27对数与对数函数讲义教师版

27对数与对数函数讲义高考要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的关系．[知识总结]1．对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN；以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0增函数减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．常用结论1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1，b>0)．2.如图，给出4个对数函数的图象．则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．课前自测1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M＝N，则logaM＝logaN.(×)(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．(×)(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数．(×)(4)函数y＝log2x与y＝log12x的图象关于x2．(2023·雅安模拟)已知xlog32A．9B．3C.eq\r(3)D.eq\f(1,3)答案：A；解析：xlog32＝1，即x＝eq\f(1,log32)＝log23，所以4x＝3．函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为()答案：A；解析：f(x)＝loga|x|＋1的定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝logax＋1(a>1)单调递增．结合选项可知选A.4．已知函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．答案：(2,4)；解析：对于函数y＝loga(x－1)＋4，令x－1＝1，解得x＝2，则y＝4，所以函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点(2,4)，即点P的坐标是(2,4).[考点题型]考点一对数式的运算[例1](1)(2024全国甲卷理真题T15)已知，1log8a−1答案：64；解析：由题，整理得或，又，所以，故；故答案为：64.(2)(2024北京卷卷真题T7)生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（）A.B.C.D.答案：D；解析：，则，即，所以.故选：D.(3)(2024·洛阳模拟)已知3a＝5b＝m，且eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，则实数m的值为________．答案：45；解析：由3a＝5b＝m，可知m>0，显然m≠1.则a＝log3m＝eq\f(lgm,lg3)，b＝log5m＝eq\f(lgm,lg5)，所以eq\f(1,a)＝eq\f(lg3,lgm)，eq\f(1,b)＝eq\f(lg5,lgm)，由eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，可得eq\f(2lg3＋lg5,lgm)＝eq\f(lg45,lgm)＝logm45＝1，所以m＝45.(4)计算：log535＋－log5eq\f(1,50)－log514＝________.答案：2；解析：原式＝log535－log5eq\f(1,50)－log514＋＝log5eq\f(35,\f(1,50)×14)＋＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.思维升华解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．[对点训练1](1)若a>0，a23=A．2B．3C．4D．5答案：B；解析：由a23=49，得a2＝(23)(2)计算：lg25＋lg2×lg50＋(lg2)2＝_____________.答案：2；解析：原式＝2lg5＋lg2(1＋lg5)＋(lg2)2＝2lg5＋lg2＋lg2×lg5＋(lg2)2＝1＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)＝1＋lg5＋lg2＝1＋lg10＝2.考点二对数函数的图象及应用[例2](1)(多选)y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A.a＞1B.0＜c＜1C.0＜a＜1D.c＞1答案：BC；解析：由图象可知0＜a＜1，令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0＜1－c＜1，∴0＜c＜1.(2)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1答案：A；解析：由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得eq\f(1,a)<b<1.综上，0<a－1<b<1.(3)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，0<x≤10，,－\f(1,2)x＋6，x>10，))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是()A．[10,12]B．(10,12]C．(10,12)D．[10,12)答案：C；解析：不妨设a<b<c，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可知0<a<1<b<10<c<12，由f(a)＝f(b)，得|lga|＝|lgb|，即－lga＝lgb，∴lgab＝0，则ab＝1，∴abc＝c，又10<c<12，∴abc的取值范围是(10,12)．思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[对点训练2](1)(2024·乌鲁木齐检测)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数f(x)＝ax与g(x)＝(a>0且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是()答案：C；解析：对于A，a>1，则0<eq\f(1,a)<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，0<a<1，则1a>1，即函数g(x)在(0，＋∞对于C，a>1，则0<1a<1，即函数g(x)在(0，＋∞对于D，a>1，则0<1a<1，即函数g(x)在(0，＋∞(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图，则f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为()答案：D；解析：由函数y＝ax的图象可得a>1.当a>1时，y＝logax经过定点(1,0)，为增函数．因为y＝logax与y＝loga(－x)的图象关于y轴对称，所以y＝loga(－x)经过定点(－1,0)，为减函数．而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的图象向右平移一个单位长度得到的，所以f(x)＝loga(－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．结合选项可知选D.考点三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小[例31]1.(2024天津卷T5)若，则的大小关系为（）A B. C. D.答案：B；解析：因为在上递增，且，所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以，故选：B2.已知a＝log20.3，b＝ln3，c＝log32，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>cB．b>c>aC．b>a>cD．c>a>b答案：B；解析：∵a＝log20.3<log21＝0，b＝ln3>lne＝1，0＝log31<log32<log33＝1，即0<c<1，∴b>c>a.命题点2解对数方程、不等式[例32](2023·衡阳模拟)若loga12A.(22,1)∪(1，＋∞)B.(0,22)C.(2答案：D；解析：因为loga12<2，所以loga12<logaa2.当0<a<1时，对数函数为减函数，所以eq\f(1,2)>a2，可得0<a<eq\f(\r(2),2)；当a>1时，对数函数为增函数，所以eq\f(1,2)<a2，可得a>1，综上所述，a的取值范围为(0,22)∪(1，＋∞)．命题点3对数函数的性质及应用[例33](2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A．是偶函数，且在(12,+∞)C．是偶函数，且在(−∞,−12)答案：D；解析：由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，得f(x)的定义域为xx又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为定义域上的奇函数，故排除A，C；当x∈(−12,12)时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，∵y＝ln(1－2x)在(−12,12)上单调递减，∴当x∈(−∞,−12)时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)＝ln∵u＝1＋eq\f(2,2x－1)在(−∞,−12)上单调递减，f(u)＝lnu在(0，＋根据复合函数单调性可知f(x)在(−∞思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．[对点训练3](1)(2023·宜宾模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．[2，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，1]D．(－∞，0]答案：A；解析：由题意得，x2－2x>0⇒x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)，而函数y＝x2－2x的对称轴为x＝1，所以函数y＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，又因为函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增，所以a∈[2，＋∞)．(2)若函数f(x)＝loga(x2−2ax+A.(0,12)B.(12,1)C.答案：B；解析：令t＝x2－2ax＋eq\f(5,2)a－1，根据复合函数单调性，要使函数f(x)＝loga(x2−2ax+5则函数t＝x2－2ax＋eq\f(5,2)a－1有最小正值，且函数f(t)＝logat为减函数，可知0<a<1.要使函数t＝x2－2ax＋eq\f(5,2)a－1有最小正值，则Δ＝4a2－4(52