高等数学（第五版）课件 陈如邦 第二章 导数与微分

第二章导数与微分第一节

导数的概念

在上面的两个具体问题中，尽管实际背景不一样，但从抽象的数量关系来看却是一样的，都是当自变量的改变量趋于零时，计算函数的改变量与自变量的改变量比值的极限.在数学中，把这种类型的极限叫做函数的导数.

左、右极限都存在且相等.左、右极限和

可导性与连续性都是函数的特性，那它们有什么关系吗？

②

计算比值

③

计算极限

②

计算比值

③

计算极限

过曲线上一点且垂直于该点处的切线的直线，法线的斜率与切线的斜率互为负倒数.

但连续却不一定可导.

两边取极限，

所以可导必连续，

可导性连续性VS通过上面比较可导性与连续性的定义，我们可以看到它们之间存在密切的关系：一个函数在某点的导数可以通过极限来定义，而连续性也是通过极限来定义的.因此可导与连续有着本质的联系.

综上可知：

但其逆不真.第二章导数与微分第二节

导数的运算

前一节中我们利用导数的定义，给出了几个基本初等函数的导数公式．但根据定义求导数往往很繁琐，运算量大，有时甚至是不可行的．本节讨论求导数的一般法则，以及常用函数的求导公式，使求导的运算变得更为简单易行．

证明：

根据导数定义，F(x)的导数为

证明：

根据导数定义，G(x)的导数为

证明：

根据导数定义，H(x)的导数为

例2.求证

证:

类似可证:

②

③

解

′′′例4二、反函数的导数

证明：

三、复合函数的求导法则

复合函数求导法则又称链式法则.运用时，首先要分清复合函数是由哪些基本初等函数（或简单的初等函数）复合而成，这是正确使用复合函数求导法则的关键；其次是由外到内，逐层求导.在使用时可以写出中间变量再求导，也可以不写中间变量直接求导.

从以上例子可以看出，复合函数求导法则有时还与求导的四则运算混合在一起使用．这时原则上仍按由外及里的次序考虑．如例3(1)外层为复合对数运算，内层为和的求导，因此先复合后加法；例3(2),(3)外层为乘法运算，内层为复合，因此先用乘法公式，后用复合求导.

四、基本初等函数的导数公式

四、基本初等函数的导数公式

四、基本初等函数的导数公式第二章导数与微分第三节隐函数及参数方程确定的函数的导数

二对数求导法

取对数，化乘除为加减，化乘方、开方为乘除，然后再利用隐函数求导法，

几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂函数的求导问题.

解

先在等式的两边同时取对数，得

1、取对数求导法；

解

方法一

方法二

三、参数方程所确定的函数的导数

在解析几何中参数方程

上述公式为参数方程所确定的函数的二阶导函数求导公式.

解方法一.由参数方程所确定的函数的二阶导数公式可得

方法二.

基于复合函数求导法则,我们学习了隐函数导数的求法和参数方程所确定的函数的导数的求法，两种方法都蕴含着“透过现象看本质”这一辩证唯物主义的哲学原理.拨开隐函数、参数方程的华丽外表，可以发现它们背后隐藏的是复合函数.求导方法提示我们，我们通常常会被表面现象或假象所迷惑，只有通过深入思考和分析，才可以发现现象背后的真实，才能掌握事情的本质.“透过现象看本质”是一种辩证唯物主义的哲学原理，它可以帮助我们更好地认识事物、理解事物，避免被表面现象和假象迷惑。要求我们要具备敢于质疑的勇气，具备提出问题、分析问题和解决问题的能力，只有这样才可以揭示出事物的本质和内在规律，才可以更加准确的认识世界.第二章导数与微分第四节高阶导数

第二章导数与微分第五节函数的微分

一、微分的概念

从定义可以看出求微分主要在于求导数.

这就是说，

2．微分的几何意义

即

导数与微分的联系：

思考题解答说法不对.

从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.1．微分的基本公式

二、微分的运算

求复合函数的微分有两种方法：

一种是先用复合函数的求导法则求出复合函数对自变量的导数，再乘以自变量的微分；

另一种是用一阶微分形式的不变性求微分.

微分的乘法法则

三、微分在近似计算中的应用例5

当一块正方形金属薄片受到温度变化的