经济数学基础（第六版）（上册）课件 顾静相 第3章 导数应用与偏导数

经济数学教材辅导第11讲3.1

中值定理3.2洛必达法则教学要求

了解罗尔定理和拉格朗日中值定理；

会用洛必达法则求未定式的极限．中值定理右图中是一个在区间

(a,b)内可导的函数

y=f(x)的图象,它是一条光滑曲线，这条曲线的两个端点A、B的纵坐标相等，即

f(a)=f(b)．可以看到，在这样一条曲线上存在着点(

1,f(

1))，(

2,f(

2))，使其在这些点处具有水平切线，即函数在这样的点处导数等于零．罗尔Rolle定理

定理3.1

如果函数

y=f(x)满足条件：

（1）在[a,b]上连续；

（2）在(a,b)内可导；

（3）

f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点

，使

f

(

)=0．中值定理例1设函数

．显然

f(x)在区间

[0,3]

上满足罗尔定理的前两个条件，且

f(0)=0，f(3)=0，即第三个条件也成立．因为

，令

f

(x)=0，解得

x=2，2(0,3)．所以取

=2，则有

f

(

)=f

(2)=0．拉格朗日(Lagrange)中值定理

定理3.2

如果函数

y=f(x)满足条件：

（1）在[a,b]上连续；

（2）在(a,b)内可导，那么在区间(a,b)内至少存在一点

，使得

．拉格朗日中值定理的几何说明右图中平移经过曲线

y=f(x)两个端点A、B的直线，移至与曲线只有一个交点处，如图中的

1的对应点处．在(

1,f(

1))处的切线的斜率即为

f

(

1)，因为两条直线平行，所以f

(

1)与直线AB的斜率

kAB相等，即

f

(

1)=kAB．而

，拉格朗日中值定理的几何说明而，于是有

，其中

1就是满足定理结论的点．拉格朗日中值定理的推论

推论1如果函数

y=f(x)在区间(a,b)内任一点的导数

f

(x)都等于零，则在(a,b)内f(x)是一个常数.

推论2如果函数

f(x)与函数

g(x)在区间(a,b)内的导数处处相等，即f

(x)=g

(x)，则

f(x)与

g(x)在区间

内只相差一个常数．即

f

(x)=g(x)=C．

．柯西(Cauchy)中值定理

定理3.3

如果

f(x)与

g(x)都在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，而且在

(a,b)内

g

(x)0,那么在区间(a,b)内至少存在一点

，使得

．柯西(Cauchy)中值定理

定理3.3

如果

f(x)与

g(x)都在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，而且在

(a,b)内

g

(x)0,那么在区间(a,b)内至少存在一点

，使得

．

上式中，如果

g(x)=x，就是拉格朗日定理，所以拉格朗日定理是柯西定理的特例．两种未定式

在求极限过程中，常常遇到这样的情形：

如

，当

x

0时分子、分母同时趋于0，称为

型未定式．

又如

，当

x

+

时分子、分母同时趋于+

，称为

型未定式．洛必达法则（一）设函数

f(x)与

g(x)满足条件:（1）

；（2）f(x)与

g(x)在点

x0的某个邻域内(点

x0可除外)可导，且

；（3）

（或

）.则(或

).(11.1)洛必达法则（一）例2

求

．洛必达法则（一）例2

求

．解

当

x

0时，有

x-xcosx

0和

x-sinx

0，这是

型未定式．用洛必达法则（一）由于仍是

型未定式，再用洛必达法则（一）洛必达法则（一）解

当

x

0时，有

x-xcosx

0和

x-sinx

0，这是

型未定式．用洛必达法则（一）由于仍是

型未定式，再用洛必达法则（一）洛必达法则（二）设函数

f(x)与

g(x)满足条件:（1）

；（2）f(x)与

g(x)在点

x0的某个邻域内(点

x0可除外)可导，且

；（3）

（或

）.则(或

).

