2023年高考数学一轮复习：空间向量与立体几何 检测试卷（培优）

2023年高考数学一轮复习测评卷

空间向量与立体几何

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的

1.如图圆锥的高50=石，底面直径A5=2,C是圆。上一点，且AC=1,则SA与8C所成

2.已知长方体A8CO-AB|GA，A8=AA=2,4O=1,正方形CQA。所在平面记为，

若经过点A的直线/与长方体45CO-A旦GA所有的棱所成角相等，且/ca=M,则线段

AW的长为

A.痘B.3C.«D.75

2

3.如图，三棱锥V-ABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面E4C都是以4C为斜边的等

腰直角三角形，E为线段AC的中点，尸为直线A8上的动点，若平面旧与平面VBC所

成锐二面角的平面角为。，则cosJ的最大值是（）

4.在正方体ABCD—AiBiCiDi中，E、F、G分别为AAi、BC、CiDi的中点，现有下面三

个结论：①4EFG为正三角形；②异面直线AQ与CF所成角为6（r；③AC〃平面EFG.

其中所有正确结论的编号是（）

A.①B.②③C.®®D.®®

5.如图，在四棱锥f-ABCO中，PA_L平面ABQ9,底面A8CD是正方形，PA=AB,则

下列数量积最大的是（)

A.BDPCD.PAPC

6.正方体ABCO-ABCIA的棱长为2,MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之

间的线段成为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，丽•丽的最大值为

（）

A.1B.2C.3D.4

7.如图，边长为1的正方形A8。所在平面与正方形他比所在平面互相垂直，动点、M,N

分别在正方形对角线AC和8厂上移动，且。知=3%=4（0＜々＜应）.则下列结论正确的是

（）

A.CN=MEB.当时，ME与CN相交

C.异面直线4c与6厂所成的角为45。D.MN始终与平面BCE平行

8.如图，已知正方体ABGR的校长为1,E,F分别是楼相＞,8©的中点.若点「

为侧面正方形ADAA内（含边界）的动点，且存在使用力=才能+），就成立，则用P

与侧面ADAA所成角的正切值最大为（）

A.2B.1D.0

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分

9.如图，正方体ABC。-4乃01。的棱长为〃，则下列结论正确的是（）

A.若点M在线段4。上，则不存在点“满足

B.若点A/在线段4。上，则四面体M-C与。的体积为定值

C.若点M在线段AO上，则异面直线与CB,所成角的取值范围是[30。，900]

D.若点M是正方体表面上的动点，则满足AM=缶的动点轨迹长度为深

10.如图，在菱形ABCD中，AB=—,/班。=60°,沿对角线BD将△A3。折起，使点

3

A,C之间的距离为2啦，若P，Q分别为直线BD,CA上的动点，则下列说法正确的是（）

A.当AQ=QC,4"时，点D到直线PQ的距离为邛

B.线段PQ的最小值为友

C.平面A8£）_L平面BCD

D.当P,Q分别为线段BD,CA的中点时。，PQ与AD所成角的余弦值为亚

4

11.已知直三棱柱ABC—A&G中，AB工BC,AB=BC=BB\,。为的中点.点。满足

丽=函,其中4耳0,1],则（）

A.对V4w[0,l]时，都有人尸，。4

B.当4=g时，直线AP与八8所成的角是30°

C.当时，直线AP与平面4&G所成的角的正切值半

D.当义=<时，直线AP与。6相交于一点0,则黑=:

12.两个全等的等腰直角三角形A8C和等腰直角三角形OC8所在两个平面互相垂直，其中,

则/48。=/。8=三，BC=2,则()

2

A.异面直线3。和AC所成的角为?B.平面AC£>_L平面河

Q

C.四面体A8CO外接球的表面积为12"D.%面体例0=§

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.在直三棱柱ABC-A妫G中，M=4,二面角的大小为60。，点3到平面

ACGA的距离为石，点C到平面ABBIA的距离为2百，则异面直线8。与AG所成角的

余弦值为.

