2021年北京各区中考一模分类汇编-18几何综合

初三一模几何综合分类整理

共5题(典型、倍长、标记猜、截长补短、无度数自己构造)

1.(2021•朝阳一模)如图，在等腰三角形A8c中，ZBAC<60°,AB=AC，。为8c

边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60。得到线段AE,连接BE交AD于点F。

(1)依题意补全图形；

(2)求NAFE的度数；

(3)用等式表示线段AF,BF,EF之间的数量关系，并证明。

2.(2021•通州一模)已知点P为线段A8上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60’,得

到线段4C；再将线段研终点B逆时针旋转120”,得到线段50；连接AO,取A。中点

M,连接

⑴如图1,当点尸在线段CM上时，求证：PM//BD-,

(2)如图2,当点尸不在线段CM上，写出线段与CM的数量关系与位置关系，并

证明.

3.（2021•燕山一模）如图，在正方形ABC。中，Q>3,P是CD边上一动点（不与。点

重合），连接AP,点。于点E关于AP所在的直线对称，连接AE,PE,延长C8到点凡

使得BF=DP,连接£尸，AF.

（1）依题意补全图形1;

（2）若£>P=1,求线段加'的长；

（3）当点P在CO边上运动时，能使aAEF为等腰三角形，直接写出此时△如/5的面积。

图1

4.（2021•石景山一模）在△ABC中，AB=AC,N8AC=a（（Tva<90）,点E是△ABC

内•初点，连接AE,CE,将△AEC绕点A顺时针旋转a，使AC边与AB重合，得到△AO8,

延长CE与射线8。交于点M（点M与点。不重合）。

（1）依题意补全图形1：

（2）探究与/AEM的数量关系为；

（3）如图2,若。E平分NAO8,用等式表示线段MC,AE,8。之间的数量关系，并证明。

图1图2

5.（2021•大兴一模）如图，等边AaBC中，点P是8c边上的一点，作点C关于直线AP

的对称点。，连接8,8D,作4£J_8D于点心

（1）若N%C=10°,依题意补全图形1,并直接写出N8CD的度数：

（2）如图2,若N/V1C=a（（y<a<30）,

求证：N8CD=/8AE：

用等式表示线段8D.CD,AE之间的线段关系并加以证明。

★K字图共2题

6.（2021•延庆一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点8、C重合），连接08,

DE,将。E绕点碘时针旋转90。得到EF,连接BF.

（1）如图I,点E在3c边上.

①依题意补全图1；

②若48=6,EC=2,求3户的长：

（2）如图2,点E在8c边的延长线上，用等式表示线段8nBE,8b之间的数量关

系，并证明.

图1

图2

7.(2021•房山一模)已知：在AABC中，4=45，ZABC=a,以8c为斜边作等腰

RtZ\8DC,使得4。两点在直线BC的同侧，过点。作D£_LA8于点£。

(1)如图1,当。二20、时，

求NCDE的度数：

判断线段AE与BE的数量关系；

(2)若45VI<90,线段与8E的数量关系是否保持不变？依题意补全图2,并证明。

★角含半角共1题

8.(2021•丰台・模)如图，在△ABC中，ZACB=90,CA=CB,点尸在线段A8上，

作射线CP(0°<NACP<45°),将射线CP绕点C逆时针旋转45°,得到射线CQ,过

点A作AO_LCP于点O,交CQ于点E,连接BE.

(1)依题意补全图形；

(2)用等式表示线段4短，DE,BE之间的数量关系，并证明.

A

9.(2021•门头沟一模)在正方形488中，将边AD绕点4逆时针旋转a((Tva＜90。)

得到线段4邑AE与CD延长线相交于点F,过8作8G〃“交CF于点G,连接8E.

(1)如图1,求证：NBGC=2ZAEB：

(2)当45。＜。＜90。时，依题意补全图2,用等式表示线段八从EF,DG之间的数量关系，

并证明.

10.12021•东城一模】已知NMAN=30。，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一

个动点(不与点48重合)，点P关于直线AN的对称点为点Q,连接4Q,8Q.点

A关于直线8Q的对称点为点C,连接PQ,CP.

(1)如图1,若点P为线段48的中点.

①直接写出NAQ8的度数：

②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；

(2)如图2,若线段CP与BQ交于点D.

①设/8QP=a,求NCPQ的大小(用含a的式子表示)：

②用等式表示线段DC,DQ,DP之间的数量关系，并证明.

