2023年湖北省鄂州市中考数学真题 解析版

鄂州市2023年初中学业水平考试

数学试题

学校：考生姓名：准考证号：

注意事项：

1.本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.

2.答题前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将

准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上无效.

4.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域

内.答在试卷上无效.

5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上

交.

•祝考试顺利・

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）

1.10的相反数是（）

A.-10B.10C.-----D.—

1010

2.下列运算正确的是（）

A.a2+ay=a5B.a1-o'=.a5C.a2-i-ay=a5D.（a2）=a5

3,中华蛹是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有1400（X）000年的历史，是国家一

级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种，3月28日是中华鲍保护日，有关

部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充.将140000000用

科学记数法表示应为（）

A.14xl07B.14x1（/C.0.14xl09D.1.4xl09

4.下列立体图形中，主视图是圆的是（）

5.如图，直线ABCD,GE上EF于点、E.若"GE=60°,则上E&）的度数是（)

G

AB

C——/-----------------D

F

A.60°B.30°C.40°D.70°

6.已知不等式组［一：＞；的解集是Tvxvl,则（4+嫩阳=（）

x+\＜b、J

A.0B.-1C.1D.2023

7.象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图所示是某次对弈的残图，如果建立

平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”

和“马''所在的点的一次函数解析式为（）

A.y=x+}B.y=x-\C.y=2x+\D.y=2x-\

8.如图，在《：1ABe中，ZABC=90°,NACB=30°,A8=4,点。为BC的中点，以0

为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点。，则图中阴影部分的面积是（）

C.5>/5-2%D.10石一2几

9.如图，已知抛物线丁=0?+以+4。工0）的对称轴是直线工=1,且过点（TO）,顶点

在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①而＜0；②4a+2b+c＞0；③

3a+c＞0；④若人（大,），1）,8（玉,％）（其中X＜工2）是抛物线上的两点，且为+与＞2,

则方＞为，其中正确的选项是（）

试卷第2页，共8页

A.①②③B.①C.@@®D.①②④

10.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，04=08=3右，点C为平面内一动点，

3

BC=Q,连接AC,点M是线段AC上的一点，且满足CM:M4=1:2.当线段QM取

最大值时，点M的坐标是（）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）

11.计算：716=

12.为了加强中学生“五项管理”，葛洪学校就“作业管理”、“睡眠管理”、“手机管理”、“读

物管理，，、“体质管理，，五个方面对各班进行考核打分（各项满分均为100）,九（1）班的

五项得分依次为95,90,85,90,92,则这组数据的众数是.

13.实数如〃分别满足加2_3m-2=0,〃2-3〃+2=0,且〃?工〃，则'+'的值是.

mn

14.如图，在平面直角坐标系中，ABC与与G位似，原点O是位似中心，且

=若A（9,3）,则A点的坐标是

15.如图，在平面直角坐标系中，直线y=々然+力与双曲线必=占■（其中KM2,O）相

X

交于A（-2,3）,B（〃L2）两点，过点B作8P〃x轴，交），轴于点P,则-ABP的面积

是_________

16.2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大

聚会.这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之

为“赵爽弦图如图，用四个全等的宜角三角形

（Rt^AHB^Rt^BEC^Rt/\CFD^Rt/\DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形A8CZ）与

正方形E尸GH,连接AC和EG,AC与。/、EG、6〃分别相交丁点尸、。、Q,若

三、解答题（本大题共8小题，17~21题每题8分，22~23每题1（）分，24

题12分，共计72分）

17.先化简，再求值：士-下二，其中。=2.

a（r-\

18.如图，点E是矩形48co的边BC上的一点，且

⑴尺规作图（请用2B铅笔）：作一D4E的平分线AF,交BC的延长线于点产，连接

（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）试判断四边形AE/%）的形状，并说明理由.

19.为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九

（1）班团支部组织了一次手抄报比赛.该班每位同学从A.“北斗卫星”；8.“5G时代”；

试卷第4页，共8页

C“东风快递”；D“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题.统计同学们所选

主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)九(1)班共有名学生；

(2)补全折线统计图；

(3)。所对应扇形圆心角的大小为；

(4)小明和小丽从A、B、C、。四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方

法求出他们选择相同主题的概率.