14.如图，在四棱锥尸—ABC。中，P4_L平面ABC。，/8AO=90，PA=AB=BC=-AD=\,

2

BC//AD,已知。是四边形4BCQ内部一点，且二面角Q-PD-A的平面角大小为则

4

△ADQ的面积的取值范围是.

15.如图，四棱锥P-A8C。的底面是边长为1的正方形，尸CJ_平面A8C。，且尸C=2,

若点E为PC的中点，则点D到平面ABE的距离为.

16.三棱锥O-A3C中，OA.OR、。。两两垂直，且Q4=O5=OC.给出下列四个命题:

①伊+丽+百-=3（可；

（2）BC（C4-CO）=0；

③（5+砺）和直的夹角为60；

④三棱铤。-ABC的体积为，（族•正）正.

其中所有正确命题的序号为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.如图，在直棱柱ABCD-A止IGDI中，AD〃BC,NBAD=90。，AC1BD,BC=1,

AD=AA)=3.

（1）证明：AC±BiD；

（2）求直线BCi与平面ACDi所成角的正弦值.

18.如图所示.四棱柱ABC力-的棱长均为6,侧棱与底面垂直，且N皿＞=60°,M

是侧棱。。上的点，N是线段GR上的动点.

（1）若以D为坐标原点，以觉为y轴正方向，以而;为z轴正方向建立空间直角坐标系,

写出点4的坐标；

（2）求点到平面ACM的距离；

（3）若平面M4c与平面ACN夹角的余弦值为迹，试确定点N的位置.

10

19.如图所示，在四棱锥P-ABCO中，&）_1_底面ABCQ,底面ABC。是矩形，PD=CD=2,

AD=1,M是线段PC的中点.

（1）求证：AD_L平面PCZ）；

（2）求二面角M—8。—。的余弦值；

（3）求直线用和平面MBD所成角的正弦值

20.如图，在三棱锥尸-ABC中，R4_L底面ABC,NBAC=90。.点D,E,N分别为棱PA,

PC,BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2.

(1)求证：MN〃平面BDE；

(2)求二面角尸-£)£-8的余弦值.

21.如图，在三棱柱中，Cqj■平面ABC,ACLBC，AC=BC=2,CC,=3,

点分别在棱AA和棱CG上，且A£>=1,CE=2,M为棱A片的中点.

(1)求证：上BQ；

(2)求二面角8-瓦E-。的正弦值：

(3)求直线A片与平面。用七所成角的正弦值.

22.在三棱锥P-A8C中，平面P4C_L平面ABC,△PAC为等腰直角三角形，PA工PC,

ACA.BC,BC=2AC=4,M为AB的中点.

（1）求证：AC1PM.

（2）求PC与平面PAR所成角的正弦值.

PN

（3）在线段PB上是否存在点N,使得平面CNM_L平面PAB?若存在，求出PB的值；若

不存在，说明理由

答案及解析

1.【答案】A

建立如图所示的空间直角坐标系得

。但」,。1

A（O,-1,O）,5（04,0）,5（0,0,石），

122J

设方,心的夹角为仇0<6><^

又屈=（OJG）,配=（#,—T，。

则cos”画三=一旦

\AS\BC\4

因为0<夕隹

即SA与BC所成角的余弦值为边

4

2.【答案】D

如图，建立空间直角坐标系外>2.

由题意得41,0,0),设点”的坐标(0,y,z)(y>0,z>0),则丽=(—i,y,z).

由题意得与。ADC平行的棱所在直线的方向向量可分别取为2=(1,0,0),6=(0,1,0),

c=(0,0,1).