N

图1图2

★猜造构全等共3题（标记的重要性）

11.（2021•西城一模）如图，在△ABC中，AB=AC,ZBA0900,。是△ABC内一点,

/AOGNBAC。过点B作BE〃C。交AO的延长线于点E。

（1）依题意补全图形：

（2）求证：NCAD=NABE；

（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CO相等的线段并加

以证明。

12.（2021・顺义一模）如图，等腰三角形ABC中，A£f=AC,CO_L48于点。，NA=a.

（1）求出NZJCB的大小（用含a的式子表示）：

（2）延长CD至点E,使CE=AC,连接AE并延长交CB的延长线于点F.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段E尸与之间的数量关系，并证明。

RC

13.（2021•海淀一模）如图，在△A8C中，AB=AC,ZE4C=40。，作射线CM,

4cM=80。.O在射线CM上，连接4拉，石是4）的中点，C关于点七的对称点为

尸，连接。尸.

（1）依题意补全图形：

（2）判断与"■的数量关系并证明：

（3）平面内一点G,使得QG=DC,FG=FB,求NCQG的值.

14.(2021•平谷一模)在AABC中，NACB=90°,AC=BC,。是直线A8上一点

(点D不与点A、B重合)，连接DC并延长到E,使得CEXD,过点E作瓦'_L直线BC,交

直线BC于点尸.

(1)如图L当点D为线段A8的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关

系，并证明：

(2)如图2,当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2,猜想线段EF、CF、

AC的数量关系是否发生改变，并证明：

A

一二

K

B

E

初三一模几何综合分类整理

共5题（典型、倍长、标记猜、截长补短、无度数自己构造）

1.（2021•朝阳一模）如图，在等腰三角形A8c中，ZBAC<60°,AB=AC,。为8c

边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60。得到线段AE,连接BE交AD于点F。

（1）依题意补全图形；

（2）求NAFE的度数；

（3）用等式表示线段AF,BF,EF之间的数量关系，并证明。

（1）解：依题意补全图形，如图.

2分

（2）解:

：,ZBAD=-ZBAC.

2

•・•线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,

：.AB=AE,ZG4f=60°.

ZABE=ZE.

在△ABE中，ZABE+ZE+ZBAC=1800-ZCA£=120°,

A-(N48E+NE+N8AC)=60°.

2

HPZABE+ZBAD=60°.

AZAFE=ZABE+ZBAD=60°...................4分

(3)AF+BF=EF.

【法1】

：,FM=AF.BDC

：,AF+BF=EF.6分

【法2】在EF上截取点M,使EM=8F,连接AM、CF

【法3】在DA的延长线上截取FM=EF,连接ME,在ME上截取MN=AM,连接AN

2.(2021•通州一模)己知点尸为线段上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60：,得

到线段AC；再将线段3尸终点B逆时针旋转120°,得到线段30；连接AO,取中点

M,连接

⑴如图1,当点P在线段CM上时，求证：PM//BD-,

(2)如图2,当点P不在线段CM上，写出线段与CM的数量关系与位置关系，并

证明.

c

c

.•.△APC为等边一角形

/.ZCPA=60

NAPW=1202分

又「ZABD=120°

/.PM||BD3分

Q）证法一:

延长AM至点尸，使得.MF=MB,连接AF,8C,尸C,PC

猜想：CM1MB,CM=6MB4分

证明:

AM=MD,FM=BM

二.四边形AFBD为平行四边形

AF=BD,AF\\BD

ZBAF=180-NABD=60"

ZC4F=120

是等边.角形,

AC=CP,NCPB=120°

\PB=DB=AF

:.^CAF=ACPB............................................................................................................6分

:.CF=CB,/1=N2

/.ZFCl?=60o

.♦.△CB”是等边三角形...............................................7分

又FM=BM

CM_LMB,CM=6MB............................................................................................8分

证法二：

正之j

':昱M；LAD%*^-

、,、A…田

':MN:CM

:、、也扑YNDC为平行

或4「加Ax〃DN

】、/8沙―Z.ND。5谿

'；t/pcDhLN」C"配'

，；分"二，。‘Ac=*P

12伙P彳匏L三房牛

:、LMp3K心"二片P

'：4外（P+2PCD-2NDQH|9

、'、℃P寸£六外:-M'

7AAyc;公N8PD=bS

:、z.gpcu4pD二%〜

:、p。〃触

鼠工”D：z^pc

:、CB»CHNDjH'

彳£BDZ二％t“pc.