20.鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，

深受全国各地旅游爱好者的青睐.今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活

动.如图2,景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处,

挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部尸点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底

端A点，在A点用仪器测得条幅下端石的仰角为30。；接着他沿自动扶梯到达扶梯

4

顶端。点，测得点4和点。的水平距离为15米，且tanNZM3=5；然后他从。点又

沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45。.(图上各点均

在同一个平面内，且G,C,B共线，尸,A,8共线，G、E、尸共线，CD//AB,GF1FB).

(1)求自动扶梯4。的长度；

⑵求大型条幅GE的长度.(结果保留根号)

21.1号探测气球从海拔10m处出发，以Im/min的速度竖直上升.与此同时，2号探测

气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升.两个气球都上升了lh.1号、2

号气球所在位置的海拔片，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如

（2）请分别求出X，%与x的函数关系式；

（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m?

22.如图，A5为。O的直径，E为。。上一点，点C为M的中点，过点C作CO_LAE,

交AE的延长线于点O,延长0c交A8的延长线于点F.

（2）若DE=1,DC=2t求。。的半径长.

23.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究丁二加（。＞0）型抛物线图象.发现：

如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点产的距离PF,始终等于它到定直

线/：y=-上的距离PN（该结论不需要证明）.他们称：定点尸为图象的焦点，定直

线/为图象的准线，y=-I"叫做抛物线的准线方程.准线/与），轴的交点为H.其中原

4a

点。为我的中点，FH=2OF=^~.例如，抛物线y=2f,其焦点坐标为尸（（）,：］,

2aI8）

准线方程为/：y=-L其中PF=PN,FH=2OF=\.

84

试卷第6页，共8页

【基础训练】

⑴请分别直接写出抛物线y=的焦点坐标和准线，的方程：___________,

4

【技能训练】

⑵如图2,已知抛物线y="/上一点2小，为）（%＞（））到焦点户的距离是它到工轴距

离的3倍，求点尸的坐标；

【能力提升】

⑶如图3,已知抛物线y=:/的焦点为凡准线方程为/.直线在交），轴

于点C,抛物线上动点P到x轴的距离为4,到直线m的距离为4.请直接写出4+%

的最小值；

【拓展延伸】

该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线＞=欧2（々＞0）平移至，=。（*-加）2+左（。＞0）.抛

物线产a（xi）2+Ma＞0）内有一定点户（九攵+今），直线/过点/（力，&-圭）且与X轴平

行.当动点尸在该抛物线上运动时，点P到直线/的距离W始终等于点尸到点尸的距

离（该结论不需要证明）.例如：抛物线y=2（x-1）?+3上的动点尸到点尸高的距

23

离等于点P到直线/：y=胃的距离.

O

请阅读上面的材料，探究下题：

（4）如图4,点。（-1?）是第二象限内一定点，点P是抛物线y=7上一动点，当

尸O+PZ）取最小值时，请求出户8的面积.

24.如图1,在平面直角坐标系中，直线/，），轴，交），轴的正半轴于点A,且。1=2,

点B是），轴右侧直线/上的一动点，连接。8.

(1)请直接写出点A的坐标；

(2)如图2,若动点5满足/45。=30。，点C为A8的中点，。点为线段。8上一动点,

连接CO.在平面内，将△8CZ)沿CO翻折，点4的时应点为点P,CP与05相交于点

Q,当CPJ■人4时，求线段OQ的长；

4»

(3)如图3,若动点8满足==2,七户为.048的中位线，将历绕点B在平面内逆

OA

时针旋转，当点0、E、F三点共线时，求直线£8与x轴交点的坐标；

(4)如图4,OC平分ZAQ8交Ab丁点C,AD工OB丁点D,交OC丁点E,AF为

△4EC的一条中线.设△Ab,eODE,-QAC的周长分别为C1,C2,C3.试探究：

2c+c11

在8点的运动过程中，当一^=不时，请直接写出点B的坐标.

C3U

试卷第8页，共8页

I.A

【分析】根据相反数的定义直接求解.

【详解】解：10的相反数是一10.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答本题的关键.

2.B

【分析】根据同底数幕的加法，同底数累的乘除法，塞的乘方这些公式进行运算即可.

