2025届高考数学一轮复习单元双优测评卷-第五章一元函数的导数及其应用B卷含解析

PAGEPAGE26第五章一元函数的导数及其应用B卷培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（）A．-8 B．-3 C．4 D．62．若函数存在零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．3．已知函数，若不等式对随意恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．5．已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．6．定义：若存在n个正数，使得，则称函数为“n阶奇性函数”.若函数是“2阶奇性函数”，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知为定义在上的偶函数，是的导函数，若当时，，则不等式的解集是（）A． B． C． D．8．已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．假如函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的推断正确的是（）A．在区间内单调递减 B．在区间内单调递增C．是微小值点 D．是极大值点10．若直线与曲线满意下列两个条件：①直线在点处与曲线相切；②曲线在点旁边位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.则下列结论正确的是（）A．直线在点处“切过”曲线B．直线在点处“切过”曲线C．直线在点处“切过”曲线D．直线在点处“切过”曲线11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（）．A．当时，B．函数有五个零点C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是D．对，恒成立12．若函数的值域为，则（）A． B．C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为____14．已知函数，，若，则的最小值为______.15．定义在上的函数满意：，且当时，，则不等式的解集为______．16．关于函数有如下四个命题：①的图象关于原点对称；②在，上单调递增；③函数共有6个极值点；④方程共有6个实根．其中全部真命题的序号是__．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数.（1）若在时有极值，求函数的解析式；（2）当时，，求的取值范围.18．设函数．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和微小值（其中为自然对数的底数）；（2）若对任何恒成立，求的取值范围．19．已知函数，其中．（1）当时，求的单调区间；（2）若在内有极值，试推断极值点的个数并求的取值范围．20．已知函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间和极值；（3）当时，探讨函数的零点个数.21．已知函数，，．（1）当时，求的单调区间；（2）若，且的极大值大于0，求实数的取值范围．22．已知函数和函数.（1）求函数的微小值；（2）探讨函数的极值点的个数，并说明理由；（3）是否存在正实数使函数的极值为，若存在求出的值，若不存在，说明理由一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（）A．-8 B．-3 C．4 D．6【答案】A【解析】因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为2，设直线与相切于，因为，所以，解得，故直线与相切于，设直线与相切于，因为，则，解得，则，所以直线的方程为，即，在直线上，则，解得.故选：A.2．若函数存在零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数存在零点，即有根.因为，所以有根.设，则，即令，则，当时，，所以在上单增；当时，，所以在上单减；所以当时，y有最小值1.要使有解，只需.故选：B.3．已知函数，若不等式对随意恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，函数，可得，所以函数为偶函数，当时，可得，令，可得，所以函数为单调递增函数，所以，可得，所以在上单调递增，则不等式对随意恒成立，等价于不等式对随意恒成立，即对随意恒成立，即对随意恒成立，所以对随意恒成立，则对随意恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是．故选：D．4．已知，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】令函数，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，所以，因为，，，所以，，，所以，即，因为，可得，又因为，则，同理，，所以，，因为当时，，函数单调递减，所以．故选：C．5．已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，当时，上式可变形为：，问题转化为：当时，恒成立，设，，，因为，，所以，因此，所以当时，单调递减，当时，单调增，故，要想当时，恒成立，只需，设，，，当时，，所以函数单调递增，而，明显当，成立，故选：B6．定义：若存在n个正数，使得，则称函数为“n阶奇性函数”.若函数是“2阶奇性函数”，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，方程有且只有两个正根，即有且只有两个正根，方程可以化为：，因此转化为函数与在y轴右侧的图象有两个交点，先探讨函数的图象，因为，当时，；当时，且当x=1时，y=0，y'=1，在x=1处切线的斜率是1，简图如图所示：直线过点(1，0)斜率为m，由图像有两个交点，可以得到m>0且.故选：D7．已知为定义在上的偶函数，是的导函数，若当时，，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，在为减函数，而，而在上，，，所以；在上，，，所以；由在成立，可知，∴在上，，又函数为偶函数，∴在上，不等式等价于，∴.故选：A.8．已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：∵函数在上单调递增，∴当时，有；当时，恒成立，令，，则，∵，∴，即在上单调递增，∴，要使当时恒成立，则，解得.∵函数在上单调递增，∴还须要满意，即，综上，的取值范围是.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．假如函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的推断正确的是（）A．在区间内单调递减 B．在区间内单调递增C．是微小值点 D．是极大值点【答案】BD【解析】解：．函数在区间内，则函数单调递增；故不正确，．函数在区间的导数为，在区间上单调递增，正确；．由图象知当时，函数取得微小值，但是函数没有取得微小值，故错误，．时，，当时，，为增函数，，此时此时函数为减函数，则函数内有极大值，是极大值点；故正确，故选：．10．若直线与曲线满意下列两个条件：①直线在点处与曲线相切；②曲线在点旁边位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.则下列结论正确的是（）A．直线在点处“切过”曲线B．