2023年高考数学一轮复习（全国版理） 第4章 §44 简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换

【考试要求】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公

式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求

记忆).

【知识梳理】

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)公式S2«：sin2a=2sinacosa.

(2)公式C2a：cos2a=cos%-sin%=2cos1=1-2sin%.

(3)公式Tza：tan

2.常用的部分三角公式

(1)1—cosQ=2sin1,1+cosQ=2COS].(升暴公式)

=(sin^±cos1)2.(升辕公式)

(2)l±sina

.)1-cos2a、1+cos2a

(3)sirra=---------»cos~a=--------匕«=晶4•(降耗公式)

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

⑴若a为第四象限角，则sin2a>0.(X)

(2)设:〈兴3冗，且|cos4=g,那么sin?的值为^^.(X)

(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.()

(4)存在实数a,使tan2a=2tim以.(J)

【教材改编题】

i.sin15°cos15°等于()

A.—1B.；C.一；D.g

答案B

解析sin15°cos15°=pin30°=：.

2.化简4l+cos4的结果是()

A.sin2B.—cos2

C.y[2cos2D.—yflcos2

答案D

解析因为qi+cos4=y^HsQ,

又cos2<0,所以可得选项D正确.

4

3.已知a是第二象限的角，tan（7t+2a）=一,，则tana等于（）

A.­2B.2

c-4d-4

答案D

4

解析由tan（兀+2a）=—?

得tan2a=甘,

2tana4

又tan2a=

1-tan2ay

解得tana=-g或tana=2,

又a是第二象限角，所以tana=-'

题型一三角函数式的化简

例1（1）（2021.全国甲卷）若〃£（0,5tan2a=2等二,贝Utan。等于（）

A-15B.5C.3D.3

答案A

刖-4+HL八sin2jx2sinacosa

解析方法一因为tan2a=五五=二五赤，

_-cosa2sinacosacosa

且tan2a=^:,所以解得bin.因为

2—sina1—2sin:a2—sina

sina415

所以cosatana—

15,

2sina

2tanacosa2sinacosa2sinacosacosa

方法二1a2且tan2a=

n"i—tan2a_§in?一cos2a-sin2a1—2sina2—sin(t

cos*a

2sinacosacosa

所以

1—2sin2a2—sina

解得sina=；.因为a£（07T

-sinaVT3

所以cosa=丁，tana=--=^77-.

2COS4X_2cos2%+

⑵化简:

2uin(1-A)-sin2(A+^

答案2x

2COS2X(COS2X-1)+；

解析原式—

(f-x).sin2(x+f)

2tanl

^cos22x

、

]sinx1-COS(2X+F

cosx

2-

SHKV.2

'cosx/

^cos2Zv

cos2x—sin2x

【教师备选】

1.(2020・全国I)已知a£(0,%)，且3cos2a—8cosa=5,则sina等于()

答案A

解析由3cos2a—8cosa=5,

得3(2cos2a—1)—8cosa=5,

即3cos2a—4cosa—4=0,

2

解得cosa=-,或cosa=2(舍去).

又因为a£(0,7T),所以sina>0,

所以sina=y[\—

(1+sin夕+cos

2.已知0</兀，则

42+2cos0

答案一cos0

£

.

26

2

因为06＜几，

所以04＜^,所以cos号＞0,

所以原式=-cos0.

思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特

征.

(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式

子和三角函数公式之间的联系点.

跟踪训练1(1)2^1+sin4+q2+2cos4等于()

A.2cos2B.2sin2

C.4sin2+2cos2D.2sin2+4cos2

答案B

解析2ylI+sin4+,2+2cos4

=2A/sin22+2sin2cos2+cos22+

=2^(sin2+cos2)2+{4cos?2

=2|sin2+cos2|+2|cos2|.

cos2<0,

Vsin2+cos2=Wsin(2+j,0<2+^<n,

sin2+cos2>0,

原式=2(sin2+cos2)—2cos2=2sin2.