(11.2)洛必达法则（二）例3

求

．洛必达法则（二）例3

求

．解

当

x

0+时，有lncotx∞和lnx∞，这是

型未定式．用洛必达法则（二）洛必达法则

若把

x

x0改为

x

，法则(I)和法则(II)仍然成立.洛必达法则

若把

x

x0改为

x

，法则(一)和法则(二)仍然成立.例4

求

．洛必达法则例4

求

．解

当

x

+∞时，有

0和

0，这是

型未定式．用洛必达法则(一)洛必达法则例5

求

（

n为自然数）．洛必达法则例5

求

（

n为自然数）．解

当

n>0时，由

x

+∞，得ex∞和

xn∞，这是

型未定式．用洛必达法则(二)洛必达法则用洛必达法则求极限时应注意以下几点:（1）洛必达法则只适用于求

和

型未定式的极限，因此每次用法则(一)和法则(二)时必须检查所求极限是否为

和

型未定式；（2）如果

仍是

和

型，则可继续使用洛必达法则；洛必达法则（3）如果

不存在且不是

∞，并不表明

不存在，只表明洛必达法则失效，这时应该用其它方法来求极限．洛必达法则（3）如果

不存在且不是

∞，并不表明

不存在，只表明洛必达法则失效，这时应该用其它方法来求极限．

例如

，由于

不存在，故洛必达法则失效．但可以通过简单的恒等变换来求极限：

．其它类型的未定式

除

型和

型未定式外，还有另外五种未定式极限：

．这几种未定式极限的计算，可把它们化为

型或

型，再用洛必达法则进行计算．其它类型的未定式例6

求

．其它类型的未定式例6

求

．解

这是

型未定式，它可以先化为

型未定式，再用洛必达法则(二)求解．已化为

型其它类型的未定式例6

求

．解

这是

型未定式，它可以先化为

型未定式，再用洛必达法则(二)求解．已化为

型一般地，有

，α>0．其它类型的未定式例7

求

．其它类型的未定式例7

求

．解

这是

型未定式，它可以先化为

型未定式，再用洛必达法则(一)求解．已化为

型其它类型的未定式例8

求

．其它类型的未定式例8

求

．解

这是

型未定式．由于被求极限的函数是幂指形式，故先设：

，然后取对数

，并取极限

，

化为

型未定式，再用洛必达法则(二)求解．即其它类型的未定式例8

求

．解

其它类型的未定式

对

和型未定式，由于被求极限的函数一般都是幂指形式，故先设

，然后取对数

，并取极限

，化为

型或型未定式，再用洛必达法则求解．中值定理与洛必达法则谢谢大家！

经济数学基础辅导第12讲3.3函数的单调性教学要求

掌握利用导数判断函数的单调性方法．函数的单调性

从几何直观上分析，容易看到，下图中的曲线是上升的，其上每一点处的切线与

x轴正向的夹角都是锐角，切线的斜率大于零，即f(x)

在相应点处的导数大于零；函数的单调性相反地，下图中的曲线是下降的，其上每一点处的切线与

x轴正向的夹角都是钝角，切线的斜率小于零，即

f(x)在相应点处的导数小于零．函数单调性的判别定理

定理3.4设函数

y=f(x)

在区间

(a,b)

内可导．

（1）如果在区间

(a,b)

内，f

(x)>0，则函数

f(x)在

(a,b)

内单调增加；

（2）如果在区间

(a,b)

内，f

(x)<0，则函数

f(x)在

(a,b)

内单调减少．函数单调性的判别定理

定理3.4设函数

y=f(x)

在区间

(a,b)

内可导．

（1）如果在区间

(a,b)

内，f

(x)>0，则函数

f(x)在

(a,b)

内单调增加；

（2）如果在区间

(a,b)

内，f

(x)<0，则函数

f(x)在

(a,b)

内单调减少．

如果将定理中的开区间换成其它各种区间（包括无限区间），定理的结论仍成立．

保持

f

(x)不变号的区间，就是函数

y=f(x)

的单调区间．函数单调性的判别例1求函数

的单调区间．函数单调性的判别例1求函数

的单调区间．解

函数的定义域为(-∞,+∞)；因为

，令

，得

x1=1，x2=2；

函数单调性的判别例1求函数

的单调区间．解

函数的定义域为(-∞,+∞)；因为

，令

，得

x1=1，x2=2；

以点

x1=1，x2=2为分点，将函数定义域分为三个子区间：(-∞,1)，(1,2)，(2,+∞)；当

x∈(-∞,1)时，f

(x)>0；当

x∈(1,2)时，f

(x)<0；当

x∈(2,+∞)时，f

(x)>0；函数单调性的判别当

x∈(-∞,1)时，f

(x)>0；当

x∈(1,2)时，f

(x)<0；当

x∈(2,+∞)时，f

(x)>0；所以该函数的单调增加区间为(-∞,1)

