数学北师大版九年级第三章圆同步辅导

弧、弦、圆心角之间关系之应用在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，这集中体现了弧、弦、圆心角之间的关系.下面撷取几例解析如下，供同学们学习时参考.一、求角度例1如图1，在⊙O中，若点C是eq\o(AB,\s\up5(⌒))的中点，∠A=50°，则∠BOC等于（）40°B.45°C.50°D.60°分析：易得出△AOB为等腰三角形，先求出∠AOB的度数，再由点C是eq\o(AB,\s\up5(⌒))的中点，即eq\o(AC,\s\up5(⌒))=eq\o(BC,\s\up5(⌒))，进而求出∠BOC的度数.解：因为OA=OB，∠A=50°，所以∠AOB=180°-2×50°=80°.又因为点C是eq\o(AB,\s\up5(⌒))的中点，即eq\o(AC,\s\up5(⌒))=eq\o(BC,\s\up5(⌒)).所以∠BOC=∠AOC=∠AOB=×80°=40°.故选A.二、求线段长例2如图2，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且eq\o(EC,\s\up5(⌒))=eq\o(AD,\s\up5(⌒))，CE=2cm，则BE=_____cm.分析：因为eq\o(EC,\s\up5(⌒))=eq\o(AD,\s\up5(⌒))，由等弧所对的弦相等，得AD=CE；由图形易得∠BOE=∠AOD，由相等的圆心角所对的弦相等，所以BE=AD=2cm.解：如图2，连接AD.因为eq\o(EC,\s\up5(⌒))=eq\o(AD,\s\up5(⌒))，所以AD=CE=2cm.又∠BOE=∠AOD，所以BE=AD=2cm.牛刀小试：(2017▪宜昌)如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）AB=ADB.BC=CDC.eq\o(AB,\s\up5(⌒))=eq\o(AD,\s\up5(⌒))D.∠BCA=∠DCA图3图4（2017•苏州）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且弧CE=弧CD，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92° B．108° C．112° D．124°参考答案：1.B2.C垂径定理应用点睛垂径定理是圆中一条重要定理，在说明线段相等、角相等中有着重要的作用，是中考中的热点考题．例1如图1是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=4m，EM=6m．求⊙O的半径．ODMEC图1帮你分析：根据垂径定理的推论，可得EM⊥CD，连接OC，设⊙O的半径为RODMEC图1解答展示：如图1，连接OC．∵M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．∴EM⊥CD，CM=CD=2．设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=6－R.在Rt△OCM中，由勾股定理，得OC2=CM2+OM2，即R2=22+（6－R）2，解得R=．∴⊙O的半径为．方法总结：在解决有关垂径定理的问题时，常见的思路就是“连半径”或“作垂直”构造直角三角形，然后利用勾股定理进行求解．变式训练：1.（2017▪泸州）如图2，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）A.B.2C．6D．8图2图3图42.（2017▪眉山）如图3，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=cm．（2017•遵义）如图4，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为_____.参考答案：1.B2.53.情境导入小艳同学想测量妈妈佩戴的玉手镯的半径，她只有一把直尺和一块三角尺．她将直尺、玉手镯和三角尺如图放置于桌面上，并量出AB=2cm，则此手镯的半径OB是多少?亲爱的同学，通过学习本期内容，我们就可以得到正确的答案！活用性质准确解题自主学习如图1，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠BAC=50°，则∠COD的大小为（）100° B.80° C.50° D.40°图1图2图3如图2，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，则OA的长为．如图3，四边形ABCD是平行四边形，其中边AD是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，若⊙O的半径为6，则四边形ABCD的面积为．课堂探究利用切线的性质计算例1（2017▪南通）如图4，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．图4提示：连接OD，过点O作OF⊥BE于点F，证明四边形OFCD是矩形，从而得到BF的长，然后利用垂径定理求得BE的长即可．图4解：例2（2017▪玉林）如图5，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．(1)用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；图5(2)连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．图5提示：(1)连接OC，由切线的性质可得OC⊥DE，进而可得到∠DAE=2α，然后在Rt△ADE中可得2α+β=90°(0°＜α＜45°)；(2)连接CF，通过证明四边形AFCO是菱形，推出△AFO是等边三角形即可解决问题.解：利用切线的性质证明例3（2017▪丽水）如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．(1)求证：∠A=∠ADE；图6(2)若AD=16，DE=10，求BC的长．图6提示：(1)连接OD，可得∠ODE=90°，可得∠ADE+∠BDO=90°，再结合OB=OD，∠A+∠B=90°即可解决问题；(2)连接CD，先证明AC=2DE，在Rt△ADC中，利用勾股定理求出DC的长，在Rt△BDC和在Rt△ABC中，利用勾股定理列方程求解.解：交流探索例4（2017▪威海）已知：AB为⊙O的直径，AB=2，弦DE=1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O的切线DF交BC于点F．(1)如图7，若DE∥AB，求证：CF=EF；(2)如图8，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由．提示：(1)连接OD，OE，证得△OAD、△ODE、△OEB、△CDE是等边三角形，进一步证得DF⊥CE即可证得结论；(2)根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可证得结论．解：重点难点参考答案自主学习：1.B2.103.72课堂探究：例12．例2解：(1)如图1，连接OC．因为DE是⊙O的切线，所以OC⊥DE.因为AD⊥DE，所以AD∥OC.所以∠DAC=∠OCA.因为OA=OC，所以∠OCA=∠OAC.所以∠DAE=2α.因为∠D=90°，所以∠DAE+∠E=90°，即2α+β=90°(0°＜α＜45°).连接OF交AC于O′，连接CF．因为AO′=CO′，所以AC⊥OF.所以FA=FC.所以∠FAC=∠FCA=∠CAO.所以CF∥OA.因为AF∥OC，所以四边形AFCO是平行四边形.因为OA=OC，所以四边形AFCO是菱形.所以AF=AO=OF.所以△AOF是等边三角形.所以∠FAO=2α=60°，所以α=30°.因为2α+β=90°，所以β=30°．例3(1)证明：如图2，连接OD，因为DE是切线，所以∠ODE=90°.所以∠ADE+∠BDO=90°.因为∠ACB=90°，所以∠A+∠B=90°.因为OD=OB，所以∠B=∠BDO.所以∠ADE=∠A．(2)如图2，连接CD．因为∠ADE=∠A，所以AE=DE.因为BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，所以EC是⊙O的切线.所以ED=EC.所以AE=EC.因为DE=10，所以AC=2DE=20.在Rt△ADC中，DC==12.设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=(x+16)2-202，所以x2+122=(x+16)2-202，解得x=9，所以BC==15．交流探索：例4(1)证明：如图，连接OD，OE.因为AB=2，所以OA=OD=OE=OB=1.因为DE=1，所以OD=OE=DE.所以△ODE是等边三角形，所以∠ODE=∠OED=60°.因为DE∥AB，所以∠AOD=∠ODE=60°，∠EOB=∠OED=60°.所以△AOD和△BOE是等边三角形.所以∠OAD=∠OBE=60°.所以∠CDE=∠OAD=60°，∠CED=∠OBE=60°，所以△CDE是等边三角形.因为DF是⊙O的切线，所以OD⊥DF.所以∠EDF=90°-60°=30°.所以∠DFE=90°.所以DF⊥CE，所以CF=EF.(2)相等.理由：点E运动至与点B重合时，BC是⊙O的切线，因为DF切⊙O于点D，所以BF=DF.所以∠BDF=∠DBF.因为AB是直径，所以∠ADB=∠BDC=90°.所以∠FDC=∠C.所以DF=CF，所以BF=CF．内心出击解题给力由三角形的内心定义可知，三角形的内心与三角形各角的顶点的连线平分这个角，借助这个性质可以快速解决与三角形内心相关的问题.原题呈现：(人教九年级上册P100练习第1题)如图1，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.图1帮你分析：由点O是△ABC的内心可得OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，进而可得∠OBC、∠OCB的度数，再由三角形内角和即可求得∠BOC的度数.解答展示：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB.∵∠ABC=50°，∠ACB=75°，∴∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=37.5°.∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37.5°=117.5°.变式训练：1.（2017•眉山）如图2，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（）A.114° B.122° C.123° D.132°图2图32.（2017•玉林）如图3，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（）A.240° B.360° C.480° D.540°参考答案：1.C2.C判定切线常用三招学习了直线与圆的位置关系，经常遇到证明一条直线是圆的切线的题目,那么这类问题该如何证明呢？下面介绍常见的三种情形，供同学们学习时参考.一、有点有半径，证垂直例1如图1，已知△ABC，以顶点C为圆心、CB为半径作圆交AC于点D，连接DB．若∠ACB=2∠ABD.求证：边AB所在直线与⊙C相切.证明：∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB.∵∠CDB=∠A+∠ABD，∴∠CBD=∠A+∠ABD.∴∠A+∠ABD+∠CBD+∠ACB=180º.∴∠A+∠ABD+∠A+∠ABD+∠ACB=180º，即2∠A+2∠ABD+∠ACB=180º.又∵∠ACB=2∠ABD，∴2∠A+∠ACB+∠ACB=180º，即2∠A+2∠ACB=180º.∴∠A+∠ACB=90º.∴∠ABC=90º，即AB⊥CB.∴边AB所在直线与⊙C相切.点评：若已知条件中直线与圆有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接通过角的转换证明出半径与直线的垂直关系即可.牛刀小试：1.（2017•铁岭）如图2，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，连接OC，BC，以点C为顶点，CB为边作∠BCF=∠BOC，延长AB交CF于点D．

