高等数学（第五版）课件 陈如邦 第五章 定积分

第五章定积分第一节定积分的概念与性质

实例1(求曲边梯形的面积)一、问题的提出abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）

第一步：分割

任意引入分点

称为区间的一个分法T第二步：取近似

第三步：求和

第四步：取极限

思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．

实例2(求变速直线运动的路程)(1)分割

部分路程值某时刻的速度(3)求和

(4)取极限

路程的精确值(2)取近似上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限二、定积分的定义

被积函数积分变量被积表达式积分上限积分下限积分和注意关于定积分定义的说明：

曲边梯形的面积

曲边梯形的面积的负值

各部分面积的代数和三、定积分的几何意义

定积分的性质以下性质都是要求被积函数在相应的积分区间上是可积的.

性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.

证

例2

比较下列各对定积分值的大小.

第五章定积分第二节微积分基本公式从定积分的定义可以看出，直接用定义计算定积分的值,尽管被积函数很简单,也是一件十分困难的事,有些定积分几乎不可能用定义来计算,所以,需要找到简便而有效的计算方法。17世纪60～70年代,牛顿与莱布尼茨他们各自独立地将定积分计算问题与原函数联系起来,从而使定积分的计算变得简捷、方便,也推动了数学的发展,这就是牛顿—莱布尼茨公式或称微积分基本公式。xybaxOy=f(x)Φ(x)Φ(x)

一、变上限积分

将其称为变上限积分或积分上限函数。

证明：

由积分中值定理得

变限积分求导公式

例1

例2

例3

例4

洛必达法则例5解

这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.引例：在变速直线运动中，已知位置函数s(t)与速度函数v(t)之间有关系

这里s(t)是v(t)的原函数二、牛顿–莱布尼兹公式去掉问题的实际意义，上式表明，连续函数在闭区间上的定积分等于它的一个原函数在积分上限的函数值与积分下限函数值的差（即被积函数的原函数的增量）牛顿–莱布尼兹公式

定理2

称此公式为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式。这个公式揭示了定积分与原函数之间的内在关系，同时为我们计算定积分提供了一个简便而有效的方法。

证:

记作

公式的核心思想：如果能够找到被积函数的一个原函数，则定积分的值即为原函数在积分区间上的增量。

例6

求下列定积分.

解

说明：若被积函数是分段函数，当分段点在积分区间内时，计算定积分要用定积分对区间的可加性将定积分拆开。

解:

例8

下列做法是否有问题

强调：在利用牛顿—莱布尼茨公式的时候，验证定理条件是否满足是必要的！

解第五章定积分第三节定积分的计算一、定积分的换元积分法

【引例分析】根据牛顿—莱布尼兹公式，要计算该定积分，必须先求被积函数的一个原函数，

计算过程是先求原函数，再使用牛顿—莱布尼兹公式，显得较为复杂。再看下面的计算过程：从结果上看是一样的，但计算过程显得更简捷。

【引例分析】被积函数是无理式，无法直接计算，可采用下面的办法来解决：

定积分的换元积分法

上述等式称为定积分的换元公式。说明：（1）从左到右应用该公式时，相当于不定积分的第二换元法（如引例2），使用时要引入新的变量，同时切记：换元必换限。换限时原上限对新上限，原下限对新下限，换元后变量不用回代。（2）从右到左应用该公式时，相当于不定积分的第一换元法（如引例1），使用时不引入新的变量，因而积分的上、下限不变，只要求出被积函数的一个原函数，直接使用牛顿—莱布尼兹公式。例1

例1

例3求下列定积分

解

解

例3求下列定积分

解

例3求下列定积分

规律

利用函数的对称性,有时可简化计算.

证:由定积分的区间可加性，得

将式（2）代入式（1），得

结论：

二、定积分的分部积分法

该公式称为定积分的分部积分公式。对于由两个不同函数组成的被积函数，因其不便于进行换元，可以考虑使用分部积分法。其原理是对导数乘法法则的逆用。

证:

规律1：当被积函数为幂函数与对数函数（反三角函数）的积时，要用分部积分法，且要用幂函数凑微分。

定积分的分部积分公式可以多次使用。

规律2：当被积函数为幂函数与指对数函数（正弦函数、余弦函数）的积时，要用分部积分法，且不能用幂函数凑微分。

规律3：

当被积函数为指数函数与正弦函数（余弦函数）的积时，要用两次分部积分公式，任何一种函数均能用来凑微分，但两次凑微分时要用同一种类型的函数。第五章定积分第四节反常积分一、无穷区间的反常积分

定积分积分限有限被积函数有界推广反常积分(广义积分)

二、无界函数的反常积分

其含义可理解为

故反常积分发散.

解

第五章定积分第五节

定积分在几何上的应用

什么问题可以用定积分解决?

定积分定义一、定积分的微元法如何应用定积分解决问题?

上述两步解决问题的方法称为微元法。二、平面图形的面积

于是所求平面图形的面积为

故所求的平面图形的面积为

解两曲线的交点

分割为两部分之和

故

由此我们看到，积分变量选取适当，则可使计算简便.三、立体的体积1.

平行截面面积为已知的立体体积如果一空间立体被垂直于某直线的平面所截的截面面积可求，则该立体的体积可用定积分进行计算。

例4求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、h为高的正劈锥体的体积。解

于是，所求正劈锥体的体积为

2.旋转体的体积

于是利用旋转体的体积的计算公式可求得旋转椭球体的体积为

类似地，椭圆绕y轴旋转而得旋转椭球体的体积为

解

故所求平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为

故所求平面图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积为

第五章定积分第六节定积分在物理上的应用一、变力所作的功

用微元法解决：

例1

设有一圆柱形水桶盛满了水，桶高5米，底圆半径为3米，现要将水全部抽出，需作多少功？解

如图建立直角坐标系

解

根据题设，媒质的阻力为

于是该物体克服阻力所作的功为

如果将平薄板铅直地放置在液体中，由于水深不同，薄板一侧在不同深度处所受到的压强不同，因而薄板一侧所受到的压力不均匀，可用定积分来计算薄板一侧所受到的压力。二、液体的侧压力例3

一底为8m，高为6m的等腰三角形薄片，铅直沉在水中，顶在下，底在上且底与水面平齐，试求它的侧面所受的压力。解

如图建立直角坐标系

例4

一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为

的液体,求桶的一个端面所受的侧压力。解:建立如图直角坐标系.利用对称性,侧压力微元为

故桶的一个端面所受侧压力为

三、函数平均值

“平均”这个概念概念经常出现于生产实践和科学实验中