高考数学解答题核心题型训练 含解析

试卷第=page1010页，共=sectionpages1010页试卷第=page99页，共=sectionpages1010页高考数学【解答题核心题型】【7日冲刺】目录三角函数与解三角形求角度、求函数值、边长求面积最值和取值范围求边或在周长的最值和取值范围证明三角恒等式或不等式三角函数与正余弦综合数列利用an与Sn关系求通项公式求数列的通项公式和前n项和错位相减法求和裂项相消法求和数列与概率的综合数列新定义问题立体几何证明直线、平面的平行证明直线、平面的垂直求空间距离求线面夹角求面面夹角和二面角空间线段中点的存在问题计数原理与概率统计回归分析独立性检验正态分布二项分布与超几何分布条件概率、全概率公式概率与数列、函数的综合平面解析几何定点、定值、定直线问题求参数最值与取值范围的问题求三角形的面积取值、最值、取值范围线段、角度的求解圆锥曲线与向量综合圆锥曲线的几何性质问题导数及其应用切线和公切线问题讨论函数单调性求函数的极值点和最值函数不等式问题函数零点问题双变量问题和极值点偏移问题。【专项练习】1．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，已知，．(1)求角的大小；(2)若，求的值．2．（2024·安徽·三模）在中，内角所对的边分别为，且.(1)求角；(2)射线绕点旋转交线段于点，且，求的面积的最小值.3．（2024·湖北武汉·二模）在中，角的对边分别为，已知.(1)求；(2)已知，求的最大值.4．（重庆市七校联盟2024届高三下学期三诊考试数学试题）已知在数列中，．(1)求证：数列是等差数列，并求数列的前项和；(2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求面积的最大值．5．（2024·广东广州·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若D是边上一点（不包括端点），且，求的取值范围．6．（2024·安徽安庆·三模）已知数列的首项等于3，从第二项起是一个公差为2的等差数列，且成等比数列.(1)求数列的前项和；(2)设数列满足且，若数列的前项的和为，求.7．（2024·重庆·模拟预测）已知等差数列和等比数列均单调递增，前n项和分别为和，且满足：．(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前n项和．8．（2024·四川眉山·三模）已知数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)若__________，求数列的前项和从①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解答问题9．（2024·河北秦皇岛·三模）“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”需要用到函数，记函数，为的所有正因数之和.(1)判断28是否为完全数，并说明理由.(2)已知，若为质数，证明：为完全数.(3)已知，求，的值.10．（2024·辽宁·三模）为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分别为1989人、3012人．两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从M，N两个学校初选人中共选择5名学生组队参赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X．(1)求随机变量X的分布列及数学期望；(2)各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流．假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验．在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型．①求该组第三次交流中甲被选择的概率；②求第n次交流中甲被选择的概率（，）．11．（2024·江西·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，点为的重心，．(1)若平面，求的长度；(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值．12．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.13．（2024·河北秦皇岛·三模）如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，，.(1)证明：.(2)已知平面平面，求二面角的正弦值.14．（2024·重庆·三模）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点.

(1)证明：平面平面；(2)证明平面，并求直线到平面的距离.15．（2024·江苏·一模）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．

