2023年黑龙江省绥化市中考数学真题（解析版）

二。二三年绥化市初中毕业学业考试数学试题

考生注意：

1.考试时间120分钟

2.本试题共三道大题，28个小题

3,所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内

一、单选题

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果

旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐

一判断即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考杳了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对

称图形的定义.

2.计算卜5|+20的结果是（）

A.-3B.7C.-4D.6

【答案】D

【解析】

【分析】根据求一个数的绝对值，零指数幕进行计算即可求解.

【详解】解：卜5|+2°=5+1=6,

故选：D.

【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，零指数幕，熟练掌握求一个数的绝对值，零指数幕是解题的关

键.

被切去一角，则其左视图是（

【解析】

【分析】根据左视图的意义判断即可.

【详解】根据题意，该几何体的左视图为:

故选B.

【点睛】本题考查了三视图的画法，熟练掌握三视图的空间意义是解题的关键.

4.纳米是非常小的长度单位，lnm=0.000000001m,把0.000000001用科学记数法表示为（）

A.IxlO_9B.C.IxlO8D.IxlO9

【答案】A

【解析】

【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为其中1<<10,〃为整数.

【详解】解：0.000000001=1x10^.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为4X10-",其中1<|a|<10,

〃为由原数左边起第一个不为零的数字前面的。的个数所决定，确定。与〃佗值是解题的关键.

5.下列计算中，结果正确的是（）

A.(-pqN=p3q3B.xx^+x2-x2=x8C.>/25=±5D.（叫

【答案】D

【解析】

【分析】根据积的乘方与辕的乘方运算，同底数塞的乘法、合并同类项，算术平方根，进行计算即可求解.

【详解】解：A.(-pq)3=-p3q3,故该选项不正确，不符合题意；

B.jrd工2=214,故该选项不正确，不符合题意；

C.4=5,故该选项不正确，不符合题意；

D.(〃2)3=〃6,故该选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了积的乘方与累的乘方运算，同底数基的乘法、合并同类项，算术平方根，熟练掌握以

上运算法则是解题的关键.

6.将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，Zl=25°,Z2=30°,则N3的度数为()

【解析】

【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解.

【详解】解：依题意，Zl+90°=Z3+45°,

•・•Nl=25。，

AZ3=70°,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键.

7.下列命题中叙述正确的是()

A.若方差*〉则甲组数据的波动较小

B.直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离

C.三角形三条中线的交点叫做三角形的内心

C.90~100这组数据的组中值是96

D.110〜120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51。

【答案】B

【解析】

【分析】根据C组的人数除以占比求得样本的容量，结合统计图求得804XV90的人数为15,进而根据中

位数的定义，即可判断B选项，根据组中值为=即可判断C选项，根据110〜120的占比乘

以360。，即可判断D选项.

【详解】解：A、该组数据的样本容量是12・24%=50,故该选项不正确，不符合题意；

B、80wxv90的人数为：50-4-12-12-7=15,4+15<25,4+15+12>25,

该组数据的中位数落在90~100这一组，故该选项正确，符合题意；

C、90〜100这组数据的组中值是95,故该选项不正确，不符合题意；

7

D、110〜120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为前X360。=50.4。，故该选项不正确，不符合

题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了样本的容量，条形统计图与扇形统计图信息关联，中位数的定义，求扇形统计图的圆

心角的度数，求频数分布直方图组中值，从统计图表中获取信息是解题的关键.

9.在平面直角坐标系中，点A在），轴的正半轴上，AC平行于“轴，点B,C的横坐标都是3,BC=2,

点。在AC上，且其横坐标为1,若反比例函数y=&（x>0）的图像经过点3,D,则2的值是（）

x

3

A.1B.2C.3D.

2

【答案】C

【解析】

【分析】设8（3,根），则。（3,加+2）,。（1,机+2）根据反比例函数的性质，列出等式计算即可.

【详解】设3（3,机），

•・•点从C的横坐标都是3,BC=2,AC平行于X轴，点。在AC上，且其横坐标为1,

・•・。(3,m+2),£)。，m+2),

/.3m=/n+2,

解得旭=1,

・•・B（3,l）,

，左=3x1=3,

故选C.