因为直线AM与所有的棱所成角相等，

所以|cos<AM,a>|=|cos<AM,b>|=|cos<AM,c>\,

因此画d=画同=西H,

yz

所以\三AM7\7二\AM\\—AM\■,w解得y=1,z=1,

所以点M的坐标(0JD,即为正方形OCGA对角线的交点,

因此加■=(-1,覃)，所以|AMI=V5.

3.【答案】D

底面A8C与侧面E4C都是以AC为斜边的等腰直角三角形,

则R/AA5C二肋小么。，所以01=VC=5A=BC

i&VA=VC=BA=BC=VB=2,

由石为线段4c的中点，

则VE=8V=夜，

由"2+8炉=丫82,

所以VEJ_£B,

以E为原点，所为1轴，EC为y轴，£丫为z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示：

z

AV-

/x

则c（o,&,o）,B（6O,O）,V（0,0,V2）,设网x,x-©0）,

VC=（0,-72,72）,丽=（©0,-及），EV=（0,0,V2）,而=卜6-五,&）,

设平面VBC的一个法向量而=（不%,乙），

则已竺二°,即陶d=。,

in-VB=0[夜X]-点4=0

令石=1,则y=।,4=1,

所以而=。,1,1）.

设平面VEF的一个法向量〃=（孙、2,Z2），

ml[n-EV=0NN[V2Z2=0

则1{—，即{/r-\（-,

/?•VF=0x-x2+yx-yJ2\-y2+\/2z2=0

解得Z2=0,令%=1，则%=也-1，

X

所以^-Lhol,

平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为9,

一一也

贝1"帝砥乒

将分子、分母同除以可得

X

&2-2&X+2/12一6岳+6

4,/(X)=6X2-6V2X+6=6^X--三+3,

当％=李时，f(x)min=3,

则cose的最大值为：与=£.

63

4.【答案】D

建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体的边长为2：则

E(2,0,l),F(l,2,0),G(0,l,2),|EF|=Vl2+22+12=>76,|EG|=>/22+l2+l2=>/6,

|FG|=Vl2+l2+22,所以三角形£FG是在三角形，①正确.

A(2,0,2),0(022),所以丽=(-2,1,0),市=(1,0,-2),设异面直线4G与C1尸所成角为a,

2_2

则cosa=所以aw60、②错误.

MMV5x>/5-5

A(2,0,0),C(0,2,0),AC=(-2,2,0),瓯=(一1,2,-1),旃=(一2,1,1),设平面)G的法向量为

元•EF=-x+2y-2z=0

=(x,y,z),则，令x=l得y=l,z=l,所以［=(1,1,1),由于

«•EG=-2x+y-z=0

ACw=-2+2=0，所以③正确.

综上所述，正确的命题序号为①③.

故选：D

5.【答案】B

解：设/<4=AB=1,因为如_1_平面ABCD,所以必_LAC,PA±AB,PA上BD,PAIBC,

又底面A8C£)是正方形，所以BO_LAC,AB-AC=lxlxcos-=—,

42

对于A,BDPC=BD(PA+AC)=BDPA+BDAC=0+0=0：

对于B,方=例+期•例-砌

=PA+PAAC+ABPA+ABAC

/7

=1+04-0+1xV2x^=-=2；

2

对于C,BCPC=BC(PA+AC)=BCPA+BCAC=0+\xy/2x^=\.

对于D,PAPC=PA(PA+AC)=PA+PA-AC=1+0=1,

所以数量积最大的是丽.正，

故选：B.

