北京市顺义区2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 含解析

顺义区2023-2024学年度第二学期期末质量监测高一数学试卷考生须知1．本试卷总分150分，考试用时120分钟．2．本试卷共6页，分为选择题（40分）和非选择题（110分）两个部分．3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答．4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出复数的共轭复数，再由复数的几何意义即可得出答案.【详解】复数的共轭复数为，则对应的点坐标为，位于第三象限.故选：C.2.已知向量，，那么向量可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示判断即得.【详解】对于A，由，得与不共线，A不是；对于B，由，得与不共线，B不是；对于C，由，得与不共线，C不是；对于D，由，得，D是.故选：D3.在中，已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理可知，.故选：C4.已知，则的值为（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用和角的正切公式求解即得.【详解】由，得，所以.故选：B5.以一个等腰直角三角形的直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，若该等腰直角三角形的直角边长度为2，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由圆锥的体积公式求解即可.【详解】由题意可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆锥，则该几何体的体积为.故选：A6.已知直线，，与平面，则下列四个命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】D【解析】【分析】利用直线与直线、直线与平面的位置关系逐项分析可得答案.【详解】对于A，，，直线在平面内或与平面平行，A错误；对于B，，，直线可以在平面内、与平面平行，也可以与平面相交，B错误；对于C，，，直线与可以是相交直线、平行直线、也可以是异面直线，C错误；对于D，，，由异面直线互相垂直的意义，得，D正确.故选：D7.下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对于A，在单调递增，在单调递增，故A错误；对于B，作出函数的大致图象，由图可知，B正确；对于C，函数在单调递减，故C错误；对于D，函数最小正周期为，故D错误.【详解】对于A，函数的最小正周期为，当时，，所以单调递增，在单调递减，故A错误；对于B，作出函数的大致图象如图所示，函数的最小正周期为，且在区间单调递增，故B正确；对于C，函数最小正周期为，由，得，当时，在单调递减，故C错误；对于D，函数最小正周期为，故D错误.故选：B.8.一个人骑自行车由地出发向东骑行了到达地，然后由地向北偏西60°方向骑行了到达地，此时这个人由地到地位移的大小为，那么的值为（）A.3 B.6 C.3或6 D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，作出图形，利用余弦定理列式求解即得.【详解】在中，，由余弦定理得，即，整理得，解得或.故选：C9.已知，且．点是所在平面内的动点，满足．则的最小值为（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由可得，再利用向量的线性运算及向量的三角不等式求出最小值.【详解】在中，由，得，因此，当且仅当与同向，且时取等号，所以的最小值为2.故选：A10.如图，在扇形中，半径，圆心角，是上的动点（点不与、及的中点重合），矩形内接于扇形，且．，设矩形的面积与的关系为，则最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，并求出函数，再利用三角恒等变换，正弦函数性质求出最大值.【详解】依题意，在中，，由正弦定理得，即，，而，因此当，即时，.故选：A【点睛】思路点睛：几何图形中的面积最值问题，解题关键是借助正余弦定理及三角形面积公式求出角的函数，结合三角恒等变换和三角函数性质求出最值.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上．11.设复数满足，则__________．【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算计算得解.【详解】依题意，.故答案为：12.在锐角中，，，的面积为，则__________．【答案】##0.25【解析】【分析】利用三角形面积公式求出，再利用同角公式计算得解.【详解】依题意，，又是锐角三角形，所以.故答案为：13.在长方形中，，，点满足，则__________，__________．【答案】①.2②.【解析】【分析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立平面直坐标系，然后结合已知条件可求出点的坐标，进而可求得答案.【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立平面直坐标系，则，所以，因为，所以，所以，，所以，所以.故答案为：2，14.已知函数（，为常数，）的部分图象如图所示．则__________；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为__________．【答案】①.0②.##【解析】【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，并求出值，再由求出的关系式即可得解.【详解】观察函数图象，得函数的周期，，则，由，且函数的图象在点附近是上升的，得，即，因此，所以；，而点在的图象上，则，即，又，则或，解得或，所以的最小值为.故答案为：0；15.