''Bps）

/、A以PC幺AgDNCM）

八bc：e»N““"9

.：CM-/M/

，NaMC二汨Lgc—MBZ

二“那3BD

:、/那孑/少/二小"4）做

fa上N0c"psD二X>'

3幺MGC二Q

',；fgK二右

B丛

:、CAA一心8队

3.（2021•燕山一模）如图，在正方形48co中，CQ=3,P是CD边上一动点（不与。点

重合），连接AP,点。于点E关于AP所在的直线对称，连接AE,PE,延长C8到点凡

使得BF=DP,连接EF,AF.

（1）依题意补全图形1：

（2）若£>P=1,求线段加'的长；

（3）当点尸在CO边上运动时，能使△△£广为等腰三角形，直接写出此时△加;5的面积。

图1

.解：(1)补全图形如图1所示.--2分

(2)如图2,连接8P.

V点D与点E关于AP所在的直线对称，

：.AE=AD,ZPAD=ZPAE.

•••四边形A8CD是正方形，

：.AD=AB,ND=/48F=90°.

又•:DP=BF,：.△4DP经A4BF.------------3分

：.AF=AP,ZFAB=ZPAD.：.ZFAB=z：PAE.

/.NFAB+NBAE=NPAE+NBAE.:.ZFAE=ZPAB.

•••△"£丝△以8(SAS).-------------4分

:・EF=BP.

•/四边形ABCD是正方形，，BC=CD=AB=3.*：DP=1,，CP=2.

，在Rtm8cp中，8P=JCP?+巴。=屈EF=A.-5分

图2

（3）当点P在CD边上运动时，若使MEF为等腰三角形，则

2或2

△D4P的面积是247分

（3）问解题思路:1.因为4ABF为直角△,所以AF>AB,即AFAAE,只有AF=EF或AE=EF

时成立

2.用方程的思想求解:设DP=x，则PC=3-x,

1

:,EF=BP=麻第-助但二出例加

AF=AP=1、平二万科丽

①当AF二EF时，际砒;■

解得x=3/2即DP=3/2.•.SADAP=1/2XADXDP=1/2X3X3/2=9/4

②当AE=EF时，｛或者：,.，AE=AD=3,・归=3

解得x=3DP=3（即P与C重合）ASADAP=l/2XADXDP=l/2X3X3=9/2

2或2

综上，AOAP的面积是24

4.（2021•石景山一模）在△A3C中，4B=AC,N84C=a（0<a<90），点E是△ABC

内一动点，连接AE,CE,将△4EC绕点A顺时针旋转a，使AC边与AB重合，得到△AO3,

延长CE与射线8。交于点M（点M与点。不重合）。

（1）依题意补全图形1：

（2）探究NAOM与NAEM的数量关系为_______________*

（3）如图2,若DE平分乙4DB,用等式表示线段MC,AE,8。之间的数量关系，并证明。

AA

△/1

BCB

图1图2

.解：（1）补全图形如图所示（两种情况画出一种即可）............................2分

(2)=或NA/W+NA£A/=180°..........................................4分

(3)线段"C,AE,以＞之间的数量关系是：MC=AE+BD.................5分

证明：由作图可知ZVWD@AACE.

NADB=Z.AEC,AD=AE,BD=CE.

ZADM=ZAEM,

'：DE平分乙ADB,

：.ZADE=ZBDE.

E

BC

AD=AE,

：.ZADE=ZAED.

：./BDE=Z.AED.

AE//BM.

ZDAE=ZADM,ZAEM=ZM.

又•・,ZAEM=ZADMt

：.ZDAE=^AEM,ZADM=ZM.

/.OE=OAfOM=OD.

：.OE+OM=OA+OD.

：.EM=AD=AE,

MC=EM+CE,

：.MC=AE^BD^.............................7分

5.（2021•大兴一模）如图，等边8c中，点P是8c边上的一点，作点C关于直线AP

的对称点。，连接CD，BD,作4E_L8D于点£。

（1）若N%C=10°,依题意补全图形1,并直接写出NBCD的度数：

（2）如图2,若NP4C=a（（r<a<30）,

求证：NBCD=NBAE；

用等式表示线段8D,CD,4£之间的线段关系并加以证明。

解：（1）如图所示,

NBCD的度数是一20。

（2）法1：

①证明：如图，连接40.