6.【答案】B

连接尸O,如下图所示：

设球心为0,则当弦MN的长度最大时，MN为球的直径，

由向量线性运算可知

PMPN=（PO+OM^PO+ON）

=Pd2+POON+OMPO+OMON

=Pd2+Pd^ON+OM）+dMON

正方体ABCD-A居GA的棱长为2,则球的半径为1,ON+OM=6,OMON=-l,

所以而2+河.（而+丽'）+司彳.丽

1»2

=PO-1，

而同w□，网

所以的2_]«（）2],

即丽•丽《0,2],

丽•丽的最大值为2

7.【答案】D

•・•边长为1的正方形A8CD所在平面与正方形他所所在平面互相垂直

・••以点B为坐标原点，丽所在直线为x轴，而所在直线为y轴，胫所在直线为z轴建立

空间直角坐标系,所以A(1,O,O),8(0,0,0),C(0,0J),E(0,l,0),广(1,1,0)

CM=BN=a(O<a<&)

，过点M作MPJ_AB于点P,连接EP,CN,ME,

则一堂。，N与a,专a,0

CN:闹停"标，

ME=J[*]+11-告]+1=J/一缶+2

显然，CN与M石不,■定相等，选项A错误.

B选项：当°=立时;即M为AC中点，N为BF中点时，如图所示，

2

此时处与CN相交‘故当时’处与CN不相交，选项B错误

C选项：AC=(-l,0,l),前=(1,1,0)

cos国历"郎等号

••・异面直线AC与3尸所成的角为60。，C选项错误

D选项:丽=(冬，冬,0卜件

。,0,1-2I」。』a-\

222

平面BCE的法向量为7=(1,0,0)

a冬冬.；(1,0,0)=0

：.MNn=

•*-MN.Ln

・•・MN始终与平面BCE平行

・・・选项D正确

8.【答案】D

解：•.,存在X,yeR,使“=犬靛+),晶，BEC\BF=B,

二与。〃平面3£厂,

设AA的中点为G,连接尸口，B0,AG,D\E,

则6G〃"A〃8E,BEu平面班户，旦G不在平面班户内,

所以〃平面3EF,同理AG//平面Bb,AGC\B}G=G,4GBQu平面4GA,

/.平面B[GA//平面班产,

•.•点p为侧面正方形4)AA内(含边界)动点，且平面BE产，

二点尸的轨迹为线段G4,

•••正方体ABC。—A5GA的楂长为1,E、G分别是校人。、AA的中点,

由题得幺尸片就是与侧面ADD.A,所成角，

所以tanNAP4=±最大，则4/最小，即APLGA.

由等面积法得lx1=APx—^,「.AP=—,

23215

-L=V5

所以tan幺尸片最大值为亚

T

9.【答案】BD

解：对于A,因为当M在A。上运动时，从马工平面4耳。。，CMu平面A&C£>,

于是AR_LCM,所以存在点“满足CMAR,所以A错误;

对于B,因为A。〃耳C，AO〃面B。。，又点M在线段4。上，所以以到面B。。，的距离

即为A。到面的距离，所以距离为定值，所以四面体M-C4R的体积为定值所以B

对；

对于C,以。为原点，建立以DA,DC,。。所在直线为X,丁，z轴的空间直角坐标系,

则点M(x,0,x),B(a,a,0),C(0,a,0),B}(a,a,a),

所以BM-(x-a,-a,x)»=(a,O,a),

_a

设异面直线BM与Cfi.所成角为仇则cos®=加色=g-幻+竺=',

\BM\|OB，yl(x-a)2+a2+x:•\l2a^Jx2-ax+a2

当x=：时，cos<9=0,夕=90。，

2

当时、cos^=l-e-ll+----(噫<ka),当x=0或x=a是，cos。的值最大为;，此时

2y(河尸2

0=60。，

所以的取值范围是[60。，90°],所以C错误:

对于D,当点Af在平面BCC由内时，由45_1_面BCC内，BWu面8。。石，AB工BM,所

以有/W?=482+85/2，

所以8必=々，所以点M的轨迹是以。为圆心"为半径的!圆弧，

同理点M在面44GA，CDDG时，轨迹也是。为半径的:圆弧,

从而动点A/轨迹长度为3K2皿-筌，所以D正确.

42

故选：BD.