一八~tan2+1田十

⑵化简tar)2—7sin2+cos2等于()

A亚B基

A.33

C.^3D.2

答案B

解析原式=tan黑U+l

sin2+cos?

sin2-8sin22+cos2

_1_1_2A/3

-l-2sin215o-cos300-3,

题型二三角函数式的求值

命题点1给角求值

例2⑴sin4()o(tan10。一小)等于()

A.2B.-2C.1D.-1

答案D

解析sin400(tan10。一

=sin40。•僧器一小）

sin10。一小cos10。

=sin400-cos10°

2&in10。一坐cos10。)

=sin40O-r_-------

2(cos600sin100—sin60°cos100)

=sin40°

cos100

2sin(10。-60。)

=sin400-

cos10°

一2sin50。

=sin40°-

cos10°

—2sin40°・cos40°

cos10°

_-sin80°__

=cos10°=~L

(2)cos20。cos40。cos100°=.

答案"I

解析cos20°cos40°cos100°

=—cos20°cos400cos80°

_sin20°-cos20°-cos40°-cos80°

sin200

pin40°-cos400cos800

sin20°

[sin80°cos80°

sin200

[sin160°

o

sin20°

gSin20°]

=—sin20°=-8'

命题点2给值求值

例3⑴若cos6—,=/则cos停+2a)等于(

)

,22

A.gB..g

77

C.9D.一§

答案c

解析Vcos^—a)=1.

.•.coSg-a)=sin[^-(f-a)]

=sm|z4-a1=^,

.(2n^\1-2sin2住+a

・・cosR_十2aJ=

7

9'

⑵（2022・长春质检）己知sin（a-§+于cosa=；,则sin（2a+§等于（）

2217

-B-c----

A.3999

:.sin(2a+*)=sin^2(a-春)+5

=cos2(a-g

=2cos2^a—1

=2X|G)2-1

7

-9,

命题点3给值求角

例4已知a,B均为锐角，cos。=邛^,sin则cos2a=

答案1f

2s

解析因为85。=干,

所以cos2a=2cos2a—1=；.

又因为a,月均为锐角，sin夕=当中,

所以sina=*lcos4=*,

45

因此sin2a=2sinacosa=~yf

所以sin(2a—4)=sin2acos“一cos2asin0

=4^3X13_1W3=^3

-714714-2,

因为〃为锐角，所以0〈2a5.

又cos2a>0,所以0<2a<^,

又4为锐角，所以一pa—//当

又sin（2a—0=坐，所以2a一夕=壬

【教师备选】

「嬴弱岂诉的值为（）

A.1B#C.巾D.2

答案C

cos2200-sin220。

解析原式=

cos25°(cos200—sin20°)

cos200+sin20°

=cos25°

书cos25。r-

=cos25°

2.已知A,8均为钝角，且sing+cos(A+§=5嗜sinB—

,则A+8等于（）

A粤B.yC.孑D.卷

答案C

解析因为sin,+cosG+g/

奸J—8s41A④.A一

所以--5----十5cosA—2sinA——56~,

即i近5―yr^

即g一亍sinA=—而一,

解得sinA=坐，

因为A为钝角,

所以cos

2小

5.

由sin8=、乎，且8为钝角,

得cosB=—yj1—sin2B

3E

10,

所以cos(4+B)=cosAcosB—sinAsinB

旦遮=正

=(-嘴x(-嚼-5X10-2•

又A,B都为钝角，即4,8£仔，

所以4+8£（兀，2江），

所以4+B=

3.已知cos（0+：）=^^,。£（0,。则sin（20—§=

4一35

答案

10

Zn-cos（2<9+?）zx4

解析由题意可得cos2^+|J=---------——-=]^,cos（20+»=-sin2。=一点即sin20

_4

=亍

因为cos（e+：）=^^>0,夕£（0,7）,

所以0V咐,2间0,9,

根据同角三角函数基本关系式，

3

可得cos2。=手

由两角差的正弦公式，可得

sin（20—g=sin2aosg—cos20sing

4、/3、,S4-3小

=5X2-5X2=^0-

思维升华（1）给值（角）求值问题求解的关键在于变角”，使其角相同或具有某种关系，借

助角之间的联系寻找转化方法.

（2）给值（角）求值问题的一般步骤

①化简条件式子或待求式子；

②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；

③将已知条件代入所求式子，化简求值.

跟踪训练2（1）（2019・全国II）已知夕£（0,。2sin2a=cos2a+l,则疝6（等于（）

R正「近口工

A・1§•5-•3L^・5

答案B

解析由2sin2a=cos2a+1,得4sinacosa=1—2sin2a+1,即2sin«cosa=1—sin2a.