(1)若，证明：平面；(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．16．（2024·山东济南·三模）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．(1)根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；(3)根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；，，，，，，17．（2024·河北邢台·二模）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给出真实答复，因此需要特别的调查方法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．某单位为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查．问卷调查中设置了两个问题：①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意．调查分两个环节，第一个环节：确定回答的问题，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题，第二个环节：填写问卷（问卷中不含问题，只有“是”与“否”）．已知统计问卷中有198个“是”．（参考数据：）(1)根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计员工对新考勤管理方案满意的概率；(2)据核实，以上的300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人，试判断是否有97.5%的把握认为与对新考勤管理方案是否满意与性别有关；参考公式和数据如下：，．0.150.100.050.0250.0052.0722.7063.8415.0247.879(3)从该单位任取10人，恰有X人对考勤管理方案不满意，利用（1）中的结果，写出的表达式（其中，），并求出X的数学期望.18．（2024·宁夏银川·三模）银川市唐徕中学一研究性学习小组为了解银川市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），春节期间对游览某网红景区的100名银川市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：组别（支出费用）频数34811412085(1)从样本中随机抽取两位市民的支出数据，求两人旅游支出不低于10000元的概率；(2)若市民的旅游支出费用X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：①假定银川市常住人口为300万人，试估计银川市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上；②若在银川市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值.附：若，则，，19．（2024·陕西渭南·二模）有一个质地均匀的正方体骰子.(1)将其随机抛掷次，求其向上的点数之和不超过的概率；(2)将其随机抛掷次，记其向上的最大点数为，求的分布列以及；(3)记为前次抛掷中向上的最大点数为的概率，求.20．（2024·重庆·模拟预测）五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，且各老师的审核互不影响．(1)已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率；(2)从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列和数学期望．21．（2024·湖北·模拟预测）某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n粒种子，其中发芽种子的数量为X．(1)要使的值最大，求n的值；(2)已知切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意均有，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布末知的情况下，对事件的概率作出估计．①当随机变量X为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式）；②为了至少有的把握使种子的发芽率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数的最小值．注：马尔科夫不等式为：设X为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有．22．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，若为定值，求的最小值．23．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线过点，.(1)求双曲线C的渐近线方程.(2)若过双曲线C上的动点作一条切线l，证明：直线l的方程为.(3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.24．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线：与双曲线：相交于点．(1)若，求抛物线的准线方程；(2)记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值．25．（2024·山西·三模）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)已知点，若E上存在一点P，使得，求t的取值范围；(3)过的直线交E于A，B两点，过的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：为定值.26．