和

(2,+∞)，单调减少区间为(1,2)．函数单调性的判别例2求函数

的单调区间．函数单调性的判别例2求函数

的单调区间．解

函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)；因为

，

(x

≠

-1)；所以函数在

(-∞,-1)∪(-1,+∞)内单调增加．函数单调性的判别例3

试证当

x>0

时，

．函数单调性的判别例3

试证当

x>0

时，

．证

只需证明当

x>0

时，有

．因为

f(x)在

[0,+∞)连续，在

(0,+∞)

可导，且

，函数单调性的判别当

x>0

时，

，f(x)单调增加，且

f(0)=0．所以，当

x>0

时，f(x)>0，即

．函数的单调性谢谢大家！

经济数学基础辅导第13讲3.4

函数的极值教学要求

理解函数极值的概念；

掌握求函数极值的方法．函数极值的定义

定义3.1设函数

y=f(x)在点

x0的某个邻域内有定义．(1)如果对该邻域内任意的

x(x

x0)，总有

f(x)<f(x0)，则称

f(x0)为函数

f(x)的极大值，并且称点x0为

f(x)的极大值点；函数极值的定义

定义3.1设函数

y=f(x)在点

x0的某个邻域内有定义．(1)如果对该邻域内任意的

x(x

x0)，总有

f(x)<f(x0)，则称

f(x0)为函数

f(x)的极大值，并且称点x0为

f(x)的极大值点；(2)如果对该邻域内任意的

x(x

x0)，总有

f(x)>f(x0)，则称

f(x0)为函数

f(x)的极小值，并且称

点x0为

f(x)的极小值点．

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点．函数极值的概念

函数

f(x)在

x1，x4两点处取得极大值，而在x2，x5两点处取得极小值，其中极大值

f(x1)小于极小值

f(x5)．o

a

x1x2x3

x4

x5

by=f(x)yx函数极值的概念

函数

f(x)在

x1，x4两点处取得极大值，而在x2，x5两点处取得极小值，其中极大值

f(x1)小于极小值

f(x5)．o

a

x1x2x3

x4

x5

by=f(x)yx

在函数的极值点处，曲线或者有水平切线，如

f

(x1)=0,f

(x5)=0，或者切线不存在，如在点x2,x4处

f

(x)不存在．但是，有水平切线的点不一定是极值点，如点

x3．由此可知，极值点应该在导数为

0或导数不存在的点中寻找．极值点的必要条件

定理3.5如果

f(x)在点

x0处取得极值且在

x0处可导，则

f

(x0)=0

．极值点的必要条件

定理3.5如果

f(x)在点

x0处取得极值且在

x0处可导，则

f

(x0)=0

．

几何意义：如果函数

y=f(x)在点

x0处具有极值，且曲线

y=f(x)在点

(x0,f(x0))处有不垂直于

x轴的切线，则该切线平行于

x轴．

使

f

(x0)=0的点，称为函数

f(x)的驻点．极值点的必要条件注意：1.可导函数

f

(x0)=0是点

x0为极值点的必要条件，但不是充分条件．也就是说，使

f

(x0)=0成立的点（驻点）并不一定是极值点，例如

f(x)=x3的驻点

x0=0不是它的极值点．极值点的必要条件注意：1.可导函数

f

(x0)=0是点

x0为极值点的必要条件，但不是充分条件．也就是说，使f

(x0)=0成立的点（驻点）并不一定是极值点，例如

f(x)=x3的驻点

x0=0不是它的极值点．2.使

f

(x)不存在的点

x0可能是函数

f(x)

的极值点，也可能不是极值点，如,

，显然

f

(0)不存在，但在

x0=0处却取得极小值

f(0)=0．极值点的第一判别法

定理3.6设函数

f(x)在点

x0的邻域内连续且可导

(允许

f

(x0)不存在)，当x由小增大经过x0点时，若

(1)f

(x)由正变负，则x0是极大值点；(2)f

(x)由负变正，则x0是极小值点；(3)f

(x)不改变符号，则x0不是极值点.极值点的第一判别法

定理3.6设函数

f(x)在点

x0的邻域内连续且可导

(允许

f

(x0)不存在)，当x由小增大经过x0点时，若

(1)f

(x)由正变负，则x0是极大值点；(2)f

(x)由负变正，则x0是极小值点；(3)f

(x)不改变符号，则x0不是极值点.