因为以所以。,

£（0,2）tcosa=Y1—sin2

所以2sina\j1—sin2ot=1—sin2a,

解得sinQ=乎.

⑵（2021•全国乙卷）cos哈一cos若等于（）

A.|B当C坐D当

答案D

解析因为cosY^=sin^—Y^)=sin专.

所以cos哈一cos^=cos哈一sin哈

(3)已知sin(r+£)=:，则sin2x=,

答案

解析

l+sin2x1

=-2—=3*

・•-1

..sin2x=­y

题型三三角恒等变换的综合应用

例5(2022•河南中原名校联考)已知函数y(x)=4cosxcos(x+^

(1)求人r)的单调递增区间;

6

兀

一-

O,25

-

解(l)/(x)=4cosxcosG+日-小

=2A/3COS2X_2sinxcosx—x/3

=小(1+cos2x)—sin2x—y[3

=y[3cos2x—sin2x

令2E—7tW2r+5W2E(&£Z),

解得hr一招《仄一节(k£Z),

所以加)的单调递增区间为［E一的，E—盍依£Z).

(2)由于a£10,引，

且加）=§,

而X

1I

Z

所以cos（2a++）=',

因为o-W，

所以太2a+太华,

OOO

则

=COS(2Q+os*+sin(2a++)sin

年坐+蚪

35+4

=10,

【教师备选】

已知函数｛r）=^sin仔r）+乎cos（A,

⑴求函数©在区间,用上的最值:

（2）若cos0=*,（竽，2兀）,求/（2。+§的值.

解（1）由题意得

段）=察府一,+乎cos仔-x）

[|sin(f-x)+^cos(1-x)]

X

=-察制.

因为y],

所以了-等[V,密,

所以sing一相）£[—坐，1

所以一察in（x-凯［―察平］,

即函数段）在区间俘，用上的最大值为手，最小值为一坐

4侍

予

3

所以sinB=­g

所以sin29=2sinOcos0=—

cos2/?=cos2^—sin2^

=­Z

-25-25-25,

所以f（26+§=-察in（29+亨一匍

=一察皿3司

=—1（sin2。一cos20）

=T（cos2。—sin20）

=2XS+25）=50-

思维升华（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系:

注意公式的逆用和变彩使用.

（2）形如y=asinx+Z?cosx化为y=4?TR.sin（x+9）,可进一步研究函数的周期性、单调性、

最值与对称性.

xxx\

（cos2+sin2，2sin力，b=

（cos尹sin会小cos9，函数《x）=a£

⑴求函数«r）的最大值，并指出应0取得最大值时x的取值集合；

⑵若a,少为锐角，cos（a+夕）=|1,理）=三,求的值.

解（1）flx）=cos2^—sin^H-2*\/3sin^cos

=cosx+巾sinx

=2sinLr+^,

令x+2=5+2E（k£Z）,

得x=1+2E,kj

・•・©的最大值为2,此时x的取值集合为卜卜=E+2E,kRZ].

1?

(2)由a,夕为锐角，cos3+£)=石,

得sin（a+夕）=/，

..八打兀.兀介।兀2兀

,0<^<5，.­6<^+6<3",

又财=23伞+5=小

・,・碘+0+（；,室）,

・W"+为，

・・・cos（嗯）==

:.cos（a—*）=cos[（a+为-,+g]

=cos（a+0cosb+5）+sin（a+0sin[+5）

_63

一行，

・"（a+聿）=2sin（a+7亨1

=2sing+«-Z

7T126

=2cosa6厂65•

课时精练

1.已知tana=3,则8$（2〃+,等于（）

3331

A.—TB.TC.—TD.T

4，JJ

答案C

解析cos（2a+T）=—sin2a=—2sinacosa

—2sinacosa

cos2a+sin2a

-2tana-2X33

-l+tan2a-1+325-

2.（2022・遂宁模拟）已知。£（0,今，tan6>=^2,贝ijcos2®等于（）

_巫

3

答案

cos%—sin2。1—tanW1

解析

-COS26+sin%-1+tan3-3,

3.（2022•成都双流中学模拟）tan—3的值为（）

【an

A.1B.y/2C.2D.4

答案C

sincos

解析

tancossincossin

cos

sin2~cos2

sin

gsin135°

4.（2022•黑龙江大庆中学模拟）若cos（30°—〃）一sina=；,则sin（30。-2a）等于（）

A-3

答案D

解析由cos（30。-a）—sina=g,

得坐cosa-gsina=；，

即cos（30°4-a）=^,

所以sin（30°-2a）=cos（60°+2a）

=2cos2（30°+a）-1=2X^-1

7

9-

5.已知/)=/(l+cos2x)sin2%(x£R)，则下列结论不正确的是()