（2024·吉林长春·模拟预测）已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线的斜率为定值；(3)求面积的最大值.27．（2024·四川·三模）已知双曲线的左右焦点分别为，C的右顶点到直线的距离为，双曲线右支上的点到的最短距离为(1)求双曲线C的方程；(2)过的直线与C交于M、N两点，连接交l于点Q，证明：直线QN过x轴上一定点.28．（2024·山东聊城·三模）已知函数.(1)若曲线与有一条斜率为2的公切线，求实数的值；(2)设函数，讨论的单调性.29．（2024·四川凉山·三模）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围，30．（2024·安徽·三模）已知函数，且曲线在点处的切线方程为.(1)求的极值；(2)若实数满足，记，求实数的最小值.31．（2024·河南·二模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若对任意恒成立，求的取值范围；(3)证明：.32．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数有两个不同的零点，且．(1)求实数的取值范围；(2)求证：；(3)比较与及的大小，并证明．答案第=page1616页，共=sectionpages3232页答案第=page1515页，共=sectionpages3232页参考答案：1．【详解】（1）∵，由正弦定理，得．∵，∴，∴由余弦定理有，∴∴为锐角，∴；（2）由余弦定理及，有，整理得，，考虑到，解得，或（舍）．将代入消去，得，．∴∵，为锐角，∴，，∴.2．【详解】（1），由正弦定理得，则，即则，且，，；（2）由和，可知，因为，所以，又因为，所以，即，又，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，所以的面积的最小值为.3．【详解】（1）∵，由正弦定理得，，即，所以，∵，∴，∴，∵，∴；（2）由正弦定理，得，∴，又∵，为锐角，∴的最大值为，∴的最大值为.4．【详解】（1）由题意，，即为等差数列：首项，公差，，则，设，（2）由正弦定理，有，．即，又，，即由，由余弦定理得：，．，即，当且仅当时取等号，，即△ABC面积最大值为．5．【详解】（1），，又，可得，，，又，，可得，所以，解得或，，所以，即.（2）设，则，，，在中，由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以且，则，所以，可得，所以，所以.6．【详解】（1）因成等比数列，所以，即，解得，所以当时，，又不符合上式，所以数列的通项公式为，因此，当时，，又符合上式，所以当时，；（2）由（1）知，令，所以，又，所以，因此，所以，于是.7．【详解】（1）设数列公差为，数列的公比为，，则，因为①，所以，故②.由①②结合递增，解得，则，（舍）.又因为，所以，即.（2）由（1）可知，则①，②，①-②得：．故.8．【详解】（1）由，当时，，得，当时，，整理得，，又，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以.（2）若选①，由（1）可得，，若选②，由（1）可得，.若选③，由（1）可得，所以，，两式相减得，所以.9．【详解】（1）28的所有正因数为1，2，4，7，14，28，因为，所以28是完全数.（2）的正因数为，，，，，，，，，，，所以为完全数.（3）的正因数为，，，，，，，，，，，，，，，，所以.因为，所以.10．【详解】（1）由题随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4．所以的分布列为01234所以随机变量的数学期望．（2）①甲、乙两同学被同伴选择的概率均为．其他三名同学被选择的概率相等．比赛由甲同学起稿建立模型，第三次交流中甲被选择，所以第二次交流中甲未参与．设“第三次交流中甲被选择”，则．②第次交流中甲被选择，则第次交流中甲未被选择．设第次交流中甲被选择的概率为．则，所以，且．所以，所以．11．【详解】（1）连接并延长与交于点，连接，所以平面平面．因为平面平面所以又因为为的重心，所以．所以．所以，即．所以在中，，则．（2）设为的中点，连接．因为平面平面又因为所以，且平面平面，所以平面，如图所示，分别以为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，所以，因为，所以又因为，所以，所以．所以，又因为．不妨设平面的法向量，所以所以，可取设直线与平面所成的角为，所以．即直线与平面所成的角的正弦值为.12．【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为分别是棱的中点，且，所以，且，由，可得，且，可得，所以，所以，因为，且平面，所以平而.（2）解：因为，且，所以，所以，设点到平面的距离为，则，即，解得，即点到平面的距离为.13．【详解】（1）设为的中点，连接，，，，因为，所以，因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则，又平面，平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，平面平面，平面，，所以平面，因为平面，所以，所以四边形为菱形，即.（2）因为平面平面，且平面平面，，所以平面；以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设.则，，，，，可得，，.设平面的法向量为，则令，则，，可得.设平面的法向量为，则令，则，，可得.，故二面角的正弦值为.14．【详解】（1）因为平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又，为中点，所以，又，平面，所以平面，又平面，故平面平面.（2）由题，分别为，中点，故，又平面，平面，故平面，则直线到平面的距离为点到平面的距离.由为中点，所以，记为，，又，所以，由（1）知，平面，故，，，由题知，，，所以，而，所以.