极值点第一判别法通常叫做极值存在的充分条件．求函数极值的步骤（1）确定函数

f(x)的定义域，并求其导数f

(x)；（2）解方程

f

(x)=0，求出

f(x)在其定义域内的所有驻点；

（3）找出

f(x)的连续但导数不存在的所有点；（4）讨论

f

(x)在驻点和不可导点的左、右两侧附近符号变化的情况，确定函数的极值点；（5）求出极值点所对应的函数值（极大值和极小值）．用第一判别法求函数极值例1求函数

的极值．用第一判别法求函数极值例1求函数

的极值．解（1）函数

f(x)的定义域为(-∞,+∞)，且

；（2）令

f

(x)=0，得驻点

x1=0，x2=1；（3）该函数没有导数不存在的点；（4）驻点将定义域分成三个子区间

(-∞,0),

(0,1),(1,+∞)．用第一判别法求函数极值解……

驻点将定义域分成三个子区间

(-∞,0),

(0,1),(1,+∞)．

当x

(-∞,0)时，f

(x)>0；

当x

(0,1)时，f

(x)<0；所以

x1=0是

f(x)的极大值点，极大值是f(0)=2；

又当

x

(0,1)时，f

(x)<0；

当

x

(1,+∞)时，f

(x)<0；所以

x2=1不是

f(x)的极值点．用第一判别法求函数极值例2求函数

的极值．用第一判别法求函数极值例2求函数

的极值．解（1）函数

f(x)的定义域为(-∞,+∞)，且

；（2）令

f

(x)=0，得驻点

x1=8；（3）f

(x)在点

x2=0处不存在；（4）导数不存在点

x2=0和驻点

x1=8，将定义域分成三个子区间

(-∞,0),(0,8),(8,+∞)．用第一判别法求函数极值解……

导数不存在点

x2=0和驻点

x1=8，将定义域分成三个子区间

(-∞,0),(0,8),(8,+∞)．

当

x

(-∞,0)时，f

(x)<0；

当

x

(0,8)时，f

(x)>0；所以

x2=0是函数

f(x)的极小值点，极小值是

f(0)=0．

又当

x

(0,8)时，f

(x)>0；

当

x

(8,+∞)时，f

(x)<0；所以

x1=8是

f(x)的极大值点，极大值是

f(8)=4.极值点的第二判别法

定理3.7设函数

f(x)在点

x0处具有二阶导数，且

f

(x0)=0，

（1）若

f

(x0)<0，则函数

f(x)在点

x0处取得极大值；

（2）若

f

(x0)>0，则函数

f(x)在点

x0处取得极小值

（2）若

f

(x0)=0，则不能判断

f(x0)是否是极值．极值点的第二判别法

极值点第二判别法也是极值存在的充分条件，它表明在函数

f(x)的驻点

x0处，若二阶导数

f

(x0)

0，那么该驻点一定是极值点，可以用

f

(x0)的符号判定

f(x0)是极大值还是极小值.

