江苏省镇江市2024-2025学年高三上学期期初考试数学试卷（解析版）

2024~2025学年度上学期高三期初试卷数学2024.9注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由，故这组数据的中位数为.故选：C.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由解一元二次不等式解出集合，再由交集的运算求出最后结果即可.【详解】由题意可得，，则.故选：B.3.已知，，，则的最小值为（）．A.4 B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.故选：B4.由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先看一共能组成多少个没有重复数字的三位数，再看其中有多少偶数,所占比例就是所求的概率.【详解】将组成没有重复数字的三位数，共有种，而其中偶数有两种情况：①以为个位数的三位数，是，共有2种②以为个位数的三位数，是，共有2种所以，这个三位数是偶数的情况共有种，所以，这个三位数是偶数的概率为事件，则.故选：A.5.若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出三棱锥的高，求出对应线段长，通过体积公式得出三棱锥体积.【详解】如图，正三棱锥，，取中点，连接，取等边三角形的中心，连接，由正四面体的性质可知，顶点与底面中心连线垂直底面，∴平面即三棱锥的高为，∵，∴，∴，∴，∴.故选：C6.随机变量服从若则下列选项一定正确的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由正态分布的性质逐项判定即可.【详解】因为由正态分布的对称性，可得，正态分布方差无法判断，，，所以ABD错误.故选:：C7.已知正方体的棱长为，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合图形找出球心并计算出四面体外接球的半径，进而求出外接球的体积即可.【详解】如图：取中点，连结，因为的棱长为的正方体，所以，且，所以四面体的外接球的球心为为，且外接球半径，所以四面体的外接球的体积.故选：D.8.已知定义域为R的函数，满足，且，则以下选项错误的是（）A. B.图象关于对称C.图象关于对称 D.为偶函数【答案】B【解析】【分析】由赋值法令可判断A；由赋值法令可判断B；由赋值法令，结合对称性的性质可判断C；由赋值法令结合偶函数的定义可判断D.【详解】对于A，令，则，所以f1=0，故A正确；对于B，令，则，即，解得：或，因为，所以，令，，所以，所以图象不关于2,0对称，故B错误；对于C，令，则有即，故图象关于1,0对称，故C正确.对于D，令，则有即，即，即，因为函数的定义域为R，所以为偶函数，故D正确.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用初等函数的导数公式以及复合函数求导法则、导数的运算法则，可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，，A错误；对于B选项，，B错误；对于C选项，，C正确；对于D选项，，D正确.故选：CD.10.已知事件A与B发生的概率分别为，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用概率的运算性质，即可得出判断.【详解】对于A，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，所以，不一定成立，故A错误；对于B，由于，则，则，故B正确；对于C，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，所以，也不一定成立，故C错误；对于D，，故，故D正确；故选：BD.11.函数y=fx的定义域为，区间，对于任意，，恒满足，则称函数在区间上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（）A. B.C D.【答案】AD【解析】【分析】对A：，结合对数函数性质化简即可得；对B：，举出反例即可得；对C：，化简即可得；对D：，化简即可得.【详解】对A：，，，由在0,+∞上单调递增，故其等价于，化简可得，故满足题意，故A正确；对B：，，，取，，可得，，又，故此时不满足题意，故B错误；对C：，，，化简得恒成立，不满足题意，故C错误；对D：，，，左右平方后化简可得，故满足题意，故D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为______.【答案】【解析】【分析】根据题意答对的题目数满足二项分布，再根据二项分布概率公式计算即可得答案.【详解】解：某人参加考试，4道题目中，答对的题目数满足二项分布，所以故答案为：13.已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个二次函数的表达式_______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】设fx=【详解】设fx则，由题意知，解之得，显然c的取值不改变结果，不妨取，则.故答案为：14.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触（如图）．勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD内放入一个球，则该球的球半径最大值是_______．【答案】【解析】【分析】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球，求出勒洛四面体内切球的半径,即可得出结果．【详解】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球，由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心，正外接圆半径，正四面体的高，设正四面体的外接球半径为，在中，，解得，因此，勒洛四面体内切球半径为.故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算．（1）求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率；（2）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）（2）答案见详解【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式可求解；（2）的所有取值为80，85，90，利用古典概型概率公式可求分布列，进而可求期望.【小问1详解】从6张奖券中，任取2张奖券共有种选法，抽到的两张奖券相同的有3种选法，所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为.【小问2详解】的所有可能取值为80，85，90，，，，的分布列为：808590.16.如图，在四棱锥中，，，，，平面，，E，F分别是棱，的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）由中位线易证明四边形平行四边形，进而得到，进而得到平面；（2）由题易知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，计算得解.【小问1详解】如图，连接，因为分别为的中点，所以，，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，则，因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为平面，平面，所以，，又，是平面内两条相交直线，平面，又平面，，所以两两互相垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则A0,0,0，，，，，，，，，设平面的一个法向量为n1=则，即，令，得，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，，设二面角的平面角为，，则.所以二面角的正弦值为.17.我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：，当且仅当时，等号成立．（1）证明“三元不等式”：．（2）已知函数．①解不等式；②对任意x∈0,+∞，恒成立，求实数【答案】（1）见解析（2）①；②.【解析】【分析】（1）先证明，，，再将三式相加结合基本不等式即可证明；（2）①移项通分化为整式不等式，解高次不等式即可得出答案；②由三元不等式求出在0,+∞的最小值，可以将题意转为在x∈0,+∞恒成立，即，解不等式即可得出答案小问1详解】因为，则（当且仅当时取等），所以（当且仅当时取等），同理（当且仅当时取等），（当且仅当时取等），三式相加可得：，又因为，所以，所以（当且仅当时取等）.【小问2详解】①由可得：，所以，即，即，则，所以，解得：②因为当x∈0,+∞当且仅当，即时取等，所以当x∈0,+∞对任意x∈0,+∞则，所以，解得：.所以实数的取值范围为：.18.在如图所示的平行六面体中，，．（1）求的长度；（2）求二面角的大小；（3）求平行六面体的体积．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用空间向量的数量积公式与模长关系计算即可；（2）根据二面角的定义先作出其平面角，再利用空间向量的数量积公式计算即可；（3）结合（2）的结论，计算B到面的距离，结合柱体的体积公式计算即可.【小问1详解】根据图形可知：，则；【小问2详解】作，则等于二面角的一个平面角，因为，，则，易知，所以，所以，即二面角的大小为；【小问3详解】由（2）知平面，而四边形的面积，则平行六面体的体积.19.已知函数．（1）函数是否具有奇偶性?为什么?（2）当时，求的单调区间；（3）若有两个不同极值点，，证明：．【答案】（1）函数不具有奇偶性（2）的单调递增区间为，单调递减区间为（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可.（2）根据导函数求单调区间即可.（3）由题知即有两个不等的实根，令，所以有两个不等的正数根，可得，且，进而