黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷（解析版）

2024-2025学年度第一学期高三年级数学学科第1次考试（导数、三角函数）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知的终边与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.－1【答案】A【解析】【分析】根据余弦值的定义可得，再根据二倍角的余弦公式求解即可【详解】由题得，所以.故选：A2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式、两角差的正弦公式求得正确选项.【详解】.故选：B3.已知函数在处取得极值，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据极值点处导函数为零可求解.【详解】因为，则，由题意可知.经检验满足题意故选：B4.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由诱导公式即可求出.【详解】，.故选：C.5.将函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数gx的图象，则函数gx的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据周期变换求解出第一步变换后的函数解析式，然后根据平移变换得到gx【详解】解：将图象上各点横坐标变为原来的，得，再向左平移个单位长度后得，故选：D.6.函数的零点的个数为（）A.1 B.3 C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再判断函数的零点个数.【详解】在上是增函数，且的零点个数为.故选：A.【点睛】本题考查判零点个数，重点考查导数判断函数单调性，属于基础题型.函数的零点的判断方法有三种：一、直接求零点：令，如果能求出解，有几个解就有几个零点；二、零点存在性定理：函数在连续的区间上有定义且，则函数在上存在零点；三、先把所求的函数分解成两个简单的函数，再由两函数图象看交点个数，交点横坐标即为函数的零点.7.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，共线，则的形状为（）A.等边三角形 B.钝角三角形C.有一个内角是的直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】由向量，共线可得，利用正弦定理结合倍角公式分析可得，同理可得，即可判断结果.【详解】因为向量，共线，则，由正弦定理可得，则，因为，则，可知均不为0，可得，则，即；同理由向量，共线可得；综上所述：.所以的形状为等边三角形.故选：A.8.已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知结合函数的奇偶性及周期性求值，根据复合函数导数法则求导，然后根据导函数的对称行和周期性即可求解.【详解】为偶函数，，，为奇函数，，，即，，，即函数的周期为4，，，，，，即，由得，，.故选：.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为 B.的定义域为C.的图象关于点对称 D.在上单调递增【答案】BCD【解析】【分析】根据正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数，可得的最小正周期为，所以A不正确；令，解得，即函数的定义域为，所以B正确；令，解得，当时，可得，所以函数的图象关于点对称，所以C正确；由，可得，根据正切函数的性质，可得函数在上单调递增，所以D正确.故选：BCD.10.如图所示是导函数的图象，则下列结论中正确的是（）A.在区间上单调递增B.是的极小值点C.在区间上单调递减D.是的极小值点【答案】ABC【解析】【分析】根据导数的几何意义可判断AC；根据极小值点的定义可判断BD.【详解】由图象知，当时，所以函数在上单调递增，故A正确；当时，所以函数在区间上单调递减，故C正确；当时，当时，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，所以是极小值点，是的极大值点，故B正确，D错误.故选：ABC11.下面比较大小正确的有（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据题意可构造函数，利用导数判断该函数的单调性，运用函数的单调性即可求解.【详解】根据题意可构造函数，则，由于函数在0,+∞上单调递增，且，从而，当时，，则函数在上单调递增，当时，，则函数在上单调递减，又，，所以，，，即，，，，故，选项A错；，选项B正确；，选项C正确；，选项D错.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的单调递减区间是_______.【答案】【解析】【分析】求得函数的导数，令导数小于0，即可求得答案.【详解】由题意得：，令，解得，由于，故，所以函数的单调递减区间是，故答案为：13.已知中，已知，的面积，则边长的值为_____．【答案】5【解析】分析】利用三角形面积公式可得，然后利用余弦定理即得.【详解】设中三角所对边为，则，∵，∴，由余弦定理可得，，解得，即.故答案为：5.14.已知实数成等比数列，且当时函数取得极大值，则___.【答案】【解析】【分析】通过求导判断函数的单调性，求出函数的极大值和极大值点，再利用等比数列求出即得.【详解】由可知其定义域为，求导得，，由可得，当时，，即函数在上单调递增；当时，，即函数在上单调递减.故当时，取得极大值.又实数成等比数列，即，代入解得，，又由解得,故故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度.【答案】35米【解析】【分析】设由图中角的关系得到，，再由余弦定理求解即可；【详解】设米，在中，，则米.在中，，则米.因为，所以由余弦定理得，整理得，得.所以蜚英塔的高度为35米.16.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用辅助角公式整理可得，进而可得最小正周期；（2）根据（1）中函数解析式，结合正弦函数最值分析求解.【小问1详解】由题意可得：，所以的最小正周期.【小问2详解】由（1）可知：，令，解得，所以当，取到最小值为.17.的内角的对边分别为,若,，,求的面积.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理和得到关于的方程，与条件等式联立求得，代入三角形面积公式计算即得.【详解】由余弦定理得，即，又,联立解得，，故面积为：.18.已知函数，．（1）当时，求函数在区间上的值域；（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数可判断函数在区间上的单调性，可求出值域；（2）将代入不等式，分离参数，得在上恒成立，令，利用导数求出在上的最大值即可得解.【小问1详解】当时，，，定义域，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数在时，取到最小值，，而，，，，因此函数值域为.【小问2详解】由，得，即在上恒成立，设，，则，∵，∴，，∴当时，，即函数在上单调递减，∴当时，，因此，即的取值范围是．19.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，求确定斜率，求确定切点坐标，利用点斜式即可求切线方程.（2）根据，确定