若二阶导数

f

(x0)=0，那么该驻点是否为极值点还要用第一判别法进行判别．用第二判别法求函数极值例3求函数

的极值．用第二判别法求函数极值例3求函数

的极值．解

函数

f(x)的定义域为(-∞,+∞)，且

；令

f

(x)=0，得驻点

x1=1，

，x3=-1；该函数没有导数不存在的点．用第二判别法求函数极值例3求函数

的极值．解……因为

，，所以

x1=1是

f(x)的极小值点，极小值是

f(1)=0；

是

f(x)的极大值点，极大值是

．用第二判别法求函数极值解……

由于

，不能用第二判别法判别

x3=-1是否为极值点．改用第一判别法，

当

x

(-∞,-1)时，f

(x)>0；

而当

时，f

(x)>0；故由第一判别法可知，x3=-1不是

f(x)的极值点．最大值、最小值及其求法

因此，求连续函数

f(x)在闭区间

[a,b]上的最大值和最小值，只需分别求出

f(x)在其驻点、导数不存在的点以及端点

a,b处的函数值．这些函数值中的最大者就是函数在

[a,b]上的最大值，最小者就是函数在

[a,b]上的最小值．最大值、最小值及其求法

当

x0

[a,b]是

f(x)的最大值点或最小值点时，那么对任意的

x

[a,b]，都有

f(x0)≥

f(x)，或

f(x0)≤

f(x)．

也就是说，最大值、最小值是对整个区间而言的，它可能在区间的内点取得（则它必是极值点），也可能在区间的端点取得．最大值、最小值及其求法例4求函数

在区间[-4,4]上的最大值和最小值．最大值、最小值及其求法例4求函数

在区间[-4,4]上的最大值和最小值．解

因为

，令

f

(x)=0，得驻点

x1=-1，x2=3．计算

f(x)在区间端点及驻点x1，x2处的函数值，得f(-4)=-71，f(4)=-15，f(-1)=10，f(3)=-22比较各函数值得，f(x)在区间[-4,4]上的最大值为

f(-1)=10，最小值为

f(-4)=-71．最大值、最小值及其求法例5求函数

在区间

[-2,2]上的最大值和最小值．最大值、最小值及其求法解

因为

，令

f

(x)=0，得驻点

，且导数在点

x2=1处不存在．计算

f(x)在区间端点及点

x1，x2处的函数值，得

例5求函数

在区间

[-2,2]上的最大值和最小值．最大值、最小值及其求法解……

比较各函数值得，f(x)在区间[-2,2]上的最大值为

f(-2)=2.88，最小值为

．函数的极值谢谢大家！

经济数学基础辅导第14讲3.5利用导数研究函数教学要求

掌握判断函数图形的凹凸性及拐点方法．函数的凹凸与拐点

在研究函数图像的变化状况时，了解它上升和下降的规律是有用的，但上升和下降不能完全反映图像的变化．如图所示的函数图像在区间内始终是上升的，但却有不同的弯曲状况.

它从左端点开始，曲线先向上弯曲，通过点P后变为向下弯曲了．因此，研究函数图像时，考察它的弯曲方向以及改变弯曲方向的点是完全必要的．yxOabPy=f(x)曲线凹凸的定义

定义3.2如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的，如图14-1；

如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的，如图14-2．图14-1图14-2曲线凹凸的几何意义

由图14-1发现，对于凹曲线，当

x逐渐增加时，其上每一点切线的斜率是逐渐增加的，即导函数

f

(x)是单调增加函数；而图12-2中的凸曲线，其上每一点切线的斜率是逐渐减少的，从而

f

(x)是单调减少函数．图14-1图14-2曲线凹凸的判别定理

定理3.8设函数

f(x)在区间(a,b)内二阶导数存在，(1)若a<x<b

时，恒有

f

(x)>0，则曲线

y=f(x)在(a,b)内是凹的；(2)若a<x<b

时，恒有

f

(x)<0，则曲线

y=f(x)在(a,b)内是凸的．曲线拐点的概念

定义3.3曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点.

拐点既然是凹与凸的分界点，那么在拐点的左、右邻近

f

(x)