【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握A的意义，反比例函数的性质是解题的关键.

10.某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运

4

送货物，两车又共同运送货物3天，运完全部货物.求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送

这批货物需％天，由题意列方程，正确的是（）

11\11「

C-+-■+-i+-

42IXD.4

/14

【答窠】B

【解析】

【分析】设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列出分式方程即可求解.

【详解】解：设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程

1If11}.

4214X）

故选：B.

【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键.

11.如图，在菱形A8CD中，ZA=60°,A3=4,动点、M,N同时从A点出发，点M以每秒2个单

位长度沿折线A-3-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AZ）向终点O运动，当其中一点

运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，上4MN的面积为丁个平方单位，则下列正确

表示j与x函数关系的图象是（）

BC

AD

±/\1A1/I，

C.2cl■…/jD.2^|

orj~r»0|2-4~^X

q-~T[~~

【答案】A

【解析】

【分析】连接30,过点8作郎_LAD于点E，根据已知条件得出△ABQ是等边三角形，进而证明

二AMNsABE得出N/VW=NA£B=90。，当0v，v4时，M在A8上，当4K，v8时，M在3c

上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，

【详解】解：如图所示，连接30,过点3作的_L4O于点七

当0v，v4时，”在AB上，

B______________c

ANED

菱形ABC。中，NA=60。，AB=4，

・•・"="＞，则△ABD是等边三角形，

AAE=ED=^AD=2,BE=6AE=?6

*：AM=2x,AN=x,

.AMAB

・•------=—=2，又NA=NA

ANAE

.•・LAMN—ABE

：.ZANM=ZAEB=90°

,,MN=\lAM2—AN2=y/3x‘

•,•y——VAVx.-vV—-......x2

22

当4wrv8时，M在8c上,

・•・y=-ANxBE=-xx2y/3=y/3x,

22

综上所述，0vrv4时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当4<，v8时，函数图象是直线的一部

分，

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾

股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键.

12.如图，在正方形A5c。中，点E为边CO的中点，连接AE,过点B作BPLAE于点F,连接

交AE于点G,FH平分NBFG交BD干点H.则下列结论中，正确的个数为（）

①4序=8~4E；②S△惭：5.尸=2:3；③当时，BD2-BDHD=a2

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【解析】

【分析】①根据题意可得NAB产=90。一/84尸=/。4后，则cosNABF=cosNE4£>,即

—=—，又A8=4),即可判断①；②设正方形的边长为。，根据勾股定理求得A/，证明

ABAE

-GABs-GED,根据相似三角形的性质求得GE,进而求得FG,即可判断②；过点”分别作BRAE

的垂线，垂足分别为M,N,根据②的结论求得8”，勾股定理求得80,即可判断③.

【详解】:四边形ABC。是正方形，

AZM£)=ZADE=90°,AB=AD

,:BF.LAE

・•・ZABF=90°-ZBAF=ZDAE

・'.cosZABF=cosZ.EAD

nitBFADr

即F=F，又AB=4），

ABAE

­­AB2=BFAE^故①正确;

设正方形的边长为。，

•・•点E为边。。的中点,

・♦,DE*

：.tanZ.ABF=tansZ.EAD=—,

2

在RtAABE中，AB=>jAF2+BF2=45AF=a^

.x/5

••AF=——a

5

在RtZsADE中，AE=y/AD2+DE2=—

2

♦口匚AhA口下小30

••Er=AE-AF=——a------a=a，

2510

AB//DE

:…GABS2ED

AGABc

——=——=2

GEDE

・•・GE=-AE=—

36

・3ACF岳石石26

・・rG=AE-AF-GE=——a---a-------a=------a

25615

.竺=M=3

・'FG2y/52

-----a

15

••S^BGF•SDBAF=2:3,故②正确；

,:AB=a,

BD2=AB2+AD2=2a2,

如图所示，过点”分别作的垂线，垂足分别为",N,

又・・・BE_LAE,

・•・四边形RW/N是矩形，

•:尸”是N8/G的角平分线,

:・HM=HN,

・•・四边形RW/N是正方形，

・•・FN=HM=HN

巫3苑

BF=2AF

515

.MHFG1

设加，=力，则BF=BM+FM=BM+MH=3b+b=4b

在中，BHVBM=MH?=4idb，

..2V5

•BF=----a

5

.2辨..