根据题意，得：AP1CD.

*：Z.PAC=a,

；・NACD=90°-a

:△ABC是等边三角形，

:.NACB=60°.

:.NBCD=ZACD-ZACB

=90°-«-60°

=30°-a

X^AB=AC=AD,AE1BD,

:.ZBAE=^DAE=-ZBAD

2

=-(.ZBAC-ZCAD)

2

=-(60°-2a)

2

=30°-«

:・NBCD=NBAE

A

②用等式表示线段BQ,CD,AE之间的数量关系是AE=CD+』D

2

在AE上截取连接

’.'△4BC是等边三角形,

：.AB=AC.

又,：4BCD=/BAE,

，△助F@△BCD

:・NABF=NCBD,BF=BD.

；・NFBE=/ABC=60。.

:.EF=BFsin600=—BF=—BD.

22

：.AE=AF+EF=CD+—BD.

2

（2）@^2：

证明：如图

•・•点C,。是关于直线AP的对称点

:.AC=AD.

•••△ABC是等边三角形

:.AB=AC=BC=AD

:・B、D、。在以4为圆心的圆上

：.ZBCD=-NBA。

2

又•：AB=AD,AE±BDt

：.ZBAE=ZDAE=-ZBAD

2

:,NBCD=NBAE

②法2：

用等式表示线段BQ,CD,AE之间的数量关系是AE=CD+@BD

2

过点B作CD的垂线BF,交CD的延长线于点F,

A

:△ABC•是等边三角形，

・•・AB=BC.

\'AE±BD,BFVCF,

：.ZAEB=90°,ZCFB=90°,

:./AEB=NCFB

:・4ABE乌ACBF.

:・BE=BF,NABE=NCBF,AE=CF

即ZABC+NCBD=NCBD+/DBF

又,:ZABC=60°

；・NDBF=NABC=60。

在RsDB尸中，

,,.DF=ffDsin60°=—BD.

2

*：CF=CD+DF

：.CF=CD+—BD.

2

又*：CF=AE,

：.AE=CD+—BD.

2

★K字图共2题

6.（2021•延庆一模）在正方形45CQ中，点E在射线8c上（不与点8、C重合），连接08,

DE,将OE绕点E逆时针旋转90。得到EF,连接

（1）如图1,点E在边上.

①依题意补全图1：

②若A8=6,EC=2,求3尸的长：

（2）如图2,点E在8C边的延长线上，用等式表示线段8。，BE,8b之间的数量关

系，并证明.

答案.（1）①

2分

②解法一：作FMLCB延长线于M

・•・NFMB=9。。

•・•正方形A8CO

:.ZDCE=90°

VDE1EF

・•・/MEF+/DCE=9Q。

:./MEF=NEDC

VZDCE=ZFMB=90°,EF=DE

•'.△FEM经AEOC

：.EC-FM-2,DC-ME-h

：.MB=2

,RtZXFWB中,BF=2五..........4分

(2)解法一：42BE=BD+BF..........5分

证明：作FM_LCB于M

可证△FEMdEDC

:.CE=MF,ME=DC

：,ME=BC

：,BM=CE=MF

在R〔ABMF和RIA88中，由勾股定理得

BC=隈,CE=BM=^

〈BE=BC+CE

'BE=，瑶

Z.V2FE=BD+BF7分

②、解法二：在CD上截取CG=CE=2,则在RtZXECG中，GE=2>/2.