10.【答案】BCD

取8D的中点0,连接OAOC,由题意可知：OA=OC=2,

因为OA2+OC2=AC?,所以O4_L”，

又易知OA_LBROC_LBD,

因为a_L0C,OALBD,OCC\BD=O,

所以。4，平面8。。，

因为。Au平面

所以平面4由)_L平面8OC，故C正确；

以。为原点，OB,OC,OA分别为xy,z轴建立坐标系，

则8(¥，0,0),C(020),A(0,0,2),q-孥。。，

当AQ=QC,4PD=DB时,(2(0,1,1),P-y,0.0

,|吧闭5后

所以点D到直线PQ的距离为"=丁图」花=亍，故A错误;

设P(a,0,0),Q(x,y,z),由以“丽得,Q(0t2-2AM),

|尸＜="/+(2_2/1)2+(2/1)2=4a2+8()―3J+2，

当时，故正确；

4=0,2=：|P(2|n.n=V2,B

当P，Q分别为线段BD,CA的中点时，

*0,0,0),0(0,1,1),P2=(O,1J),祝卜孚0,一2

设PQ与AD所成的角为0,

—2限

则I叫画0栏4'

所以PQ与AD所成角的余弦值为亚，故D正确；

4

故选：BCD

II.【答案】ACD

以8ABe为乂y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设A笈=1,

其中A(LOJ)，用(ooi),8(0,0,0),G(oJi),

因为丽=2瓯，所以尸（o,；u）,

A.因为4尸=（一1，42-1），°耳二（一3，-31），4008］=；-：％+；2-；=0,

所以*_L西，所以AP^Og,故正确;

B.当；l=g时，A^=f-l,1,-1],AB=(-l,0,0),所以

3

|cos<AP,Ag>|=.1—=亚手也

11

代6142'

所以直线4户与A3所成的角不是30°,故错误;

C.当4=3时，帮=（一1］，一；）取平面人印；的一个法向量为［={0,0』）,

所以Icos<A^,n>\=I—=建，设直线AP与平面AB£所成的角为8,

。6

Ll+l.Vi

V44

D.当时，如图所示，P为B。中点,。为4。中点，连接0P,

1PQOP1

所以。尸〃的。=5的，所以就二丽=5,故正确,

故选：ACD.

12.【答案】AC

如图，因为AASC"和△£＞口?所在两个平面互相垂直，4ABC=4DCB=],

则平面ABCJ_平面。C5,则AS,BC,8两两互相垂直.

因此可以把四面体O-ABC放在E方体中进行研究.易得异面直线刖和4c所成的角为不

故选项A正确；

以C为坐标原点，过点。且平行48的直线为X轴，CB,8所在的直线分别为丁轴、z轴

建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,0,0),8(0,2,0),4(2,2,0),0(002),

易知平面ACO的一个法向量为而=(-1,1,0),平面45。的法向量为,二(0,1,1),正G=1H0，

故选项B错误：

四面体43co的外接球即为其所在正方体的外接球，易得外接球的直径为正方体的体对角线,

即外接球的半径r=G，则外接球的表面积S=4仃2=12乃，故选项C正确；

V4BCO=1^c.|CD|=p故选项D错误.

故选：AC.

I、\

13.【答案】叵

28

如图所示，

由题意可知，直三棱柱A8C-A4G中，二面角B-A4I-C的大小为60。,

所以44C为二面角8-明一。的平面角，即Z&4C=60°,

因为点3到平面ACGA的距离为右，

即点B到直线AC的距离为石，

过点5作BOJ.AC于O,则BO=V5,4B=2,AO=1,

因为点C到平面A84A的距离为2b，即点C到直线A8的距离为2石，

又因为NfiAC=60°,A3=2,

所以8c=26，AB工BC，AC=4,CD=3,

以8为坐标原点，8cB4,84所在直线分别为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系.

所以4（0,0,4）,C（2万,0,0）,4（020）,G（2百,0,4）,

鸵=（26O，T，Aq=（273,-2,4）.