・・----a=4b

5

解得：b=—a

10

BH=J10xci=——,Q，

102

ABD2-BDHD=2a2-42ax—a=a2^故④正确.

2

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形，相彳以三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性

质与判定是解题的关键.

二、填空题

13.因式分解：x2+xy-xz-yz=.

【答案】(x+y)(x—z)

【解析】

【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解.

【详解】解：x2+xy-xz-yz=x(x+y)-z(x+^)=(x+y)(x-z),

故答案为：(x+y)(x-z).

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

14.若式子35有意义，则x的取值范围是.

X

【答案】xN-5且xw0##x/0且尢之一5

【解析】

【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可.

【详解】•・,式子有意义，

X

冗+520且xwO,

，-5且XHO,

故答案为：xN-5且xwO.

【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件

是解题的关键.

15.在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3,4,从中随机抽取1张后，放回再混合在一起.再随

机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是.

【答案】##0.5

【解析】

【分析】根据题意列表法求概率即可求解.

【详解】解：列表如下，

1234

1m111

1-=1?

1234

2r2।221

2-=2-=1—.

12342

3~33,3

3一=3'-=1

1234

4,42441

4—=4-=2；-=1

1234

共有16种等可能结果，符合题意的有8种，

Q1

・•・第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是三二一,

162

故答案为；y.

【点睛】本题考查了列表法求概率，整除，熟练掌握列表法求概率是解题的关键.

11

16.已知一元二次方程/+%=51+6的两根为王与々，则一+一的值为.

百W

【答案】—

3

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出玉+W=4,及々二一6,将分式通分，代入即可求解.

【详解】解：•・•一元二次方程f+x=5工+6,即f_4x_6=0,的两根为花与演，

:.%+s=4,XyX2=-6,

11_+x2_4_2

M巧为巧-63，

故答案为：一^.

3

【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的

关系是解题的关键.

(x+2x—1।x—4

17.化简：2c

\X2-2Xx2-4x4-4)X2-2X

【答案】------##--------

x-2—2+x

【解析】

【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解.

'x+2x-\工一4

【详解】解:

,x2-2xX2-4X+4x2-2x

(x+2)(x-2)-x(x-l)x(x-2)

x(x-2)2x-4

_x2-4-x2+x4-2)

J(X-2)2x-4

1

x-2

故答案为：-.

x-2

【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键.

18.如图，。0的半径为2cm,48为。0的弦，点。为A8上的一点，将4B沿弦A3翻折，使点C

与圆心。重合，则阴影部分的面积为.(结果保留乃与根号)

【解析】

【分析】根据折叠的性质得出J10C是等边三角形，则NAOC=60。，OD=CD=1f根据阴影部分面积

S电形AOC-S,A8即可求解・

【详解】解：如图所示，连接OAOC,设4昆CO交于点。

丁将AB沿弦A3翻折，使点C与圆心。重合,

AAC=AO,OC±AB

又OA=OC

:.OA=OC=AC»

:.4。。是等边三角形，

AZAOC=60°,OD=CD=1,

：•AD=y/ACf-CD2=A/3，

・•・阴影部分面积=s扇形A8—S.A"=《兀x2?—〈x2xQ=,7t-6(cm2)

JOUZ37

故答案为：（，兀一e）

cm2.

19.如图，在平面直角坐标系中，JRC与八钻'。'的相似比为1：2,点A是位似中心，已知点A（2,0）,

点ZC=90°.则点。'的坐标为.（结果用含。，Z?的式子表示）

【答案】（6-2〃,一处）

【解析】

【分析】过点CC分别作X轴的垂线CDC。'垂足分别为。,。'，根据题意得出AD=2A。，则

AD=a-2,CD=b,得出。'(2-为+4,0),即可求解.

【详解】解：如图所示，过点CC分别作X轴的垂线cnc'。'垂足分别为

•・•与△A&C的相似比为1：2,点A是位似中心，42,0)

・•・Aiy=2AD

•・•C(a,b),

...AD=a-2,CD=h,

・•・A,D=2a-^C,D,=2b,

.•・。(2-2〃+4,0)

:.C'(6—2〃,—2b)

故答案为：(6-2a-2b).