【详解】A选项，/和，不是同类项，不能合并，故不符合题意；

B选项，a2=as»正确，故符合题意；

C选项，不正确，故不符合题意：

D选项，(a?)'=46,不正确，故不符合题意.

故选：B

【点睛】本题考查整式的运算，属于基础题，熟练掌握同底数幕的加法，同底数鞋的乘除法，

幕的乘方这些运算法则是解题的关键.

3.B

【分析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中1＜忖＜10，〃为整数.确定〃的值

时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值V1时，〃是负数.

【详解】解：140000000=1.4x10'

故选B.

【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握科学记数法的表示方法是解

题的关键.

4.D

【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论.

【详解】解：棱柱的主视图是矩形(中间只有一条线段)，不符合题意；

圆柱的主视图是矩形，不符合题意；

圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意：

球体的主视图是圆，符合题意；

故选：D.

答案第1页，共24页

【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

5.B

【分析［延长GE,与DC交于点M,根据平行线的性质，求出NRI症的度数，再直角三

角形的两锐角互余即可求出ZEFD.

【详解】解：延长GE,与OC交于点M,

,:ABCD,NBGE=60。，

，NFME=NBGE=S。,

'：GE\EF.

，NE田二90。-60。=30。，

故选：B.

【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的

性质是解题的关键.

6.B

【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得2+a<xvb-l,再结合已知可得

2+a=-l,b-\=\,然后进行计算可求出6的值，最后代入式子中进行计算即可解答.

x-a>2®

【详解】解:

x+l<噫

解不等式①得：x>2+a,

解不等式②得：x<b-1.

・••原不等式组的解集为：2+a<x<6-1,

•・•不等式组的解集是-Ivxvl,

2+«=—1»b-l=l,

/.a=—3,b=2,

・・.(》严=(-3+2产=(-1产=T,

故选：B.

【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关

答案第2页，共24页

键.

7.A

【分析1利用待定系数法求解一次函数即可得解.

【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得“马''所在的点(1,2),

设经过棋了“帅”和“马''所在的点的•次函数解析式为y=6+6(左中0)，

•••尸奴+》过点(-2-1)和(1,2),

j2=2+b

*-[\=-2k+b，

k=1

解得L」

b=l

・••经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为y=x+i,

故选A.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键.

8.C

【分析】连接。。，BD,作0H1.CD交CD于点H,首先根据勾股定理求出8c的长度，

然后利用解直角三角形求出8。、CO的长度，进而得到，08。是等边三角形，/8。。=60。，

然后根据30。角直角三角形的性质求出。”的长度，最后根据超膨=5.皿,-50“-5扇形”8进

行计算即可.

【详解】解：如图所示，连接0。，BD,作交8于点”

答案第3页，共24页

•・•在金C中，ZA^C=90°,4c8=30。,AB=4,

AB

BC=

tanZACB二,*海

3

丁点。为BC的中点，以。为圆心，08长为半径作半圆,

・•・8c是半圆的直径,

工ZCDB=90°,

,:4cB=30。，

・•・BD=^BC=2y/3,CD=BCcos/BCD=4氐等=6,

又,：OB=OC=OD=>BC=26

2

：・OB=OD=BD,

・•・。比）是等边三角形,

/.N3OQ=60。，

•：OH工CD,NOC〃=30。，

：・OH=、OC=6

2

•]r1r60〃X（2@2

••S明彬=SMCB-SACOD-S/形ODB=-X4X4V3--XV3X6----------二5百一2万•

4Z3oU

故选：c.

【点睛】本题考查了30。角宜角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，

扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

9.D

【分析】根据二次函数的性质可得。＜0,b=-2a,b＞0,可判断结论①；由x=2处的函数

值可判断结论②；由户-1处函数值可判断结论③；根据％+占＞2得到点A（x”y）到对称轴

的距离小于点8（电,%）到对称轴的距离可判断结论④.

答案第4页，共24页

【详解】解：二次函数开口向下，则〃<0,

二次函数对称轴为x=l,则一与=1,b--2a,。>0,

2a

：.cib<0,故①正确；

•・•过点(TO),

・••由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为(3,0),

由函数图象可得x=2时y>0,

4a+2b+c>0,故②正确；

••x=-l时y=0,

:.a-b+c=O,

人=一2々代入得：3a+c=0,故③错误；

•・•对称轴是直线x=l,

・,•若％广=1,即占+/=2时，=y2,

工当菁+々>2时，

点到对称轴的距离小于点8(松必)到对称轴的距离

•・,二次函数开口向下

・・・y>%，故④正确.