-4_V14

-728x732-28.

所以异面直线与AG所成角的余弦值为粤.

故答案为：巫

28

•.•小_L平面ABCD,/84。=90、以点A为坐标原点，A。、AB、期所在直线分别为X、

丁、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,0)、5(0,1,0),C(l,l,0)、0(2,0,0)、P(0,0,l),

设点Q(a,40),其中04aW2,

-llLftl___

设平面产。。的法向量为加二(x,y,z)，£>P=(-2,0,l),DQ=(a-2,b,0),

m-DP=-2x+z=0一/、

则坑网="少+刀=0'取i可得吁W犯

易知平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0),

V2

由已知条件可得|cos<m,n>\

"2'

lwihl府方+5b2

所以，2-a=®，即a+病=2,

a=2

直线CD上的点(x,y,0)满足x+y=2,联立，:解译

b=0'

4=0

；=2,解得

联立,2旧，

a=0b=-----

5

所以，点。的纵坐标b的取值范围为

易知点。不在线段A。匕则be(o,竽］

所以，S^DQ~~

故答案为：(o,半］

15.【答案】立

2

以点C为坐标原点，8所在直线为x轴，C8所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立空

间直角坐标系C-型,如图所示，则0(1,0,0),41J0),8(0,1,0),凤0,0,1),从而

DA=(0,1,0),RA=(1,0,0),BE=(0,-1,1).

设平面ABE的一个法向量为3=(。力,。)，

n-BA=04=0

由法向量的性质可得一二

n-BE=0-b+c=0

令c=l,则a=O,b=l,所以-=(0,1,1).

\DAn\_1_y[l

所以点D到平面ABE的距离d=\n\=^=T

故答案为：—

2

16•【答案】①②©

设。A=OB=OC=a,由于。4、OB、OC两两垂直,

以点0为坐标原点，。4、OB、。。所在立线分别为“、y、z轴建立空间宜角坐标系,

如下图所示:

则0(0,0,0)、4(。,0,0)、3(0,4,0)、C(0,0M).

对于①，OA+OB+OC=(a^a)f所以，()+份+反/=3/=3(而丫，①正确;

对于②，CA-CO=OA=(a^O)fBC=(O,-a,a),贝I」而(无一否)=0,②正确;

对于③，9+丽=(4〃,())，CA=(aA-a),

__________(OA+OB\CA/i

cos<04+OB,GA>==---------7=

|0A+04同网22

-,0<<04+05,04><180,所以，(厉+方)和己的夹角为6(T,③正确；

对于④，A3=(-a,a,0),AC=(-a,0,a),BC=(Oy-a,a),则丽衣=/,

所以,就被硝网刍网三缶邛/,

而三棱锥O-ABC的体积为V=!X!O4.OB-OC=，/,④错误

326

故答案为：①②③.

17.【答案】

(1)证明见解析

(2)叵

7

【解析】

(1)先证明出AC_L平面B8Q。，即可证明4C_L片。；

(2)以A为坐标原点，AB,AD,AAi所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直

角坐标系.用向量法求解.

(1)

因为ABCD-AiB)CiDi是直棱柱，所以阴_L平面ABCD.

又ACu平面A8CO，故B4_L4C.

又己知八C_LE),平面BRRD,旦BB】cBD=B,故4CJ■平面

因为qOu平面88Q。，所以ACJ.8Q.

(2)

以A为坐标原点，AB,AD,AAi所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐

标系.

设AB=l,则A(0,0,0),B(t,0,0),Bi(t,0,3),C(t,1,0),Ci(t,1,3),D(0,

3,0),Di(0,3,3).

从而2方=(—I,3,—3),AC=(t,1,0),5D=(—t,3,0).

UUUUUULL

因为AC_LBD,所以ACBD=-l2+3+0=0,解得，或t=一6(舍去).

于是丽=(一6，3,-3),衣=(G，1,0).

