球的切接问题专题高三数学一轮复习

第2课时球的切、接问题【原卷版】几何体的外接球【例1】（1）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.100π B.128πC.144π D.192π（2）已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝.1.已知三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A.7143π C.56π D.14π2.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥OABC的体积为（）A.212 B.C.24 D.几何体的内切球【例2】（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点；（2）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为.1.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）A.6π6 C.π6 D.2.已知三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，AC＝4，BC＝3，AB＝5，PA＝3，则该三棱锥的内切球的体积为.与球切、接有关的最值问题【例3】（1）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.13 B.C.33 D.（2）在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是.1.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为（）A.123 B.183C.243 D.5432.在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是.1.正方体的外接球与内切球的表面积之比为（）A.3 B.33C.3 D.12.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.π B.3C.π2 D.3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为（）A.16π B.20πC.24π D.32π4.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）（）A.96π B.84πC.42π D.16π5.（多选）已知球O的半径为62，则下列结论正确的是（A.球O的表面积为6πB.球O的内接正方体的棱长为1C.球O的外切正方体的棱长为4D.球O的内接正四面体的棱长为26.（多选）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是（）A.半径是3 B.体积为18πC.表面积为27π D.表面积为18π7.已知三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝1，SB＝SC＝2，则三棱锥SABC的外接球的半径是.8.已知正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面面积分别为934，93，若AA1＝30，9.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，关于圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比说法正确的是（）A.体积之比32 B.体积之比C.表面积之比12 D.表面积之比10.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为（A.3π B.4πC.9π D.12π11.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A.64π B.48πC.36π D.32π12.（多选）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为3－1，则下列说法中正确的是（）A.正方体的外接球的表面积为12πB.正方体的内切球的体积为4C.正方体的棱长为2D.线段MN的最大值为2313.一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为14.若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为4π3，当该圆锥体积取最小值时，15.如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中有两个球，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为.16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，求所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值.第2课时球的切、接问题【解析版】几何体的外接球【例1】（1）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.100π B.128πC.144π D.192π（2）已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝.答案：（1）A（2）2解析：（1）由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为23×32×33＝3，23×32×43＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO12＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO22＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，（2）法一如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝23×32×3＝3.将三棱锥SABC补形为正三棱柱SB1C1ABC，由题意知SA为侧棱，设球心为O，连接OO1，OA，则OO1⊥平面ABC，且OO1＝12SA.又球的半径R＝OA＝2，OA2＝OO12＋O1A2，所以4＝14SA2＋法二如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝23×32×3＝3.设三棱锥SABC的外接球球心为O，连接OO1，则OO1⊥平面ABC.又SA⊥平面ABC，所以OO1∥SA，连接OS，OA，由题意知OS＝OA＝2.过O作SA的垂线，设垂足为H，则四边形AO1OH为矩形，所以OO1＝AH，由OS＝OA可知H为SA的中点，则OO1＝AH＝12SA.