A.«¥)的最小正周期T=m

B.凡r)是偶函数

c.人外的最大值为:

D.1上)的最小值为:

答案D

解析,•7(x)=；(1+cos2x)(1—cos2x)

1,

=^(1—cos2Zr)

=^sin22x

=^(1—cos4x),

***y(-^)=|[l-cos4(-x)]

=|(l-cos4x)=y(x),

2兀冗

142，

«x)的最大值为上X2=；,

最小值为gX0=0,

故A,B,C正确，D错误.

6.下列各式中，值为/的是()

A1五.，冗

A.cos*-p—siiryj

C.2sin210ocos210°

D.产

答案B

解析cos哈—sin哈=cos(2X总

=以嵋=坐，故A错误;

tan12tan

1—tan221—tan2

=1tan45°=/，故B正确；

2sin210°cos210°=2sin(180°+30°)cos(180°4-30°)

=2sin30°cos30°=sin60°=^,故C错误；

•%/Q—tan12。

7.（2022•成都七中月考）求值：（2cos2]2。一I）一」设。=

答案8

r-_sin_ir

5”-上^J-cos120

解析原式=cos24)访12。

布cos12。-sin12°

-cos24°sin12°cos12°

2sin(60°—12°)2sin48。

=1=1=&

^sin48°不in48°

8.若cos^—=,,贝ijsin2a=.

答案3

/.T(H-sin2«)=ZT,

sin2a=2X^—1=—2^.

9.(2022•杭州模拟)已知函数/tr)=2cos2x+2于sinxcosx.

⑴求的值；

(2)若/©)=装，Q£(0,求cosa的值.

解(1)因为J(x)=2COS2X+2，5sinxcosx

=1+cos2v+小sin2x

=l+2sin(2x+5),

«/@=l+2sin(j+f)

=1+2sin"=1+1=2.

⑵由於)=*a£(0,

得sin(a+§=,,cos(a+g=,,

所以cosa=cos(a+g—

=cos(a+5)cos2+sin(a+"sin袭

4V5+3

:10,

10.如图，点尸在以AB为直径的半圆上移动，且AB=L过点尸作圆的切线PC,使PC=1.

连接8C,当点P在什么位置时，四边形A8CP的面积等于5

解设NR13=a,连接P3,如图.

・13是圆的直径，・・・N4尸8=90。

又AB=1,.\PA=cosa,

PB=sina.

••・PC是圆的切线，:.NBPC=a.

又PC=1,

:・S0通用ABCP=S>APB+saBPC

=^PAPB^PBPCsina

=/cosasina+/sin2a

=^sin2a+j(l—cos2a)

=^（sin2a—cos2a）+^

=（sin（2a_g+/

由已知，得乎sin（2a-/）+；=；,

:.sin（2a-：）=亭，

又a£（0,舒，

・・・加一台（节等

・•y=今故当点P位于AB的垂直平分线与半圆的交点时，四边形ABCP的面积等于今

1—2COS2I53°

11.（2022•昆明一中模拟）已知m=2sin18。，若〃户+〃=4,则------产---等于（）

rny]n

C.|D；

答案B

解析因为加=2sin18°,〃?2+〃=4,

所以n=4—m2=4—4sin218°=4cos2180,

1一221530

因此

nt\[n

-cos3060

2sin180・2cos180

一cos54°-sin36°

=2sin36°=2sin36°=~2,

12.（2022•杭州模拟）“一:WOW?是“小cos?。一*in262号凰的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由，5cos2。一；sin26=坐cos2。一

品2什失苧，

得cos(26+割沾

所以一：+EW0W今+E(A£Z),

因此“一是“小cos2。一%in282号B”的充分不必要条件.

13.在平面直角坐标系xOy中，角a的顶点为坐标原点，始边与4轴的非负半轴重合，终边

交单位圆。于点P(a,b),且a+力=4则cos(2a+?的值是.

答案稳

解析由任意角的三角函数的定义得，sina=。，

cosa=a.

7