---------lilium

ADy=(0,3,3),AC=(v3♦1，0),4G=(0»1,0).

设落(x,y,z)是平面ACD1的一个法向量，

则卜更=。即/+y=。

I元A£)i=0(3y+3z=0

令x=L则7=(1,一丛,73).

设直线BiCi与平面ACDi所成的角为0,

贝Usin9=|cos〈〉露〉曰芹需^二落字

I〃I,IO|C1|V//

故直线。平面ACDi所成的角的正弦值为也L

7

18.【答案】

(1)(3疯3,6)

(2)d=6

(3)N(0,2,6)

【解析】

(1)易知△ABO是正三角形，取A8的中点E,连接OE,可得OE_LA8,OE_LQC,然后

以D为坐标原点，分别以诙，反,西为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系求

解；

(2)由(1)求得平面ACM的一个法向量而二(5,必,马)及西的坐标，然后由d=华网

\m\

求解；

(3)设点N(0,Z6)(0W/lW6),得到两=(0,2-6,6),求得平面ACV的一个法向量

«=(x2,y2,z2),然后由|cosW㈤上随包=粤求解.

111||n|10

(1)

解：由题意可知，四边形ABC。是菱形，又/皿＞=60°,连接4。,

所以△A3。是正三角形，

取A8的中点E,连接力E.

所以OE_L48,£)EJL。。.

又因为四棱柱的侧棱与底面垂直，所以。两两垂直，

以D为坐标原点，分别以派反，西为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.

已知直四棱柱ABCD-ABCR的棱长均为6,

因为A£7/DC,且AE='QC=3,

2

所以£>E=3百，

所以用的坐标为(3b,3,6)；

(2)

由⑴及题意,得相关点的坐标为。(0,0,0),436,-3,0),。(0,6,0),"(0,0,4),3(3有,3,6),

AC-(3>/3,9,O),AAf-(3石,3,4).

设平面ACM的一个法向量为所=区,％,4),

则长竺=。,即卜3fx—,

[而•AM=0[-373^4-3y+44=0

令芭=,则y=1,4=,,

即平面ACM的一个法向量为m=(6,,

又碉*=(36,3,2),

所以点用到平面ACM的距离为_网

(3)

由(1)(2)及题意，设点N(0",6)(04；l<6),

则的=(0,4-6,6),

设平面ACN的•个法向量用=区，%，22),

亭二°,即-3石%2+9y2=0

则

n-CN=0(A-6)y2+6Z2=0

取十g则『石」,彳).

3y/10

则俅。s5用卜箭

~io~

化简可得3分+284-68=0,

解得;1=2或义=一号,

因为04446,

所以九=2,

所以N(0,2,6),

故当点N位置在的线段上，与R的距离等于2时,

平面MAC与平面ACN夹角的余弦值为旭.

10

19.【答案】

(1)证明见解析

G

6

V6

9一

【解析】

(1)、利用线面垂直的判定证明；

(2)、建立空间直角坐标系，求出平面瓦必和平面3c。的法向量，利用向量夹角的余弦

计算二面角的余弦值；

(3)、求出而与平面M8£>的法句量所成角的余弦值，即可导出直线PB和平面ME)所成

角的正弦值.

(1)

底面ABC。，A£>u平面ABC。，.•.PD_LAZ),•.四边形48CD是矩形，.•.£>C_LA。

PDcDC=D、PDu平面PCD.DCu平面PCD,「.AD_L平面PCD

(2)

由(1)可知，DA.DC、OP两两垂直，

以。为坐标原点，D4所在直线为x轴，0c所在直线为V轴，DP所在直线为z轴，建立如

图所示空间直角坐标系。一个2.