综上所述，正确的选项是①@④.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关

键.

10.D

【分析】由题意可得点C在以点3为圆心，!•为半径的08上，在x粕的负半轴上取点

。卜.‘°)，连接8。，分别过C、M作ME10A,垂足为尸、E,先证

,OAM^DAC,得缥=g=g,从而当CD取得最大值时，QM取得最大值，结合图形

CDADj

可知当。，B,C三点共线，且点8在线段OC上时，6取得最大值，然后分别证

BDO^CDF,：,AEM^AFC,利用相似三角形的性质即可求解.

答案第5页，共24页

3

【详解】解：•・•点。为平面内一动点，BC=1,

，点C在以点B为圆心，，为半径的08上,

在4轴的负半轴上取点。,连接8。，分别过C、M作C尸J.Q4,ME10A,垂

：.AD=OD+OA=^-

2t

.0A2

••~~,

AD3

•・・CM:M4=1:2,

.0A_2CM

，，~AD~3~~AC，

•・・/Q4M=/D4C,

/.^OAM^DAC,

•.•-O-M-=-O--A=—2,

CDAD3

・••当CO取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当Q,B,C三点共线，且点8在

线段OC上时，CO取得最大值，

,•"=08=3⑸OD;空,

2

・•・BD=>/OB2+OD2=出不『+

：.CD=BC+8D=9,

・・OM2

.-----=—,

CD3

,OM=6,

答案第6页，共24页

•・•)'轴lx轴，CFLOA,

...NDOB=NDFC=90°,

,:NBDO=NCDF,

：.BDO^-CDF,

，经=空即3AJ

CFCD—=^

解得。尸=竺正，

5

同理可得，AEM^^AFC,

ME2

.MEAM2r-="

：・FT=-T7r=：7H即n1863,

CFAC3

5

解得ME=2近,

5

6x/5

—

点M的坐标是（竿，竽）

••・当线段OM取最大值时,

故选D.

【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图

形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键.

II.4

【分析】根据算术平方根的概念求解即可.算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根,

即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果.

【详解】解：原式="=4.

故答案为4.

【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与立方根的概念混淆而导

致错误.

12.90

【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据.

【详解】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中90出现2次，出现的次

数最多，故这组数据的众数为90.

答案第7页，共24页

故答案为：90.

【点暗】木题考查了众数，众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，注意：在一组数据

中，众数可能不止一个.

【分析】直接利用根与系数的关系进行求解即可.

【详解】解：由题可知，m和〃是f一3%+2=0的两个根，

所以/»+刀=3,wvi=2,

11m+n3

所以一+—=----=-；

mnmn2

3

故答案为：

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握•，若一元二次方程

0^+云+£=0（。/0）的两个根分别为内和12，则为+9=-，，百•七=5”.

14.（3,1）

【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长.

【详解】解：设4（八〃）

・「与△ABC位似，原点0是位似中心，且7V3.若A（9,3）,

3

・••位似比为

.9333

>•—=一,—=一

m\n\

解得加=3,/1=1,

・•・A。/）

故答案为：（3,1）

【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键.

2

【分析】把A（-2,3）代入到可求得心的值，再把3（/几-2）代入双曲线函数的表达式中,

可求得力的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可.

【详解】•・•直线与双曲线月=§（其中匕化工。）相交于A（—2,3）,B（〃?,—2）两

答案第8页，共24页

点，

k2=-2x3=-2m

/.k2--6»〃i=3,

・・・双曲线的表达式为：％=-：，B(3,-2),

;过点8作8P〃x轴，交N轴于点P,

・•・8尸=3,

•*,S.ABP=]x3x(3+2)=5>

故答案为£.

【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比

例函数图象上点的坐标特征，三角形的血积，数形结合是解答此题的关键.