所以在Rt△OO1A中，由勾股定理可得OA2＝OO12＋O1A2，即4＝14SA2＋1.已知三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A.7143π C.56π D.14π解析：B以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PAB'BCA'P'C'被平面ABC所截的三棱锥PABC符合要求，如图，长方体PAB'BCA'P'C'与三棱锥PABC有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP'，设外接球的半径为R，则（2R）2＝PP'2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，则所求表面积S＝4πR2＝π·（2R）2＝14π.2.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥OABC的体积为（）A.212 B.C.24 D.解析：A如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝2.连接OO1，则OO1⊥面ABC，OO1＝1－AB22＝1－222＝22，所以三棱锥OABC的体积V＝13S△ABC×OO1＝13几何体的内切球【例2】（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点；（2）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为.答案：（1）12（2）23解析：（1）不妨设正方体棱长为2，EF中点为O，取CD，BB1中点G，M，侧面BB1C1C的中心N，连接FG，EG，OM，ON，MN，如图，由题意可知，O为球心，在正方体中，EF＝FG2＋EG2＝22＋22＝22，即R＝2，则球心O到BB1的距离为OM＝ON2＋MN2＝12＋12＝2，所以球O与棱BB1相切，球面与棱BB1（2）易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin∠BPE＝ROP＝BEPB＝13，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝PB2－BE2＝32－12＝22，所以R＝22，1.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）A.6π6 C.π6 D.解析：C平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，∵正方体棱长为1，∴AC＝CD1＝AD1＝2.∴内切圆半径r＝tan30°·AE＝33×22＝66.∴S＝πr2＝π×16＝2.已知三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，AC＝4，BC＝3，AB＝5，PA＝3，则该三棱锥的内切球的体积为.答案：32解析：因为AC＝4，BC＝3，AB＝5，所以AC2＋BC2＝AB2，所以△ABC为直角三角形.因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，所以PC＝PA2＋AC2＝5.因为BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC.所以三棱锥PABC的表面积S＝12×4×3＋12×4×3＋12×5×3＋12×5×3＝27，且三棱锥PABC的体积VPABC＝13×12×4×3×3＝6.设三棱锥PABC的内切球的半径为R，则由VPABC＝13SR＝9R＝6，解得R＝23，所以三棱锥PABC的内切球的体积V与球切、接有关的最值问题【例3】（1）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.13 B.C.33 D.（2）在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是.答案：（1）C（2）[22，23]解析：（1）法一（特殊法）不妨设四棱锥的底面是正方形，边长为a，底面正方形外接圆的半径为r，则r＝22a，四棱锥的高h＝1－a22，所以四棱锥的体积V＝13a21－a22＝43a24·a241－a22≤43a24＋a2法二（导数法）设四棱锥的底面是正方形，底面正方形外接圆的半径为r，四棱锥的高为h，则r2＋h2＝1，r＝1－ℎ2，正方形的边长为2r＝21－ℎ2，所以四棱锥的体积V＝13Sh＝23（1－h2）h＝23（－h3＋h）.令f（h）＝－h3＋h（0＜h＜1），则f'（h）＝－3h2＋1，令f'（h）＝－3h2＋1＝0，得h＝33，所以f（h）在0，33上单调递增，在33，1上单调递减，所以当h＝法三（转化法）该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大，设圆锥的高为h（0＜h＜1），底面半径为r，则圆锥的体积V＝13πr2h＝13π（1－h2）h，则V'＝13π（1－3h2），令V'＝13π（1－3h2）＝0，得h＝33，所以V＝13π（1－h2）h在0，33上单调递增，在33，1（2）当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，设正方体的外接球直径为2R，则2R＝AC1＝42＋42＋42＝43，即R＝23.分别取侧棱AA1，BB1，CC1，DD1的中点M，H，G，N，显然四边形MNGH是边长为4的正方形，且O为正方形MNGH的对角线交点，连接MG，则MG＝42，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆时，球的半径最小，即R'＝22.综上，球O半径的取值范围为[.、1.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为（）A.123 B.183C.243 D.543解析：B由等边△ABC的面积为93，可得34AB2＝93，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝33AB＝23.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱锥DABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥DABC体积的最大值为132.在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是.答案：9解析：易知AC＝10.设△ABC的内切圆的半径为r，则12×6×8＝12×（6＋8＋10）·r，所以r＝2.因为2r＝4＞3，所以球的最大直径2R＝3，即R＝32，此时球的体积V＝43πR1.正方体的外接球与内切球的表面积之比为（）A.3 B.33C.3 D.1解析：C设正方体的外接球的半径为R，内切球的半径为r，棱长为1，则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即2R＝3，所以R＝32，正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2r＝1，即r＝12，所以Rr＝3，正方体的外接球与内切球的表面积之比为4π2.