则。（0,0,0）,A（l,0,0）,C（0,2,0）,P（0,0,2）,B（l,2,0）,

•.•“是线段尸。的中点，二由0,覃),

.•,AP=(-I,O,2),DB=(1,2,O),DA7=(O,1,1),DP=(O,O,2)

..、n-DB-0fx+2y=0/、

设平面友加的一个法向量为为=(x,y,z),贝叶_而0,y+z—o，「•万二(-2,1,-1)

•「PD±底面ABCD,：.丽=(0,0,2)为平面88的一个法向量，

易知二面角M-8O-C的平面角为锐角，故二面角M-8Q-C的余弦值为业.

6

(3)

•.•*0,0,2),6(120),.•.丽=(1,2、一2),由(2)可知平面皿加的一个法向量为:=(一2,1,-1)

设直线网和平面用30所成角为。丑0个，

疝』虱〃冏=峭=/H+2+21=与怎

直线网和平面M尔)所成角的正弦值为逅.

9

20.【答案】

(1)证明见解析；

⑵-也.

2

【解析】

(1)取人8中点尸，连接A/尸、NF,由已知可证叱〃平面NF“平面BDE,从

而得证平面M/W//平面进而得证MN〃平面3£>E；

(2)由PAJ_底面ABC,NB4C=9O。，则以A为原点，4B、AC.A尸所在直线分别为

X、V、z釉建立空间直角坐标系，求出半血与平面也>£的一个法向量，结合图形

由向量法即可求解二面角P-OE-8的余弦值.

(1)

证明：取A5中点F,连接“f、NF,

•.•M为中点，

;.MFi/BD,

Q5£)u平面MF《平面BDE,

二.也产〃平面BDE,

QN为BC中点,

:.NF11AC,

又。、石分别为AP、PC的中点，

:.DE//AC,则NF//DE,

•.Z)Eu平面3DE,NFU平面BDE,

.•.Nr〃平面

又MFf)NF=F,

平面MF7V"平面BDE,

,/MNu平面MFN,

MN〃平面3DE：

(2)

解：•.•Q4_L底面人8C，

・・・以A为原点，分别以A3、AC.AP所在直线为X、丁、z轴建立空间直角坐标系,

\'PA=AC=4,AB=2,

二.B(2,0,0),D(0,0,2),E(0,2,2),

则丽=(一2。2),BE=(-2,2,2)f

设平面BDE的一个法向最为五=(x,y,z),

in-BD=0-2x+2z=0…一

由，----9—2x+2y+2z=0'取＞匕得加=(1，°」)，

in•BE=0

易知平面厄的一个法向量为7=(1,0,0),

-----tn-n\v2

所以8S"'…丽=彘=三

所以由图可知二面角石-8的余弦值为-史.

2

21.【答案】

(1)证明见解析

⑵叵

6

⑶走

3

【解析】

以c为原点，分别以瓦瓦，函*的方向为“轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.

UULWI.■■

(1)计算出向量CM和5Q的坐标，得出G"-BO=0,即可证明出

(2)可知平面的一个法向量为无，计算出平面用团的一个法向量为/利用空间向

量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果:

（3）利用空间向量法可求得更线Aq与平面所成角的正弦值.

（1）

依题意，以c为原点，分别以以、而、西的方向为％轴、y轴、z轴的正方向建立空间

直角坐标系（如图），

可得。(0,0,0)、4(2,0,0)>8(0,2,0)、C,(0,0,3).

A(2,0,3)、勺(0,2,3)、。(2,0,1)、E(0,0,2)、"(1,1,3).

依题意，或=(1,1,0),丽=(2,-2,-2),

从而泵•丽=2-2+0=0,所以GM_L4。；

依题意，第=（20,0）是平面防舌的一个法向量,

函=（021）,说=（2,0,-1）.

设］=（x,y,z）为平面DB.E的法向量，

::£•即2y+z=0

则〈

2x-z=0

不妨设x=l，可得〃=（L-1,2）.

CAn2

cos<卬CAn>“-前一-会-了-'

■■―/—一，・一