高等数学（第五版）课件 陈如邦 第一章 极限与连续

第一章极限与连续第一节函数

函数是近代数学研究的主要对象，连续则是函数的一个重要性态，是微积分学研究的主要内容之一。

下面我们来看函数的表示法常用的函数表示法有公式（解析法）、表格法和图像法.⑴

用数学式子表示函数的方法叫做函数的公式（解析式）法.其优点是便于理论推导和计算，数学中的函数大多采用此法.⑵

用表格形式表示函数的方法叫做函数的表格表示法.其优点是所求的函数值容易查到，如所学过的三角函数表、对数表等.⑶

用图形表示函数的方法叫做函数的图象法.其优点是直观形象且可看到函数的变化趋势，在工程技术、经济领域中应用普遍.

如果函数在定义域的不同区间上，有不同对应关系，称这样的函数为分段函数.如

二、分段函数2.分段函数的定义域是各个部分定义域的并集，值域也是各个部分值域的并集。注：1.分段函数是定义域上的一个函数，而不是多个函数。

归纳：求分段函数函数值的方法（1）确定要求值的自变量属于哪一段区间；

在我们的日常生活中，分段函数随处可见，如阶梯电价、阶梯水价、出租车车费、个人所得税等。三、反函数

四、函数的几种特性1．函数的奇偶性

2．函数的周期性

3．函数的单调性

4函数的有界性

五、初等函数1．基本初等函数我们把常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.

2．复合函数

3．初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合，并且能够用一个数学式子表示的函数，我们称为初等函数.

初等函数是用一个数学式子表示的函数，否则就不是初等函数.

第二节

函数极限的概念与运算第一章极限与连续一、函数的极限

极限是微分学中最基本的概念之一.它与求某些量的精确值密切相关，是定义导数和积分的基础，它研究在自变量的某个变化过程中函数的变化趋势.

3.左极限与右极限

xy0

1-1

说明：加减运算和求极限的运算次序可以交换说明：乘法运算和求极限的运算次序也可以交换说明：除法运算和求极限的运算次序也可以交换

求解极限时，可以把常数提到极限号前面去。

注：法则和推论要求每个参与运算的函数的极限都存在，并且商的极限运算法则的重要前提是分母极限不为零.

由定理③和上述推论5，还可以得到两个多项式函数商的极限。

第一章极限与连续第三节两个重要极限

……

我们也可以利用夹逼准则证明这个重要极限.

三项均为正数，取它们的倒数

解

解

方法一

方法二

解

……

互为倒数互为倒数

解

互为倒数

解

解

方法一

方法二

第一章极限与连续第四节无穷小与无穷大

一、无穷小量与无穷大量

（是唯一可作为无穷小的常数）

4．无穷小的性质

性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注：无限个无穷小的和却不一定是无穷小，而可以是无穷小、常数、无穷大，甚至不确定.

无穷小常数无穷大性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.注：常利用该性质计算极限.

第一个重要极限有界函数与无穷小的乘积

二、无穷小的比较

定义

(2)

就出现了错误．

所以

解

第一章极限与连续第五节函数的连续性一、函数连续性

在现实生活中，许多量都是连续变化的，例如，水的流动、气温的变化、植物的生长，等等.这些现象反映在数学上就是函数的连续性.它与极限是密切相关的.为了定义函数的连续，首先必须引入函数增量的概念.1、函数的增量

2、函数连续的定义

因为由上，定义2可改写成以下定义:

有了函数在一点处连续，就可以进一步定义函数在区间上连续.

3、初等函数的连续性

可以证明：基本初等函数在其定义域内都是连续函数；初等函数在其定义区间内都是连续函数.

例2

计算下列极限。

二、函数的间断点

间断点分类:

第二类间断点第一类间断点

如果说连续是蜿蜒不断的万里长城，那么间断则不仅有“抽刀断水水更流”的可去间断，有“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”的跳跃间断，更有“我欲乘风归去”的无穷间断。不论是连续还是间断，我们都可以发现它的美好。

例如:

(3)

(4)

总结：判断函数间断点的一般步骤：Step1：找出函数无定义的点（分段函数还需考虑分段点）Step2：求出该点的左右极限。观察极限是否存在，左右极限是否相等。Step3：根据定义判断间断点类型。