•・•正方形ABC。

ZDCE=90°,ZGDE+ZDEC=90°

'：DELEF

:.NBEF+NDEC=90°

•・•正方形ABCD

ABC=CD

・・.BCCE=CD・CG,即BE=GD

♦:EF=DE

:・AFEg&EDG

:,BF=GE

:.BF=2V2

解法三：以点E为圆心,EB长为半径画弧，交BD于

点G,过点G作GH±CD于点H,则EG=EB、△GHD为等腰

直角三角形。

V正方形ABCD

・•・ZDBE=ZBGE=45°,ZGEB=90°,ZWCE=90°

*：DHLCD

ZGHC=90°

••・四边形ECHG为矩形

.,.CE=GH=2,DG=2V2,ZGEB=90°

'：DELEF

:./£＞七户=90。

AZDEF-ZGEF=ZGEB-,ZGEF,即NOEG=NFEB

VDE=FE,GE=BE,

AAFEB^ADEG

:.BF=GD=2V2

(2)解法二：yp2,BE=BD+BF

证明：连接DE,过点E作CE的垂线交BD延长线于

的延长线于点G

可证△GDE^ABFE

：.BF=DG,BE=GE

在RS8EG中，由勾股定理得：

>[2BE=BG

■:BG=BD+DG

/.V2BF=BD+BF

4G

7.（2021•房山一模）已知：在△48C中，ZA=45\ZABC=a,以8c为斜边作等腰

RtABDC,使得4。两点在直线8c的同侧，过点。作。£_LA8于点品

（1）如图1,当。二20、时，

求NCDE的度数：

判断线段AE与BE的数量关系；

（3）若45°<1<90‘，线段AE与8E的数量关系是否保持不变？依题意补全图2,并

证明。

解（1）♦.•△BDC是等腰直角三角形/BDC=45。ZCDB=90°

ZABC=a=20°/.ZABD=25°

VDE±ABZBDE=90°-ZABD=65°,

•・•ZCDB=90°,.\ZCDE=90°-ZBDE=25°

⑵AE=BE

证法（一）如图1延长DE,与AC的延长线交于点F,过点C作CG1DF于G

DE1AB,ZA=45°「.ZF=ZA=45°,AE=FE丁CG//AEZFCG=45°=ZF.\CG=FG

•••△BDC是等腰直角三角形，DC=DB,Z2+Z3=9O°-Z1+Z3=9O°/.Z1=Z2

在ADCG和ABDE中，由于NCGD=NDEB=90°Z2=Z1,DC=DBADCG=ABDE

CG=DE=FG,DG=BE/.FE=DG/.AE=BE

证法（二）作CG1AB于G,过D点作DF_LCG交CG的延长线于F,

VZEGF=ZF=ZGED=900/.四边形GFDE是矩形

•/ABDC是等腰直角三角形DC=DB

.,.ZCDB=ZCGH=90°

ZCHG=ZDHBZ1=Z3

在ACFD和ABED中VZ1=Z3,ZF=ZDEB=90°DC=DB

.,.△CF3ABED/.CF=BEDF=DE矩形GFDE是正方形

GE=GFZA=45°CG±ABZACG=ZA=45°AG=CG

AG+GE=CG+FG/.AE=CF=BEAE=BE

证法（三）取BC的中点F,连接DF交AB于H,在AB上截取BG=DE

•「ABDC是等腰直角三角形/.DF1BCDF=-BC=BF

2

•/ZDEH=ZBFH=90°,ZEHD=ZFHBZEDF=ZGBF

在ADEF和ABGF中VDE=BG，ZEDF=ZGBF，DF=BF

/.ADEF^ABGFFE=FGZEFD=ZGFB

•••ZDEB=90°ZEFG=90°,/.ZFEH=45°

BFBE

•••ZA=45°/.ZA=ZFEBEF//AC/.=1/.AE=BE

证法（一）过点C作CG1DE,交ED的延长线于G,EG交AC于H

•••ABDC是等腰三角形，DC=DB,ZCDB=90°

故NCDG+/BDE=90°

•••DEIAB/.ZDBE+ZBDE=90°/.ZCDG=ZBDE

在ACDG、M>BE中，由于ZCDG=ZBDE,ZCGD=ZBED=90°DC=DB

/.ACGDSADEB从而DG=BE,CG=DE

•/ZA=45°,GE1ABZAHE=ZA=45°AE=HE

.-.ZCHG=ZAHE=45°=ZGCHGH=GC=ED/.GD=EH.\AE=BE

证法（二）：作CF_LAB于F,由法一得ACGD=ADEB/.CG=DE,DG=BE

设CG=m=DE,DG=n=BE•；ZCGE=ZGEB=ZCFE=90°

二.矩形GEFC,CF=GE=m+nEF=CG=m,

•.•NA=45°CF±AB

ZACF=ZA=45°,AF=CF=m+n,BF=BE-EF=n-m

/.AB=AF+BF=m+n+n-m=2nAE=AB-BE=2n-n=n故有AE=BE

证法（三）：过点C作CF1AB于F,过点D作DMXCF于M