直线在点处“切过”曲线C．直线在点处“切过”曲线D．直线在点处“切过”曲线【答案】ACD【解析】A项,因为,当时,,所以是曲线在点处的切线.当时,；当时,,所以曲线在点旁边位于直线的两侧,结论正确；B项,,当时,,在处的切线为.令,则,当时,；当时,,所以.故,即当时,曲线全部位于直线的下侧（除切点外）,结论错误；C项,,当时,,在处的切线为,由正弦函数图像可知,曲线在点旁边位于直线的两侧,结论正确；D项,,当时,,在处的切线为,由正切函数图像可知,曲线在点旁边位于直线的两侧,结论正确.故选：ACD.11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（）．A．当时，B．函数有五个零点C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是D．对，恒成立【答案】AD【解析】设，则，所以，又函数是定义在上的奇函数，所以，所以，即故A正确．当时，，所以，令，解得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得微小值，当时，，又，故函数在仅有一个零点．当时，，所以函数在没有零点，所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数，故函数在上仅有一个零点，又，故函数是定义在上有3个零点．故B错误．作出函数的大致图象，由图可知若关于的方程有解，则实数的取值范围是.故C错误．由图可知，对，故D正确．故选：AD．12．若函数的值域为，则（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】时，，，单调递增，∴，A正确；时，，，单调递减，∴，∵值域是，∴，B正确；设，则，当时，．单调递增，∴，即，又，而在递减，∴，C错；设，则，令，则在时恒成立，在上单调递增，因此时，，，∴是减函数，又，∴，即，，D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为____【答案】【解析】由题意，函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，即在区间(－2，1)上恰有一个变号零点令，即在区间(－2，1)上有唯一的变号零点依据二次函数根的分布可知：，即此时端点值是否成立不确定.（1）当时，在区间(－2，1)上有唯一的变号零点，成立；（2）当时，在区间(－2，1)上恒小于0，不成立；综上，实数a的取值范围为故答案为：14．已知函数，，若，则的最小值为______.【答案】【解析】设，即，，解得，，所以，令，则，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以的最小值为.故答案为：.15．定义在上的函数满意：，且当时，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】因为，所以，令，则，所以为奇函数．又因为当时，，所以在上单调递减，即在上单调递减．而不等式，所以，所以．故答案为：16．关于函数有如下四个命题：①的图象关于原点对称；②在，上单调递增；③函数共有6个极值点；④方程共有6个实根．其中全部真命题的序号是__．【答案】①②④【解析】解：对于①，的定义域为，，故是奇函数，的图象关于原点对称，故①正确；对于②，，故当时，，在，上单调递增，故②正确；对于③，令可得，故在和，上单调递增，在，上单调递减，令可得或，作出的函数图象，由图象可知只有5个极值点，故③错误；对于④，是奇函数，故是偶函数，的极大值为，有6个根，故④正确．故答案为：①②④.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数.（1）若在时有极值，求函数的解析式；（2）当时，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】小问1：由可得的值，进而可得表达式，然后进行检验符合条件即可；小问2：依据题意可得对于恒成立，令，只需，利用导数解析的单调性结合由洛必达法则，则最值即可求解.（1）因为，所以，由在处取极值，得，求得，当时，；当时，；则在时有极大值，符合题意，所以；（2）当时，，即.①当时，；②当时，等价于，也即.记，，则.记，，则，因此在上单调递增，且，所以；从而在上单调递增，所以，由洛必达法则有：，即当时，，所以，即有，综上所述，当，时，成立．18．设函数．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和微小值（其中为自然对数的底数）；（2）若对任何恒成立，求的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为，微小值为2；（2）.【解析】（1）由条件得，∵在点处的切线与垂直，∴此切线的斜率为0，即，有，得，∴，由得，由得．∴在上单调递减，在上单调递增，当时，取得微小值．故的单调递减区间为，微小值为2（2）条件等价于对随意恒成立，设．则在上单调递减，则在上恒成立，得恒成立，∴（对仅在时成立），故的取值范围是19．已知函数，其中．（1）当时，求的单调区间；（2）若在内有极值，试推断极值点的个数并求的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）答案见解析，的取值范围为．【解析】（1）依据题意，函数的定义域为，则有，当时，对于随意，恒成立，令；令；所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）若函数在内有极值，则在内有解；令，解之可得，，令，则有，当时，恒成立，即得在上单调递减，又因为，所以在的值域为，所以当时，有解，设，则，；所以函数在上单调递减，因为，（1），所以在区间上有唯一解，即得当时，在上单调递减；当，时，在，上单调递增，即得当时，在内有极值且唯一；当时，在区间上，恒有单调递增，没有极值，不符合题意．故的取值范围为．20．已知函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间和极值；（3）当时，探讨函数的零点个数.【答案】（1）（2）在，上单调递增；在上单调递减，；（3）答案见解析【解析】（1）由，求导，进而得到，，写出切线方程；（2）求导，依据函数在处取得极值，求得，再利用导数法求解；（3）令，将问题转化为，利用数形结合法求解.（1）解：当时，，，，，故所求切线方程为，即；（2）（2）因为，所以，因为函数在处取得极值，所以，即，解得，经检验，当时，为函数的极大值点，符合题意，此时，函数的定义域为，，由，解得或；由，解得，所以的增区间是，；减区间是，当时，；当时，；（3）令，，由，解得；由，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，作出函数的图象，如图所示：因为，即，所以，由图象知：当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，当时，，当时，，有两个零点21．已知函数，，．（1）当时，求的单调区间；（2）若，且的极大值大于0，求实数的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，详细见解析（2）【解析】(1)当时，，通过的导数，依据的范围探讨单调区间(2)由（1）中探讨结果及，且的极大值大于0，可通过分别参数转化为在上恒成立问题，构造函数令，通过求导（需二次求导）确定单调性确定实数的取值范围.（1）函数的定义域为，当时，，，①当时，在上，在上单调递增．②当时，令，得，在上，，在上，，在上单调递增，在上单调递减．综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）知当时，