【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.

20.如图，~43C是边长为6的等边三角形，点E为高8。上的动点.连接CE，将CE绕点。顺时针旋

转60°得至iJCV.连接AF，EF,DF，则aCDF周长的最小值是.

【答案】3+3百##36+3

【解析】

【分析】根据题意，证明乙CB&aCA/，进而得出尸点在射线A尸上运动，作点C关于A/7的对称点

C，连接DC',设CC交Ab于点。，则/AOC=90。，则当O,£C‘三点共线时，FC+FD取得最

小值，即/C+ED=/'C'+F7）=cr>',进而求得cz>,即可求解.

【详解】解：YE为高3。上的动点.

:.ZCBE=-ZABC=3Q°

2

•・•将CE绕点C顺时针旋转60。得到CF.J3C是边长为6的等边三角形,

・•.CE=CF,/ECF=ZBCA=60°,BC=AC

：・&CBEACAF

・•・ZCAF=ZCBE=30°,

・•・尸点在射线A尸上运动，

如图所示，

作点C关于4尸的对称点C',连接。C,设CC交4尸于点0,贝iJ/AOC=90。

在RLAOC中，NC4O=30。，则。O=1AC=3,

则当D,F,C'三点共线时，/C+ED取得最小值，即产C+ED=9C+FD=S

VCC=AC=6,ZACO=ZCCD,CO=CD

A^ACO^^CCD

・•・ZCDC=ZAOC=90°

在ACDC中，CD=y/cC2-CD2=5/62-32=3>/3>

:—CDF周长的最小值为CO+尸C+CO=CO+OC'=3+36，

故答窠为：3+35/3•

【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定,

勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键.

21.在求1+2+3+……+100的值时，发现：1+100=101,2+99=101••…，从而得到

1+2+3+.--+100=101x50=5050.按此方法可解决下面问题.图（1）有1个三角形，记作卬=1；

分别连接这个三角形三边中点得到图（2）,有5个三角形，记作。2=5；再分别连接图（2）中间的小三

角形三边中点得到图（3）,有9个三角形，记作q=9；按此方法继续下去，则4+%+6+

【解析】

【分析】根据题意得出4=1+4（〃-1）二4〃-3,进而即可求解.

【详解】解：依题意，q=1,q=5,%=9「­。〃=1+4（〃-1）=4〃-3,

1+4〃-3/_\_2

；・q+生+/++〃〃==---------n=\2n-\)n=2〃~-n,

故答案为：2n2—n-

【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键.

22.已知等腰NA=120。，AB=2.现将JR。以点3为旋转中心旋转45。，得到八4'8。'，

延长CW交直线3C于点O.则AO的长度为.

【答案】4+26或4-26

【解析】

【分析】根据题意，先求得BC=2JJ，当-ABC以点8为旋转中心逆时针旋转45。，过点B作

BE工A'B交A'D于点、E，当"WC以点B为旋转中心顺时针旋转45。，过点。作"L8C'交于

点尸，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，过点A作/VI/JL3C于点M,

・•・ZABC=ZACB=30°,

AAM=-AB=\,BM=CM=dAB)-AM2=6,

:.BC=2百,

如图所示，当以5C以点8为旋转中心逆时针旋转45°,过点8作8E_LAB交A'O于点E，

■:ZMC=120°,

・•・NOA'B=60。，ZAfEB=30°,

在RtaABE中，AE=2A3=4，BE=JA®_A®=2G，

•・•等腰加C,ZBAC=120°,AB=2.

・•・ZABC=ZACB=30°，

•・•以5。以点8为旋转中心逆时针旋转45。，

・•・ZABAf=45°,

・•・ADBE=180°-90°-45°-30°=15°,ZABD=180°-45°-30°=105°

▲ABD中，Z£>=180°-ADAB-^ABD=180°—60°—105。=15。，

・•・/n=/F.RD,

:.EB=ED=2百，

・•・AD=AE+OE=4+2G，

如图所示，当-ABC以点8为旋转中心顺时针旋转45。，过点。作。F_L5C'交3C于点尸,

A

在△3F£>中，NBDF=NCBC'=45。，

:.DF=BF

在Rt-OCR中，NO=30。

3

・•・BC=BF+43BF=2y/3

・•・DF=BF=3-6

:.DC=2DF=6-2y/3

・•・A,D=C,D-A,C,=6-2>/3-2=4-2y/3

综上所述，A力的长度为4-2右或4+26，

故答案为：4—2力或4+26.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分

类讨论是解题的关键.