•/DE1ABZDEF=ZEFM=ZDHF=90°四边形DEFM是矩形NEDM=90°

•••ABDC是等腰直角三角形CD=BDZCDB=90°ZCDM=ZBDE

在ACDM和ABDE中，ZDMC=ZDEB=90°ZCDM=ZBDECD=BD

ACDM^ABDE/.CM=BEDM=DE/.矩形DEFM是正方形MF=EF

•••ZA=45°CF1AB/.ZACF=ZA=45°/.AF=CFVAE=CM=BEAE=BE

证法（四）以点D为圆心，DC长为半径作圆D

•••△BDC是等腰直角三角形

/.DC=DB・ZCDB=90°/.点B在圆D上

假设点A在圆D内，延长BA交圆D于A',

连接CA',VZCAzB=-ZBDC=45°

2

NBAC=/BA'C+NA'CA=45。故A与A'重合，点A在圆D上：

同理，点A也不能在圆D外，..DA=DB♦/DE1AB/.AE=BE

证法（五）

取BC中点F,连接DF、EF,在AB延长线上截取BG=DE,连接FG.

•••ABDC是等腰直角三角形，?.DF1BC,DF=-BC=BF

2

•/DE1AB,/.ZDEB=90°,ZDEB+ZDFB=180°

•••ZEDF+ZEBF=180°ZFBG+ZEBF=180°/.ZEDF=ZGBF

在AEDF和AGBF中，

•/DE=BG,ZEDF=ZGBF,DF=BF/.AEDFsAGBF

EF=GF,ZDFE=ZBFG

•••ZDFB=90°ZEFG=90°/.ZFEG=45°

AECF

•••ZA=45°「.ZA=ZFEGEF//AC—=一=1/.AE=BE

BEBF

★角含半角共1题

8.(2021•丰台一模)如图，在AABC中，Z4CB=90,CA=CB,点P在线段A8上，

作射线CP(0°<NACP<45°),将射线CP绕点。逆时针旋转45°,得到射线C。，过

点A作ADLCP于点D,交CQ于点E,连接BE.

(1)依题意补全图形：

(2)用等式表示线段4。，DE,BE之间的数量关系，并证明.

解：(1)如图所示:

。

(2)AD+BE=DE.

法1：证明：延长D4至凡使DF=DE,连接CE

,：AD1CP,DF=DE,

:.CE=CF,

:.ZDCF=ZDCE=45°,

•:/A013=900,

:./ACD+/EC8=45。,

,/ZDCA+ZACF=ZDCF=45°,

：,ZFCA=ZECB.

在△AC尸和△BCE中，

CA=CB

NACF=NBCE

CF=CE

:.XACF94BCE.

:.AF=BE,

:・AD+BE=DE.

法2：证明：在。E上截取。凡使得。尸=40,连接CE

VAD±CP,DF=AD,

：.CA=CF,4ACD=4FCD

*：CA=CB,

:,CF=CB

VZACS=90°,ZDCE=45°,

；・NACD+NECB=45。,NFCD+NFCE=45。,

：,NFCE=NECB

在△尸。石和4BCE中，

CF=CB

<Z.FCE=/BCE

CE=CE

.,.△FCF^ABCE.

：.FE=BE,

：.AD+BE=DF+FE=DE.

9.(2021•门头沟一模)在正方形488中，将边AD绕点4逆时针旋转。(0。＜々＜90。)

得到线段4邑AE与CD延长线相交于点F,过B作BG〃AF交CF于点G,连接8E.

(1)如图1,求证：NBGC=2ZAEB：

(2)当45。＜。＜90。时，依题意补全图2,用等式表示线段八”，EF,DG之间的数量关系，

并证明.

(1)证明：；四边形A8CD是正方形,

：.AB//CD,

；./ABG=/BGC...............................1分

\'BG//AF,AB=AD=AE,

ZAEB=ZGBE,ZAEB=ZABE,..............................2分

/.N48G=2NG8E,

；・N8GC=2/G8E...............................3分

(2)依题意补全图形，线段AH,EF,DG之间的数量关系是£F=AH+DG.A

证法一:在DC上截取CM=AH,连接AM交8E与N...............................4分图1

*：AD=AB,ZADM=ZBAH=90°,DM=AH,

AZ1=Z2.

VZl+Z3=ZflAH=9O%..............................5分

••・N3+N2=9O°,即NAN8=90°,

又HE=48,

:・/BAM=NEAM.

'：BG//AF,

，ZBAM=ZAMFt

：.ZEAM=^AMF,..........

：.FM=AF.

'：BG//AF,AB//CD,

：.FG=AB=AE.

：.EF=GM,HPEF=AH+DG.