10.——

3

【分析】设EC=x(x>。)，£。=2々(。>0),则班：=%,证明AA"Q-CEQ,利用相似三

角形的性质求出EC=8〃=&可得Q"=〃，EH=3a,利用勾股定理求出8c和AQ,进

而可得。。的长，再证明AQEOMPGO(SAS),可得O尸=。。=萼.，然后根据正方形的

性质求出0E,即可得出答案.

【详解】解：设EC=x(x>0)，EQ=2a(a>0),则无=%，

VZAHQ=ZCEQ=90°fZAQH=NCQE,

A^AHQ、CEQ,

.QHAH

''~QE~^EC'

VRtBEC,

»•AH=BE=3a,BH=EC=x,

/.QH=BH-BE-EQ=x-5a,

.x-5a3a

••-----=一，

2ax

整理得：x2-5ax-6a~=0»

解得：x1=6a,x2=-a(舍去)，

^EC=BH=6a,

答案第9页，共24页

:,QH=a,EH=3a,

・•・BC=JBE?+VC?=3&，AQ=JA，2+Q〃‘=Ma，

，AC=y/2BC=3y/10a,

.…1_3M

••OA=—AC=------a

22

，OQ=OA-AQ=^-a，

•・•四边形"EPG是正方形，

:・NQEO=NPGO,OE=OG,

XV4QOE=NPOG,

工一QEOMA尸GO(SAS),

，OP=OQ=—a,

2

又＜EG=0EH=3近a，

,八71”3&

•・OE=—EG=-----a,

22

M

.0P_万&_亚

,,OE"3^""T，

-----a

2

故答案为：垦

3

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判

定和性质，解一元二次方程以及二次根式的混合运算等知识，证明二力"Q—CEQ,求出EC

的长是解题的关键.

17.-L,1

。+13

【分析】根据题意，先进行同分母分式加减运算，再将。=2代入即H得解.

【详解】解：原式二三一上

a-1a-1

a-1

(a-l)(a+l)

1

=---,

a+\

当a=2时，原式=9j=g.

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减，约分等相关计算法则是解

答案第10页，共24页

决本题的关键.

18.(1)见解析

(2)四边形Aan是菱形，理由见解析

【分析】(1)根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；

(2)根据矩形的性质和平行线的性质得出万=44/话，结合角平分线的定义可得

NEE4=NE4/，则=E尸，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论.

理由：•・•矩形A8C。中，AD//BC,

/.ZDAF=ZAFE,

丁AF平分/7ME,

:.ZDAF=ZEAF,

：.ZEFA=ZEAF,

：-AE=EF,

AE=AD,

；・AD=EF,

'：AD//EF,

，四边形4?尸。是平行四边形，

又＜AE=AD,

・•・平行四边形A瓦曾是菱形.

【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，

平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键.

19.(1)50；(2)见解析；(3)108。；(4)-

4

【分析】(1)用B组频数除以所占百分比即可求解；

(2)用50减去4、B、。组频数，求出。组频数，即可补全折线统计图；

答案第11页，共24页

（3）用360。乘以。组所占百分比即可求解；

（4）列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解.

【详解】（1）20^40%=50（人），

故答案为：50；

（2）50-10-20-5=15（人），

补全折线统计图如图：

50

故答案为：108。：

（4）列表如下：

/

明

ABCD

/

丽

A(AA)(BA)(CM)

B(A6)(a8)(C8)08)

C(AC)(BQ(c©(RO

D（A。）(B,D)(C,0

由列表可知，一共有16种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有4种，

所以P（相同主题）=94；I

164

【点睛】本题考查了折线统计图与扇形统计图，求概率等知识，理解两幅统计图提供的公共

答案第12页，共24页

信息是解题第（1）（2）（3）步关健，列表得出所有等可能的结果是解题第（4）步关键.

20.⑴25米

（2）（110706）米

4DM4

【分析】（1）过。作于例，由tan/D48=；可得妥=；,求出的长，利用

3AM3

勾股定理即可求解；

（2）过点。作。N_LGE于N,则四边形DMEV是矩形，得NF=DM,DN=FM,由已

知计算得出CN的长度，解直角三角形得出GN的长度，在RtJE尸中求得EF的长度，利用

线段的和差，即可解决问题.