三、解答题

23.已知：点尸是。。外一点.

（1）尺规作图：如图，过点P作出0。的两条切线尸E，PF，切点分别为点E、点尸.（保留作图痕

迹，不要求写作法和证明）

（2）在（1）的条件下，若点。在。0上（点。不与E,/两点重合），且/EPb=300.求NEDF的

度数.

【答案】（1）见解析（2）NED/=75。或105。

【解析】

【分析】（1）①连接PO,分别以点R。为圆心，大于，尸。的长为半径画圆，两圆交于点两点，

2

作直线MN交。尸于点A,②以点A为圆心，为半径画圆，与00交于七〜两点，作直线

PE,PF,

（2）根据切线的性质得出/PR?=/PR7=90。，根据四边形内角和得出/比尸=150。，进而根据圆周

角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解.

【小问1详解】

解：幻图所示,

①连接P。，分别以点尸，。为圆心，大于Lpo的长为半径画弧，两弧交于点M,N两点，作直线MN交

2

0P于点A，

②以点A为圆心，Q4为半径画圆，与0O交于£尸两点，作直线PEP产，

则直线PE,PF即为所求；

【小问2详解】

如图所示，点。在00上（点。不与E，尸两点重合），且NEPr=30。，

•.•PE,尸产是OO的切线，

:・ZPE0=/PF0=^,

・•・Z.EOF=360°-90°-90°-30°=15（T,

当点。在优弧用'上时，NEDF=；NEOF=75。,

当点。在劣弧所上时，NEDF=180°-75°=105°,

AZ£DF=75°^105°.

【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定

理，熟练掌握以上知识是解题的关键.

24.如图，直线MN和E尸为河的两岸，AMN〃EF,为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸EE

的B点测得NCBE=30。，从8点沿河岸庄的方向走40米到达。点，测得NCDE=45°.

MCN

（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）

（2）若从。点继续沿OE的方向走（12⑺+12）米到达夕点.求tanNCPE的值.

【答案】（1）河两岸之间的距离是2（）、公+20米

（2）tanZCPE=-

2

【解析】

【分析】（1）过点。作CM_L所于点M,设CW=a米，在Rt4MCB中，MB=&i，在

RtAMC。中，MD=MC=a,根据加＞=40,建立方程，解方程即可求解；

（2）根据题意求得MP的长，进而根据正切的定义，即可求解.

【小问1详解】

解：如图所示,

MCN

EMDBF

过点C作CM_LE尸于点设C"=。米，

■:ZCBE=30°

・•・tanNCBM=—=tan30°=—，

PB3

:・MB=限，

CM

在RtAA/CD中，tanZ.CDM=-----=tan450=1,

MD

:.MD=MC=a

BD=MB-MD=>/3a-a=40

解得：a=20G+20

答：河两岸之间的距离是206+20米;

【小问2详解】

解：如图所示，

依题意，尸5=BO+OP=40+(12j^+12)=52+12jJ,

AMP=MB-PB=(20V3+20)>/3-(524-12V3)=8+8>/3,

,十八cnI#CM20\/3+205

在RtACA/P中，tanNCPM=---=------,

MP8+8百2

:.tanZ.CPE=—.

2

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键.

25.某校组织师生参加夏令营活动，现准务租用A、8两型客车(每种型号的客车至少租用一辆).A型

车每辆租金500元，8型车每辆租金600元.若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和

4辆8型车坐满后共载客340人.

(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人?

(2)若该校计划租用A型和8型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的

地.该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？

(3)在这次活动中，学校除租用A、8两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车.已知从学校到夏令

营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达

目的地.下图是两车离开学校的路程S（千米）与甲车行驶的时间，（小时）之间的函数图象.根据图象

信息，求甲乙两车第一次相遇后，，为何值时两车相距25千米.