江区二：

於八戢能治娱上衣和CM二M造就8M.

、、皿也对用（D2上方庄）

1*B二2c-CO2P幅匕/舟gG=22《D二”'

MflCDAR"BC

:、△入HB沙虹M”和）

M，七二41二〃f

V4D”BJ

：、46二工7BC

14f二/HBJ

T解"8,

:、力E二AU二8

>\，『人工

、:3a〃杆

M么工人，

“七1二上，凶

\f攸二幺夕，

M二乙升十/。/;2口岐状

''GB;&伙

、、'B6〃升下•#g〃3

:、3口可力夕々产为平行曾比另

:'Af二%

】、AF=&M

八月正丁七产：：4）〉十“十"

'：科二-3二”前二。小

：、EF二6rD"MH

10.[2021•东城一模】已知//VMN=30。，点8为边AM上一个定点，点P为线段48上一

个动点（不与点A,8重合），点P关于直线AN的对称点为点Q,连接AQ,8Q,点八关

于直线8。的对称点为点C,连接PQ,CP.

⑴如图1,若点P为线段A8的中点.

①直接写出NAQ8的度数：

②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系;

（2）如图2,若线段CP与8Q交于点。.

①设/胆。=/求NCPQ的大小（用含a的式子表示）；

②用等式表示线段DC,DQ,DP之间的数量关系，并证明.

(1)解：①/4。8=90°；

②补全图形，如图1,CP三退AP.

3分

（2）①解：如图2,连接ca,

•••点。，点Q关于直线/A/对称，点4点。关于直线8Q对称,

/.AP=AQ=CQ,/PAN=NQAN,Z.CQB=ZAQB.

•.•NMAN=3O。，

NP4Q=60°.

・•・△/PQ为等边三角形.

ZAQP=6O°,PQ=AQ.

CQ^PQ.

LC-LCPQ.

MBPA

\^BQP=ay

:.ZCQB=600+a.

:.NCQP=60。+2a.

/.ZCPQ=600-a...........................................................5分

②结论:DC=DP+DQ.

【法i】证明「.NCDQ=NCPQ+NBQR

/.ZC£>e=60°.

在。。上截取。£=OQ连接£Q

为等边三角形.

:.QE;QD.

NDEQ=NEDQ=60。.

/.ZCE0=ZPD0=120°.

•;/C=/CPQ,CQ=PQ,

AC^G^APDC(AAS).

:.EC=DP.

..DC=EC+DE=DP+DQ............................................7分

【法2】

MBPA

★猜造构全等共3题（标记的重要性）

11.（2021•西城一模）如图，在△ABC中，AB=AC,N8AC90。，。是△ABC内一点，

ZADC=ZBAC,过点B作BE〃CO交AO的延长线于点反

（1）依题意补全图形；

（2）求证：ZCAD=ZABE；

（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CO相等的线段并加

以证明。

图解（略解）：

（1）问

截取BG=A£>,黄绿△8G£>二粉红△AOC（SAS）：

设NA8G=N/UX?=a;N84G=NACD=〃，贝ljNAGE=a+/;NCDE=a+/7（三角形外角

等于不相邻内角和）：

BE//CD=>ZCDE=ZAEG=a+fi（两直线平行，内错角相等）

根CD=AG=AE

标准答案（详解）：

27.（本小题满分7分）

（1）解：补全图形如图6所示.

(2)证明：如图7,延长BE至点F.

'：BE//CD,点尸在班■的延长线上，

:.Z/IDC=Z1.

VZADC=ZBAC,\X.

:.Z1-Z5/4C.

V/1是△/6£的外角，

・*.Z\=ZABE+ZBAE.学……声

:.ZABE=Z\-ZBAE.

,图7

又丁ZCAD-ZBAC-Z.BAE,

：.NCAD=ZABE.......................................................................................3分

(3)AE...............................................................................................................................4分

证明：如图8,延长8E至点兄在8f•上极取8G=/。，连接4G.

由(2)得//8G=/C4。.

.*.4GE=N2.

:.AE=AG.

AECD.

12.（2021・顺义一模）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,CO_LA3于点O,ZA=a.

（1）求出NQCB的大小（用含a的式子表示）；

（2）延长8至点E,使CE=AC,连接AE并延长交CB的延长线于点E

①依题意补全图形；

②用等式表示线段EF与8c之间的数量关系，并证明。

A

(1)解：'：AB=AC,