必然异号，因而在拐点处有

f

(x)=0或

f

(x)不存在．

与驻点的情形类似，使

f

(x)=0的点只是可能的拐点．究竟它是否为拐点，还要根据

f

(x)在该点的左、右邻近是否异号来确定.曲线的凹凸与拐点

求拐点的一般步骤：

（1）求函数的二阶导数

f

(x)；

（2）令

f

(x)=0，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；

（3）对步骤（2）求出的每一个点，检查其左、右区间中

f

(x)的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．曲线的凹凸与拐点例1 求曲线

y=x4

-2x3+1的凹凸区间和拐点．曲线的凹凸与拐点例1 求曲线

y=x4

-2x3+1的凹凸区间和拐点．解

因为

y

=4x3

-6x2，y

=12x2

-12x=12x(x-1)，令

y

=0，解

x=0,x=1．函数没有二阶导数不存在的点．曲线的凹凸与拐点例1 求曲线

y=x4

-2x3+1的凹凸区间和拐点．解

因为

y

=4x3

-6x2，y

=12x2

-12x=12x(x-1)，令

y

=0，解

x=0,x=1．函数没有二阶导数不存在的点．当x

(-∞,0)时，f

(x)>0，区间(-

,0)为曲线的凹区间；当

x

(0,1)时，f

(x)<0，区间(0,1)为曲线的凸区间；曲线的凹凸与拐点解

因为

y

=4x3

-6x2，y

=12x2

-12x=12x(x-1)，令

y

=0，解

x=0,x=1．函数没有二阶导数不存在的点．当x

(-∞,0)时，f

(x)>0，区间(-

,0)为曲线的凹区间；当

x

(0,1)时，f

(x)<0，区间(0,1)为曲线的凸区间；当

x

(1,+∞)时，f

(x)>0，区间(1,+

)为曲线的凹区间；所以，曲线的拐点为(0,1)和(1,0)．曲线的凹凸与拐点例2 求曲线

y=(2x-1)4+1的凹凸区间和拐点．曲线的凹凸与拐点例2 求曲线

y=(2x-1)4+1的凹凸区间和拐点．解

因为

y

=8(2x

-1)3，y

=48(2x

-1)2，令

y

=0，解得

x=0.5．函数没有二阶导数不存在的点．曲线的凹凸与拐点例2 求曲线

y=(2x-1)4+1的凹凸区间和拐点．解

因为

y

=8(2x

-1)3，y

=48(2x

-1)2，令

y

=0，解得

x=0.5．函数没有二阶导数不存在的点．当

x

(-∞,0.5)时，f

(x)>0，区间

(-

,0.5)为曲线的凹区间；当x

(0.5,+∞)时，f

(x)>0，区间(0.5,+

)为曲线的凹区间；所以，曲线的凹区间为

(-

,+

)，没有凸区间，也没有拐点．曲线的凹凸与拐点例3 求曲线

的凹凸区间和拐点．曲线的凹凸与拐点例3 求曲线

的凹凸区间和拐点．解

因为

，

；当

x=4时，y

不存在，且

y

在(-

,+

)内没有使

y

=0的点．曲线的凹凸与拐点例3 求曲线

的凹凸区间和拐点．解

因为

，

；当

x=4时，y

不存在，且

y

在(-

,+

)内没有使

y

=0的点．当

x

(-∞,4)时，f

(x)>0，区间

(-∞,4)为曲线的凹区间；当x

(4,+∞)时，f

(x)<0，区间(4,+

)为曲线的凸区间；所以，曲线的拐点为(4,2)．曲线的渐近线

有些函数的定义域或值域是无穷区间，其图形向无穷远延伸，如双曲线、抛物线等．有这样特性的、且在向无穷远延伸时曲线将接近某一条直线，这样的直线叫做曲线的渐近线．曲线的渐近线定义

定义3.4如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线．曲线的渐近线1．水平渐近线

设曲线y=f(x)，如果

，则称直线

y=c为曲线

y=f(x)的水平渐近线．

如果极限

不存在，那么曲线无水平渐近线．曲线的渐近线2．铅垂渐近线

如果曲线

y=f(x)在点

x0

处间断，且

，则称直线

x=x0

为曲线

y=f(x)的铅垂渐近线．

曲线的渐近线例4求曲线

的水平渐近线和铅垂渐近线．

曲线的渐近线例4求曲线

的水平渐近线和铅垂渐近线．

解

因为

，所以直线

y=1是曲线的水平渐进线．

又因为

2是

的间断点，且

，所以直线

x=2是曲线的铅垂渐近线．

曲线的渐近线3．斜渐近线

设曲线y=f(x)，如果有=0成立，则称直线

y=ax+b为曲线

y=f(x)的斜渐近线．其中

，

．曲线的渐近线例5求曲线

的渐近线．

曲线的渐近线例5求曲线

的渐近线．

解

因为

不存在，所以曲线无水平渐近线.

因为

x=-1是

的间断点，且

，所以直线

x=-1是曲线的铅垂渐近线．

曲线的渐近线又因为