.15．【详解】（1）证明：取的中点M，连接MP，MB．在四棱台中，四边形是梯形，，，又点M，P分别是棱，的中点，所以，且．在正方形ABCD中，，，又，所以．从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面；（2）在平面中，作于O．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则．以为正交基底，建立空间直角坐标系．因为四边形是等腰梯形，，，所以，又，所以．易得，，，，，所以，，．

法1：设，所以．设平面PDQ的法向量为，由，得，取，另取平面DCQ的一个法向量为．设二面角的平面角为θ，由题意得．又，所以，解得（舍负），因此，．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．法2：设，所以．设平面PDQ的法向量为，由，得，取，另取平面DCQ的一个法向量为．设二面角的平面角为θ，由题意得．又，所以，解得或6（舍），因此．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．

法3：在平面中，作，垂足为H．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以．在平面ABCD中，作，垂足为G，连接PG．因为，，，PH，平面，所以平面，又平面，所以．因为，，所以是二面角的平面角．在四棱台中，四边形是梯形，，，，点P是棱的中点，所以，．设，则，，在中，，从而．因为二面角的平面角与二面角的平面角互补，且二面角的正弦值为，所以，从而．所以在中，，解得或（舍）．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．16．【详解】（1）由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；（2）由题意得：，，，，所以；（3）令，，估计2024年的企业利润为99.25亿元．17．【详解】（1）由题意摸到两球同色的概率为，所以回答第一个问题有人，则回答第二个问题有人，由题意可知公历生日是奇数的概率是，所以回答第一个问题，选择“是”的同学人数为人，则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为人，所以员工对新考勤管理方案满意的概率；（2）由题意，列联表如下：对新考勤管理方案满意对新考勤管理方案不满意合计男员工女员工合计285，所以有97.5%的把握认为与对新考勤管理方案是否满意与性别有关；（3）由题意可知，则，所以.18．【详解】（1）样本中总共人，其中旅游支出不低于元的有人，所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据，两人旅游支出均不低于元的概率为；（2）以下涉及旅游支出费用，则默认单位均为千元，，所以，，服从正态分布，，，估计襄阳市有个市民每年旅游费用支出在元以上；②由①知，，则，的所有可能取值为，，，，；所以随机变量的分布列为：均值为.19．【详解】（1）用中的分别表示第一次、二次、三次投掷的点数，投掷次，共有种可能，其中点数之和不超过的情况有，，，，，，，共种情况，所以点数之和不超过的概率为.（2）的可能取值为，用中的分别表示第一次、二次投掷的点数，抛掷次，共有种可能，当时，抛掷结果为，当时，抛掷结果为，当时，抛掷结果为，当时，抛掷结果为，当时，抛掷结果为，当时，抛掷结果为，所以，，，，，，所以的分布列为.（3）由题知，，，，，所以.20．【详解】（1）设事件老师审核通过，事件老师审核通过，事件老师审核通过，事件征文通过筛选，事件征文经过复审，则，，，因此，所以它经过了复审的概率为.（2）依题意，的可能取值为，显然，则，，所以的分布列如下：X01234数学期望为.21．【详解】（1），由题意有，解得，由于为整数，故．（2）①证法1：设的分布列为，其中，，记，则对任意，．证法2：由马尔科夫不等式，得．②，则，．由题意，，即，，也即．由切比雪夫不等式，有，从而，，估计的最小值为45．22．【详解】（1）易知抛物线的焦点为，设椭圆焦距为，由题意可得，故，因此，椭圆的方程为．（2）设，联立，得，则，可得，联立，得则，可得：，要使为定值，则，即，，故当时取最小值．23．【详解】（1）因为双曲线过点，，所以，解得，所以双曲线C的标准方程为，所以双曲线C的渐近线方程为.（2）当切线斜率存在时，不妨设切线方程为，因为点在双曲线C上，所以，联立，消去y并整理得，此时，即，所以，又，所以，解得，所以切线方程为，即；当切线斜率不存在时，即时，切点为，切线方程为，满足；综上，直线l的方程为.（3）由（1）知双曲线C的渐近线方程为，此时两渐近线与x轴的夹角均为，即，设，由（2）可知切线方程为，联立，解得，即，此时，同理可得，所以的面积.

24．【详解】（1）由，得，将其代入，得，所以抛物线的方程为，其准线方程为.（2）由，得，由直线与相切，得，解得，切点，由，得，由直线与相切，得，解得，切点，于是，令，则直线的方程为，点，由，得，所以，点到直线的距离为，所以，所以的面积为定值，该定值为.【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．25．【详解】（1）由题意可知：焦点F到准线的距离为，所以抛物线E的方程为.（2）设，可知，则，可得，显然不满足上式，则，可得，又因为，当且仅当，即时，等号成立，则，即，所以t的取值范围为.（3）设，则直线的斜率，可得直线的方程，整理得，同理可得：直线的方程，由题意可得：，整理得，又因为直线的斜率分别为，显然为锐角，则，所以为定值.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．26．【详解】（1）依题意，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）设直线方程为，由得，，，解得.（3）由（2）得，，的面积，，，令，解得，即在上单调递增，令，解得或，即在和上单调递减，所以当时，取到最大值，的面积【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，解决直线与椭圆的综合问题，关键在于（1）注意题设中每一个条件，明确确定直线和椭圆的条件；（2）直线和椭圆联立得韦达定理，与弦长公式和点到直线距离公式的结合运用；（3）求最值时，要善于转化为函数关系，利用导数来求解.27．【详解】（1）由题意可得，解得，从而，所以双曲线C的方程为；（2），直线，当直线的斜率不为零时，设方程为，联立，得，则，所以，设，则，直线的方程为，令，则，即，设直线交轴于点，由于三点共线，则，，那么，故，当直线的斜率等于0时，直线与轴重合，必过定点，综上所述，直线QN过x轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.28．【详解】（1）由得，设公切线与曲线的切点坐标为，由已知得，解得，所以公切线方程为，即，由得，由已知得，解得.（2）由已知，则，当时，，令，得，令得，这时，在上单调递增，在上单调递减；当时，，令，得，令得，这时，在上单调递减，在上单调递增；当时，令得或，，①当时，，这时在上单调递减；②当时，，令，得，令得或，这时，在和上单调递减，在上单调递增；③当时，，令，得，令得或，这时，在和上单调递减，在上单调