算能力。

5.数据分析：培养学生运用数据分析的方法，对实际问题中的数据进行处理和分析，从而解决问题。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在之前的数学学习中，已经掌握了排列、组合的基本概念，对简单的排列数问题有一定的理解和计算能力。他们熟悉基本的数学运算和逻辑推理方法，能够理解和应用数学公式。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对数学有着不同程度的学习兴趣，其中一部分学生对数学问题充满好奇心，喜欢探索和解决实际问题；另一部分学生可能对数学感到困惑，需要更多的鼓励和引导。学生在学习能力上存在差异，有的学生逻辑思维能力强，能够快速理解和应用新知识；有的学生可能在理解和应用新知识上有一定的困难。学生的学习风格也各不相同，有的喜欢通过实例和实际应用来学习，有的则更喜欢通过理论和公式来学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习排列数的综合应用时，学生可能遇到的困难和挑战包括：对排列数概念的理解不够深入，难以将排列数应用到实际问题中；对排列数的计算方法不熟悉，难以解决复杂的排列数问题；在解决实际问题时，难以将问题抽象为排列数问题，并运用排列数的计算方法求解。教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、白板、黑板、粉笔、练习题纸张。

2.课程平台：学校提供的教学管理系统，用于发布教学资料、布置作业和交流。

3.信息化资源：教材电子版、教学PPT、相关视频教程、数学软件工具。

4.教学手段：讲解、示例、练习、讨论、小组合作、课后拓展。教学过程设计1.导入环节（5分钟）

情境创设：教师通过展示一组运动员参加比赛的图片，引导学生观察并提问：“如果让你计算这群运动员的排列数，你会怎么做？”

学生回答后，教师总结并引出本节课的主题——排列数的综合应用。

设计意图：通过情境创设和问题引导，激发学生的学习兴趣和求知欲，为后续新课的讲解做好铺垫。

2.讲授新课（15分钟）

教师围绕教学目标和教学重点，讲解排列数的定义、计算方法及其在实际问题中的应用。

教学创新：采用多媒体投影仪展示排列数的图形表示，帮助学生直观地理解排列数的概念。

设计意图：确保学生理解和掌握新知识，为后续巩固练习打下基础。

3.巩固练习（10分钟）

教师布置教材中的练习题，让学生独立完成。

师生互动：教师巡回指导，解答学生遇到的问题，引导他们运用排列数的计算方法解决问题。

设计意图：通过练习和讨论，巩固学生对新知识的理解和掌握。

4.课堂提问（5分钟）

教师针对本节课的内容提问，检查学生对排列数及其应用的掌握情况。

学生回答后，教师给予评价和反馈。

设计意图：了解学生对新知识的掌握程度，为后续教学提供依据。

5.课后拓展（5分钟）

教师布置一道涉及排列数应用的实际问题，鼓励学生课后思考和探索。

设计意图：激发学生的课外学习兴趣，提高他们的解决问题的能力。

6.总结与反思（5分钟）

教师对本节课的教学情况进行总结，指出学生的优点和不足，鼓励他们继续努力。

学生进行自我反思，总结收获和需要改进的地方。

设计意图：帮助学生巩固本节课的学习成果，为后续学习做好铺垫。

总计用时：40分钟。剩余5分钟用于课堂总结和反思。知识点梳理本节课主要涉及的知识点有：

1.排列数的定义：排列数是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，记作$A_n^m$或$P_n^m$。

2.排列数的计算方法：排列数可以用递归公式或直接公式进行计算。递归公式为$A_n^m=A_{n-1}^m+A_{n-1}^{m-1}$，直接公式为$A_n^m=n!/(n-m)!$，其中n!表示n的阶乘。

3.排列数的应用：排列数在实际问题中的应用非常广泛，如在排列组合问题、赛程安排、密码学等领域都有涉及。

4.排列数的图形表示：排列数可以用树状图或表格的形式进行图形表示，有助于直观地理解排列数的概念和计算过程。

5.排列数的性质：排列数具有以下性质：（1）$A_n^m=A_n^{n-m}$；（2）$A_n^m=A_m^n$；（3）$A_n^m$是递增的；（4）$A_n^m$是奇数当且仅当m为奇数。

6.排列数与组合数的关系：排列数和组合数是密切相关的，它们之间有如下关系：$C_n^m=A_n^m/m!$，即组合数等于排列数除以阶乘。

7.排列数在实际问题中的应用实例：如计算一群运动员的排列数、安排赛程、设计密码等实际问题，都可以通过排列数的计算方法进行求解。课堂小结，当堂检测1.课堂小结

本节课我们学习了排列数的定义、计算方法及其在实际问题中的应用。通过实例分析和练习，我们掌握了排列数的计算过程，了解了排列数在实际问题中的应用。同时，我们还学习了排列数的图形表示和性质，以及排列数与组合数的关系。

2.当堂检测

（1）填空题

①从5本不同的书中任取3本，不同的取法有_________种。

②一个6位密码，由数字0、1、2、3、4、5组成，且每位数字都不相同，则不同的密码共有_________种。

（2）选择题

③下列关于排列数的说法，正确的是：

A.排列数$A_n^m$是奇数当且仅当m为奇数。

B.排列数$A_n^m$是偶数当且仅当m为偶数。

C.排列数$A_n^m$与排列数$A_n^{n-m}$相等。

D.排列数$A_n^m$与组合数$C_n^m$相等。

（3）解答题

④某校举行田径比赛，共有10名运动员参加100米赛跑。请计算：

（1）所有可能的赛程安排方法有多少种？

（2）如果每场比赛只能有2名运动员参加，那么所有可能的赛程安排方法有多少种？

⑤设计一个4位密码，要求满足：任意两位数字的差都是3的倍数。请给出至少5种可能的密码。

设计意图：通过课堂小结和当堂检测，帮助学生巩固本节课所学知识，提高他们的应用能力。重点题型整理1.排列数的计算

题型1：计算$A_n^m$的值。

例1：计算$A_5^3$的值。

解：$A_5^3=5!/(5-3)!=(5×4×3)/(1×2×1)=60$。

题型2：计算特定条件下排列数的值。

例2：从5本不同的书中任取3本，求不同的取法种数。

解：$A_5^3=5!/(5-3)!=(5×4×3)/(1×2×1)=60$。

题型3：计算排列数的性质。

例3：判断$A_n^m$是否为奇数。

解：当m为奇数时，$A_n^m$为奇数；当m为偶数时，$A_n^m$为偶数。

2.排列数的应用

题型4：实际问题中的排列数计算。

例4：某校举行田径比赛，共有10名运动员参加100米赛跑，求所有可能的赛程安排方法种数。

解：$A_{10}^5=10!/(10-5)!=(10×9×8×7×6)/(1×2×3×4×5)=30240$。

题型5：排列数的图形表示。

例5：用树状图表示$A_5^3$的所有排列。

解：树状图如下：

```

A

/\

BC

/\/\

DEFG

```

表示所有$A_5^3$的排列。

3.排列数与组合数的关系

题型6：判断排列数与组合数的关系。

例6：判断$A_n^m$与$C_n^m$是否相等。

解：$A_n^m=C_n^m/m!$，所以$A_n^m$与$C_n^m$不相等。

设计意图：通过重点题型的整理和详细解答，帮助学生巩固排列数的相关知识，提高他们在实际问题中的应用能力。板书设计①排列数的定义

-排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数

-记作：$A_n^m$或$P_n^m$

②排列数的计算方法

-递归公式：$A_n^m=A_{n-1}^m+A_{n-1}^{m-1}$

-直接公式：