已知正方体的边长为2，且为棱的中点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面所成的角为，给出下列四个结论：①存在点使得；②点的轨迹长度为；③三棱锥的体积的最小值为；④线段长度最小值为．其中所有正确结论的序号是__________【答案】①②③【解析】【分析】利用线面垂直的性质判断①，确定点的轨迹后利用圆的周长公式判断②，找到点面距离，结合轨迹图形判断③，合理转化，利用勾股定理判断④即可.【详解】对于①，当在中点上时，如图，连接，，因正方体，所以面，，所以，由中位线定理得，而，面，所以面，所以，故①正确，对于②，所以与底面所成的角为，故，而面，所以，因为为棱的中点，所以，所以点的轨迹半径为1的个圆，故长度为，故②正确，对于③，如图，连接，由正方体性质得，面，所以，由勾股定理得，所以四边形是平行四边形，而，所以四边形是矩形，所以，设中点为，如图，作，而面，面，所以，因为，面，所以面，而正好在的轨迹上，所以当运动到时，到面距离最短，此时可以得到是的中位线，由勾股定理得，所以，所以体积的最小值为，故③正确，对于④，若最小，则最小，连接，，如图，当共线时取得最小值，由勾股定理得，此时，由勾股定理得，故④错误.故答案为：①②③【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是先找到点面距离所在线段，然后结合轨迹确定动点的位置，得到所要求的点面距离，进而得到体积即可．三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.已知，是两个单位向量，其夹角为，，．（1）求，；（2）求与的夹角．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的定义、数量积的运算律求解即可.（2）利用向量的运算律求出，再利用夹角公式计算即得.【小问1详解】单位向量，的夹角为，则，所以，.【小问2详解】由（1）知，，因此，而，所以与的夹角.17.设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．条件①：；条件②：的最大值为；条件③：直线是函数的图象的一条对称轴．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的单调递增区间．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由可得条件①不满足，利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，由条件②③结合正弦函数性质求出，进而求出最小正周期.（2）由（1）求出的单调递增区间，进而求出在给定区间上的递增区间.【小问1详解】函数，有，因此条件①不满足，，其中，函数的最大值为，由条件②得，解得，当时，，满足条件③，当时，，不满足条件③，因此函数满足条件②③，且唯一确定，所以函数的最小正周期为.【小问2详解】由（1）知，，解得，即函数在上单调递增，所以函数在区间上的单调递增区间为.18.如图，在正方体中，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）写出直线与平面所成角的正弦值（只需写出结论）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定，结合正方体的结构特征推理即得.（2）利用线面垂直的判定推理即得.（3）取的中点，确定线面角，借助直角三角形求出线面角的正弦.【小问1详解】在正方体中，，则四边形是平行四边形，有，而平面，平面，所以平面.【小问2详解】在正方体中，四边形为正方形，则，而平面，平面，则，又平面，所以平面.【小问3详解】取的中点，连接，是正方形边中点，则，而平面，于是平面，是直线与平面所成的角，令，则，，又，，所以直线与平面所成角的正弦值.19.已知函数．在中，，且．（1）求的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式化简函数，结合且，和三角形内角和定理计算得到；（2）利用余弦定理和已知条件得到，再利用的面积公式计算得到答案.【小问1详解】因为且，所以，又，所以，则因此【小问2详解】由余弦定理得因为，所以的面积为.20.如图，在五面体中，底面为正方形，，，，为的中点，为的中点，，．（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）求五面体的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理即得.（2）取中点，利用线面垂直的判定、性质证得平面，再利用面面垂直的判定推理即得.（3）利用锥体、柱体的体积公式分别求出四棱锥和三棱柱的体积即可.【小问1详解】由正方形，得，又平面，平面，则平面，又平面平面，平面，所以.【小问2详解】取的中点，连接，由为的中点，，得，而，则，又，则，又，平面，于是平面，而平面，则，又，为的中点，即四边形是梯形，是平面内两条相交直线，因此平面，而平面，所以平面平面.【小问3详解】过作，交分别于，由为的中点，为的中点，得，又，由（2）知平面，则四棱锥的体积，又，则四边形都是平行四边形，于是，而平面，平面，则平面，同理平面，又平面，因此平面面，从而五面体为三棱柱，在三棱柱中，，由平面，平面，得，而，平面，则平面，三棱柱的体积，所以五面体的体积.【点睛】思路点睛：求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．21.对于数集，其中，．定义向量集．若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P．（1）已知数集，请你写出数集对应的向量集，是否具有性质P？（2）若，且具有性质P，求x的值；（3）若X具有性质P，求证：，且当时，．【答案】（1），具有性质（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量集的定义，即可写出.在中，检验任意，存在，使得，即可得出答案；（2）在中取，可得或，根据数量积的坐标公式结合条件即得；（3）取，设，根据条件可得中一个必为，另一个数是1，从而，然后利用反证法，即得.【小问1详解】由已知可得，.因为