【详解】（1）解：过。作于"，如图：

在中，tanZDAA/=——=一，

AM3

;AM=15（米），

・・・QM=20（米），

由勾股定理得力。=y/AM2+DM2=X/152+202=25（米）

（2）如图，过点。作ON_LGE于N,

VDMJ.AB,NGF8=90°

・•・四边形是矩形，

JM=0M=20（米），DN=FM=AF+AM=30+\5=45（米）,

由题意，CN=CD+£W=45+45=90（米），

ZDCG=45°,

答案第13页，共24页

/.tanZGCA^=l=—

CN

・・・GN=90（米），G/=GN+N/=90+20=110（米），

由题意，ZE4F=30°,4产=30（米），

・♦也EF

••tanZ.EAF=—=-----，

3AF

・・・斯=106（米），

・•・GE=GF-EF=（110-10V3）米

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、勾股定理、矩形的判定与性质等

知识，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

21.⑴30

（2）Ji=X+10,y2=^x+20；

（3）I0min或30min

【分析】（l）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算力的值，根据方的值、2号探测

气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算。的值；

（2）由（1）可得，与y?函数图象的交点坐标为（20,30）,分别代入计算即可；

（3）由题意可得%=5或%-乂=5,分别计算即可.

【详解】⑴解：6=10+20x1=30,67=（30-20）-20=-,

故答案为：，30；

（2）由（1）可得y与力函数图象的交点坐标为（20,30）,

设丁］=人工+10,y2=k2x+20,

将（20,30）分别代入可得:30=203+10,30=20^+20

解得：4=1，勾=；,

/.y,=x+10,y2=-x+20；

（3）由题意可得乂-必=5或力-）'1=5,

答案第14页，共24页

当乂一力=5时，x+10-(gx+20)=5,

解得x=30,

当为一乂二5时，lx+20-(x+10l=5,

解得x=10,

・•・当上升lOmin或30min时:两个气球的海拔竖直高度差为5m.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键.

22.(1)证明见解析

【分析】(1)连接OC,根据弦、弧、圆周角的关系可证ND4C=NC4尸，根据圆的性质得

ZOAC=ZOCA,证明OC〃AO,得到NOB=NZ)=90。，根据切线的判定定理证明；

⑵连接8C,CE,根据勾股定理得到CE=石的长，根据等弧对等弦得到EC=CB=#,

根据圆内接四边形对角互补得NA8C+NAEC=180。，推出NZ)EC=/48C,证明

QECsCBA,利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】(1)证明：连接OC,

丁点C为血的中点，

:・EC=CB，

：.ZDAC=ZCAF,

•：OA=OC,

:.ZOAC=ZOCA

/.?DACICOA

：.OC//AD,

答案第15页，共24页

，ZOCF=ZD=90°,

,/oc为半径，

・•・OC为GX>切线：

(2)解：连接BC,CE,

n

.\?D90?.

VDE=l,DC=2,

•**CE=Vcz^+DE2=VF+F=、1，

•・•。是8C的中点，

:・EC=CB，

:•EC=CB=5

•・•A8为a的直径，

/.ZACB=9G°,

VZDEC+ZAEC=180°,ZABC+ZAEC=180°,

・•・NDEC=ZABC,

:…DECsKBA,

.DECE

••=~~~9

BCAB

.1_>/5

••存一Q'

・•・AB=5,

AO=-AB=-

22

・••”＞的半径长为

答案第16页，共24页

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出

辅助线是解题的关键.

23.(1)(0,1),y=T；

【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；

（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得=8%2+2%-1,然后根据尢=；始，

求出％,进而可得小，问题得解：

（3）过点尸作直线，〃交于点E,过点P作PG_L准线/交于点G,结合题意和（1）中

结论可知PG=P/=4+l,PE=4,根据两点之间线段最短可得当P,E三点共线时，

4+W的值最小；待定系数法求直线房的解析式，求得点P的坐标为（2百-4,9-4石），根

据点七是直线庄和直线机的交点，求得点E的坐标为仁,一日）即可求得4和W的值，即

可求得；

（4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为尸（0,0）,准线/的方程为产-2,过点产

作PG_L准线/交于点G,结合题意和（1）中结论可知PG=P产，则PO+PQ=PG+PD,

根据两点之间线段最短可得当D,P,G三点共线时，PO+PD的值最小；求得尸,最一£|，

即可求得”8的面积.