【答案】（1）每辆A型车、3型车坐满后各载客40人、55人

（2）共有4种租车方案，租8辆A型车，2辆3型车最省钱

（3）在甲乙两车第一次相遇后，当，=3小时或〃小时时，两车相距25千米

3

【解析】

【分析】（1）设每辆A型车、8型车坐满后各载客X人、y人,由题意列出二元一次方程组，解方程组即

可求解：

（2）设租用A型车机辆，则租用8型车（10一m）辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整

数解盯可得出m的值，设总租金为w元，根据一次函数的性质即可求解：

（3）设s甲=k，s乙=的+力，由题意可知，甲车的函数图像经过（4,300）；乙车的函数图像经过

（0.5,0）,（3.5,300）两点.求出函数解析式，进而即可求解.

【小问1详解】

解：设每辆A型车、8型车坐满后各载客X人、y人，由题意得

5x+2y=310

3x+4y=340

（x=40

解得，“

y=55

答：每辆A型车、5型车坐满后各载客40人、55人・

【小问2详解】

设租用A型车加辆，则租用B型车（10一加）辆，由题意得

500//Z+600(10-w)<55002

40.4-55(10-4420解得:5《院叼

用取正整数,

m=5»6,7,8

二.共有4种租车方案

设总租金为卬元，则卬=500w+600(10-w)=-100m+6000

-100<0

•二卬随着用的增大而减小

，根=8时，卬最小

，租8辆A型车，2辆8型车最省钱♦

【小问3详解】

设s甲=kt,s乙=k1+b.

由题意可知，甲车的函数图象经过(4,300)；乙车的函数图象经过(0.5,0),(3.5,300)两点.

.・.5•甲=751,=100/-50

s乙一即二25,HP100/-50-75/=25

解得，=3

或300—75,=25

解得

3

所以，在甲乙两车第一次相遇后，当£=3小时或1■小时时，两车相距25千米.

3

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等

量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键.

26.已知：四边形A5CQ为矩形，AB=4,4)=3,点尸是延长线上的一个动点(点/不与点C

重合).连接AF交CO于点G.

(1)如图一，当点G为。。的中点时，求证：AAPG二△FCG.

(2)如图二，过点C作CE_LA尸，垂足为E.连接BE,设=CE=y.求V关于x的函数关系

式.

(3)如图三，在(2)的条件下，过点B作BMLBE，交E4的延长线于点当。尸=1时，求线段

BM的长.

2

4x-12(4X-12)VX+16)

【答案】(I)见解析(2)y=下=■(或y=

+16尸X2+16

⑶二TL

3

【解析】

【分析】(1)根据矩形的性质得出A£>〃8尸，则4>=NDB，根据题意得出DG=CG,即可证明

△ADG名△bCG(ASA)；

在二中，222证明△。所人钻尸，根据相似三角形的性质即

(2)RtA8FAF=ylAB+BF=Vx+16»6

可求解；

(3)过点、E作EN1BF于点N,得出△ABF,△8F为等腰直角三角形，在Rt^BNE中，勾股定理

求得的，证明△B4Afs/\8CE，根据相似三角形的性质即可求解•.

【小问1详解】

证明：•・•四边形A8CO为矩形，

・•・AD//BF，

:.“=4DCF,

•；G为CD中点,

:.DG=CG,

在△ADG和中

ND=NGCF

<DG=CG,

/AGD=4FGC

・•・AADG^AFCG(ASA)；

【小问2详解】

•・•四边形ABC。为矩形，

:.ZABC=90°,

•：CE±AF,

・•・ZCEF=90°=ZABC,

•・•/F=NF，

・•・/\CEFs/\ABF,

.CECF

••瓦=寿’

VAB=4.BF=x,

・••在Rt_AB尸中，AF=yjAB2+BF2=Vx2+16»

