复变函数复习考卷及其答案好

复变函数复习考卷及其答案（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（共5题，每题4分，满分20分）1.下列函数中，哪个是全纯函数？（）A.f(z)=zB.f(z)=|z|C.f(z)=z^2+1D.f(z)=ln|z|2.复变函数f(z)在z=0处解析，则下列结论正确的是？（）A.f'(0)=0B.f(0)=0C.f(z)在z=0的某个邻域内可展开成幂级数D.f(z)在z=0的某个邻域内不可导3.复变函数f(z)在区域D内解析，则下列说法正确的是？（）A.f(z)在D内必定有极值B.f(z)在D内必定有零点C.f(z)在D内必定满足柯西黎曼方程D.f(z)在D内必定是单调函数4.复变函数f(z)在区域D内解析，且f'(z)≠0，则f(z)在D内？（）A.必定有极值B.必定是单调函数C.必定是双值函数D.必定是一一映射5.下列级数中，哪个是收敛的？（）A.∑(n=1to∞)z^n/nB.∑(n=1to∞)(1/z)^nC.∑(n=1to∞)sin(nz)D.∑(n=1to∞)n^2z^n二、填空题（共5题，每题4分，满分20分）1.复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)=x^2y^2，v(x,y)=2xy，则f'(z)=_______。2.若f(z)=e^z，则f'(z)=_______。3.复变函数f(z)在z=0处解析，且f(0)=1，f'(0)=i，则f(z)在z=0处的泰勒展开式为_______。4.复变函数f(z)在区域D内解析，且满足|f(z)|≤M，则f(z)在D内满足_______。5.复变积分∮(C)(1/z)dz中，C为以原点为中心，半径为R的圆，则该积分的值为_______。三、计算题（共3题，每题10分，满分30分）1.设f(z)=(z^2+1)/(zi)，求f(z)在z=i处的洛朗级数展开式。2.计算复变积分∮(C)(e^z/(z^2+1))dz，其中C为以原点为中心，半径为2的圆。3.设f(z)=e^z+sin(z)，求f(z)在z=0处的泰勒展开式。四、证明题（共1题，满分15分）证明：若f(z)在区域D内解析，且f'(z)≠0，则f(z)在D内是一一映射。五、应用题（共1题，满分15分）给定复变函数f(z)=e^z/(z^2+4)，求f(z)在z=2i处的留数。六、简答题（共3题，每题5分，满分15分）1.简述复变函数的解析性及其与实变函数的区别。2.什么是柯西黎曼方程？它在复变函数理论中有什么重要作用？3.简述留数定理及其在复变积分计算中的应用。七、作图题（共1题，满分10分）作出函数f(z)=1/(z^21)的奇点、渐近线的图像，并标明其对应的区域。八、综合题（共2题，每题10分，满分20分）1.设f(z)=(z^31)/(z^2+1)，求f(z)的所有奇点，并判断其类型。2.已知复变函数f(z)在区域D内解析，且满足|f(z)|≤M，证明：f(z)在D内是一致有界的。九、案例分析题（共1题，满分15分）给定复变函数f(z)=sin(z)/z，分析其在z=0处的性质，并讨论其在不同路径下的积分结果。十、设计题（共1题，满分15分）设计一个复变函数，使其在z=0处有一个一阶极点，并在z=i处有一个三阶零点。十一、推导题（共1题，满分10分）推导复变函数f(z)=e^z的泰勒展开式。十二、比较题（共1题，满分10分）比较复变函数f(z)=z^n与g(z)=|z|^n在z=0附近的性质差异。十三、分类题（共1题，满分10分）1.f(z)=1/(z^2+1)2.f(z)=1/(z1)^23.f(z)=e^z/z4.f(z)=ln(z)十四、解释题（共1题，满分10分）解释复变函数f(z)=1/(z^2+1)在z=i处的留数意义。十五、应用题（共1题，满分10分）利用复变积分计算实积分∫(from∞to∞)e^(x^2)dx。一、选择题1.A2.C3.C4.D5.A二、填空题1.2z2.e^z3.1+izz^2/2!+iz^3/3!z^4/4!+4.柯西估计5.2πi三、计算题1.f(z)=1/(z+i)1/(zi)+2i/(zi)^22.2πi3.e^z+zz^3/3!+z^5/5!四、证明题略五、应用题留数为e^(4)/4i六、简答题略七、作图题略八、综合题1.奇点：z=±1，类型：一阶极点2.略九、案例分析题略十、设计题f(z)=(zi)^3(z+1)/z十一、推导题f(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+十二、比较题f(z)=z^n在z=0附近解析，g(z)=|z|^n在z=0附近不解析。十三、分类题1.可去奇点2.极点3.一阶极点4.本性奇点十四、解释题f(z)在z=i处的留数表示函数在z=i附近的积分路径环绕z=i一周时的积分值。十五、应用题∫(from∞to∞)e^(x^2)dx=π1.复变函数的解析性：包括解析函数的定义、柯西黎曼方程、解析函数的性质等。2.复变函数的积分：包括复变积分的定义、计算方法、留数定理等。3.复变函数的级数展开：包括泰勒级数、洛朗级数等。4.复变函数的奇点：包括奇点的类型、判定方法等。5.复变函数的应用：包括在积分计算、解微分方程等方面的应用。各题型所考察学生的知识点详解及示例：选择题：考察学生对复变函数基本概念、性质的掌握程度。填空题：考察学生对复变函数公式、定理的记忆和应用能力。计算题：考察学生对复变函数积分、级数展开等计算方法的掌握。证明题：考察学生对复变函数理论证明的理解和运用能力。应用题：考察学生将复变函数知识应用于实际问题解决的能力。简答题：考察学生对复变函数理论知识的理解程度。作图题：考察学生对复变函数图像的理解和绘制能力。综合题：考察学生对复变函数综合问题的分析和解决能力。案例