求证：直线CF是半圆O的切线.二、有点无径需连接，证垂直例2如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D．求证：AC是⊙O的切线．证明：如图2，连接OD．∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠OBD＝∠CBD.∴∠CBD＝∠ODB.∴OD∥BC.∵∠C＝90°，∴∠ODA＝∠C＝90°，即OD⊥AC.∴AC是⊙O的切线．点评：若已知条件中给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则可先连接过公共点的半径，再证其与直线垂直.牛刀小试：2.（2017•天水）如图4，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE并延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．求证：BC是⊙O的切线.三、无点作垂直，证半径例3如图5，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G．

求证：直线PE是⊙O的切线.证明：如图5，过点O作OH⊥PE于点H.

∵PO是∠APE的平分线，∠PAE=90°，

∴OH=OA.

∵OA是⊙O的半径，

∴OH是⊙O的半径.

∴直线PE是⊙O的切线．点评：若已知条件中没有明确直线和圆的公共点，则可过圆心作垂直于这条直线的垂线，证圆心到直线的距离等于半径.牛刀小试：3.（2017•西藏）如图6，在△ABC中，AC=CB，O是AB的中点，CA与⊙O相切于点E，CO交⊙O于点D.求证：CB是⊙O的切线.题中无图勿忘分类在圆的有关问题时，有些题目特别是无图题，经常有多解得可能，我们在解题过程中，一定要认真审题，全面考虑，抓住