,:CE—y,

y_x-3

・.丁7771r

412(4元-12心+16

(或y）；

+16X2+16

【小问3详解】

过点E作EN上BF于点N,

•・•四边形ABC。为矩形，且A£>=3,

AD=BC=3，

AB=4,CF=1,

・•・AB=BF,

:.△松尸为等腰直角三角形，

・•.NCFE=NBAF=45。,

-CEIAF,

・•・△CEF为等腰直角三角形，

・・・N£CF=45。，

■:硒人CF,

:.EN平分CF,

：.CN=NF=NE=-

2

在中,

BE2=BN2+EN2^

,1,fi£=jHHU=

•・•NEB=NBA/7=45。，

・•・ZBAM=NBCE=135。,

•:BM±BE，

AZA/fiA+ZABE=90°,

•：ZABE+ZEBC=90°,

:,ZMBA=/EBC,

・・・ABAMS^BCE,

.BMBA4

:.----=----=一，

BEBC3

BM_4

・•・南―w.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，列函数关系式,

勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

27.如图，MN为。。的直径，且MN=15,MC与NO为圆内的一组平行弦，弦A8交于点

，.点A在的c上，点B在州c上，NOND+NAHM=时.

B

(1)求证：MHCH=AHBH.

(2)求证：AC=BC-

（3）在。0中，沿弦ND所在的直线作劣弧NO的轴对称图形，使其交直径MN于点G.若

3

sinNCMN=—，求NG的长.

【答案】（1）见解析（2）见解析

⑶可

5

【解析】

【分析】（1）证明即可；

（2）连接0C,交于点尸，根据平行线的性质和已知条件证明垂直平分即可;

（3）利用对称的性质作辅助线，根据已知条件，转化为解直角三角形问题即可.

【小问1详解】

/ABC和NAMC是AC所对的圆周角，

■?ABC

2AHM2cHB,

A^AMH—CBH，

AHMH

:.——=----，

CHBH

:・MHCH=AHBH.

【小问2详解】

连接OC,交AB于点F,

MC与NO为一组平行弦，即：MC〃ND,

?OND?OMC,

OM=0C,

/OMC=/OCM,

/OND+ZAHM=90。,

..?OCM2AHM20cM?CHB90?,

/.Z//FC=90°，

•.OC1AB,

.1.。。是AB的垂直平分线，

••AC=BC-

【小问3详解】

连接DM、DG,过点。作垂足为E，设点G的对称点G',连接G办、GN,

C

^******^/|^^^>^

A//

"号'、、"J。'

\?、、、、：///

、、、4，///

D

DG=DG,2G仪D?GND,

•••DM=6G、，

DG^=DM，

DG=DM，

■■二。G历是等腰三角形，

DEtMN,

•.GE=ME,

DN//CM,

CCMN2DNM,

MN为直径,

•.ZMDN=90。,

•・ZMDE+4EDN=骄,

DEtMN,

NDEN=90。,

?DNM2EDN90?,

3

/.sin?EDMsin?DNMsin?CMN一，

5

在Rt4MND中,MN=\5,

MD_3

sin?DNM

~MN~5r

•M__D_MM3

**1——,

155

MD=9,

3ME

在Rf^MED中,sin?EDM-=---,

5MD

ME_3

"~9~~5

27

ME=—,

5

2721

..NG=MN-MG=MN-2ME=\5-2?——

55

NG=—

5

故答窠为：—.

【点睛】本遨考查了圆综合问题，同弧所对圆周角相等、构建合适的辅助线是解题的关键；熟练掌握相

似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、熟悉锐角三角函数解决直角三角形.

28.如图，抛物线x=o?+笈+。的图象经过A(—6,0),8(-2,0),C(0,6)三点，且一次函数

了=匕+6的图象经过点儿

(1)求抛物线和一次函数的解析式.

(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、。为顶点的四边形是正方形，且点E在点口的左

侧.这样的E，b两点是否存在？如果存在,请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请

说明理由.

(3)将抛物线x=a^+"+c图象向右平移8个单位长度得到抛物线力，此抛物线的图象与x轴交于

M,N两点(M点在N点左侧).点尸是抛物线当上的一个动点且在直线下方.已知点P的横坐标

为m.过点P作PD_LNC于点D.求加为何值时，。+1尸。有最大值，最大值是多少？

2

2

【答案】(1)yt=^x+4x+6,y=3x+6

(2)满足条件的E、尸两点存在,£,(-8,2),E2(4,-2),E3(-4,4)

(3)当机=»时，的最大值为您也

3224

【解析】

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

(2)①当8c为正方形的边长时，分别过3点C点作使E】B=E2B=BC,

CF[=CF2=