【详解】（I）解：•・•抛物线夕=1/中〃='，

，抛物线y=G/的焦点坐标为（0,1）,准线/的方程为），=-1,

故答案为：（0,1）,y=-l；

（2）解：由（1）知抛物线y=：/的焦点尸的坐标为（04）,

答案第17页，共24页

•・,点P(%%)5>0)到焦点尸的距离是它到X轴距离的3倍,

・・・西+(九-1)2=3%,整理得：k=8%2+2%-1,

又<%=WXO,

***4%=8婕+2%-1

解得：y0=；或%=-；(舍去)，

・••点p的坐标为(&')；

(3)解：过点P作尸£_L直线加交于点E,过点尸作PGJ_准线/交于点G,结合题意和(1)

中结论可知PG=PF=4",PE=d2i如图：

若使得4+4取最小值，即尸尸+PE-1的值最小，故当尸，P,E三点共线时,

PF+PE-\=EF-\,即此刻4+4的值最小；

;直线PE与直线机垂直，故设直线PE的解析式为y=-2x+bt

将尸(01)代入解得：b=l,

:.直线PE的解析式为y=-2x+l,

丁点P是直线心和抛物线y=的交点，

令!丁=一21+1,解得：内=2石一4,%=-2右一4(舍去)，

41飞

故点尸的坐标为(26-4,9-46)，

：.d、=9-心,

丁点E是直线PE和直线m的交点，

答案第18页，共24页

1Q

令-2x+l=?-3,解得：x=|,

故点E的坐标为(|,一詈

・・・4

4+4=W'I^-1.

即4+4的最小值为［逐-1.

(4)解：•・•抛物线)，=2X2_I中0=1，

44

・1111

,・7'-5晨

・・・抛物线y=的焦点坐标为尸(o,o),准线/的方程为尸-2,

过点尸作PG_L准线/交于点G,结合题意和(1)中结论可知PG=尸产，则PO+PDPG+PD,

如图:

若使得PO+PD取最小值，即PG+尸。的值最小，故当£),P,G三点共线时,

PO+PD=PG+PD=DG,即此刻PO+PD的值最小；如图:

,£)G_L准线/,

1Q

・・•点尸的横坐标为T,代入产丁一解得)'=一"

答案第19页，共24页

199

则..POD的面积为Spg=5x^x1=.

【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的

交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论.

24.(I)(0,2)

⑵6-1

20

⑶(4,0)或胃,0)

(4)(273,2)

【分析】(1)根据。1=2,点A位于y轴的正半轴即可得出答案；

(2)根据折叠性质和特殊角解三角形，先求出BC=6，08=2,再过点。作。〃_LA6,

得出CH=O〃，解三角形即可求出08=3-6，从而求出

DQ=BQ-BD=>/3-\,

(3)将43律绕点8在平面内逆时针旋转，当点。、E、F三点共线时，有两种情况，当

将ABE/绕点B在平面内逆时针旋转90。，可得点E、F恰好落在入•轴，OE=AB=4,从

而可得直线EB与x轴交点的坐标；当将△切沙绕点B在平面内逆时针旋转到OB上方时,

可得RJOA8二RJ8O&HL),从而得出NABO=N3OE,OE=AB=4,继而可求

COS/ARO=W=3,再由OK=—空二即可求出交点坐标.

OR5cosZ.ARO

,2c.+c22c.c22AF+OD11

(4)由己知可证明［QICQDE^AFC,进而可得」~~-=—+—=—-=下

cyc3c3OA8

由此可得24F=U—OO,延长转交OB于H点，可得A"=2AF=U—。。，

44

DH=OH-OD=2-OD,然后由双勾股求出。。=1,进而求出点8坐标.

【详解】(I)解：・・・。4=2,点A位于)，轴的正半轴,

，点A坐标为(。，2),

(2)VZABO=30°,直线/轴，04=2,

04

OB=.…=4，4B=OB.cosZABO=4・cos30°=26,

sinZ.ABOsin30°

丁点C为AB的中点,

.•・BC=6,

答案第20页，共24页

又〈CAB,

.4BC一0

••QB=------------=---------=2，

cosZ.ABOcos30°

由折叠可知：ZPCD=NBCD

：.NPCD=/BCD=45。,

如