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.π B.3C.π2 D.解析：B如图，画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝12.∴底面圆半径r＝OA2－OM2＝32，故圆柱体积V＝π·r2·h＝π·（3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为（）A.16π B.20πC.24π D.32π解析：A如图所示，在正四棱锥PABCD中，O1为底面对角线的交点，O为外接球的球心.V四棱锥PABCD＝13×S正方形ABCD×3＝6，所以S正方形ABCD＝6，即AB＝6.因为O1C＝126+6＝3.设正四棱锥外接球的半径为R，则OC＝R，OO1＝3－R，所以（3－R）2＋（3）2＝R2，解得R＝2.所以外接球的表面积为4π×24.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）（）A.96π B.84πC.42π D.16π解析：B若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长，即2R＝82＋（2+2）2＋22＝221，所以R＝21，球形容器的表面积S＝5.（多选）已知球O的半径为62，则下列结论正确的是（A.球O的表面积为6πB.球O的内接正方体的棱长为1C.球O的外切正方体的棱长为4D.球O的内接正四面体的棱长为2解析：AD球的表面积为4π×（62）2＝4π×64＝6π，A正确.正方体的体对角线长为2×62＝6，棱长为63＝2，B错误.球的外切正方体的棱长为2×62＝6，C错误.将正四面体AB1CD1补形为正方体如图所示，正方体的体对角线长为2×62＝6，棱长为63＝2，所以正四面体的棱长为2×2＝2，6.（多选）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是（）A.半径是3 B.体积为18πC.表面积为27π D.表面积为18π解析：ABC如图，△PAC是正四棱锥的对角面，设球半径为r，AC是半圆的直径，则正四棱锥底面边长为2r，棱锥体积为V＝13×（2r）2×r＝23r3＝18，r＝3，半球体积为V＝23πr3＝23π×33＝18π，表面积为S＝2π×32＋π×32＝27π，故选A7.已知三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝1，SB＝SC＝2，则三棱锥SABC的外接球的半径是.答案：3解析：如图所示，将三棱锥补为长方体，则该三棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设外接球半径为R，则（2R）2＝12＋22＋22＝9，∴4R2＝9，R＝32.即三棱锥SABC的外接球的半径是38.已知正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面面积分别为934，93，若AA1＝30，解：若正三角形的边长为a，则其面积为12×a×a×32＝34结合题意，可得AB＝3，A1B1＝6.如图，取△ABC，△A1B1C1外接圆的圆心O，O2，正三棱台ABCA1B1C1外接球的球心O1，连接OA，OO2，O1A，O1A1，O2A1，设点A在底面上的射影为M，连接AM，易知M在O2A1上，OA＝O2M＝3，O2A1＝23，则MA1＝3，由AA1＝30，可得OO2＝MA＝AA12－设正三棱台外接球的半径为R，则O1A＝O1A1＝R，可得R2＝所以该正三棱台的外接球的表面积S＝4πR2＝60π.9.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，关于圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比说法正确的是（）A.体积之比32 B.体积之比C.表面积之比12 D.表面积之比解析：A设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，∴V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝43πR3.∴V圆柱V球＝2πR343πR3＝32；S圆柱＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，S球10.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为（A.3π B.4πC.9π D.12π解析：B如图所示，由球的体积为32π3，可得该球的半径R＝2，由题意得，两个圆锥的高O'S，O'P分别为1和3，∵PS为球O的直径，∴△PAS为直角三角形，又∵O'A⊥PS，∴可得截面圆半径O'A＝3，∴这两个圆锥的体积之和为V＝13π·（3）2·（3＋1）＝4π11.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A.64π B.48πC.36π D.32π解析：A如图所示，设球O的半径为R，☉O1的半径为r，因为☉O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以ABsin60°＝2r，解得AB＝23，故OO1＝23，所以R2＝OO12＋r2＝（23）2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝12.（多选）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为3－1，则下列说法中正确的是（）A.正方体的外接球的表面积为12πB.正方体的内切球的体积为4C.正方体的棱长为2D.线段MN的最大值为23解析：ABC设正方体的棱长为a，则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，即32a；内切球的半径为棱长的一半，即a2.∵M，N分别为外接球和内切球上的动点，∴MNmin＝32a－a2＝3－12a＝3－1，解得a＝2，即正方体的棱长为2，∴正方体外接球的表面积为4π×（3）2＝12π，内切球体积为4π3，则A、B、C正确；线段MN13.一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为答案：4解析：设正六棱柱底面边长为a，正六棱柱的高为h，球的半径为R，则a＝12，底面积为S＝6×34×（12）2＝338，V柱＝Sh＝338h＝98，解得h＝3，∴R2＝（32）2＋（12）2＝114.若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为4π3，当该圆锥体积取最小值时，解：法一因为圆锥的内切球的体积为4π3，如图，设圆锥底面半径为R，高为h.由△AOF∽△ACE可得OFCE＝AOAC，即1R＝ℎ－1R2＋ℎ2，则R2＝ℎℎ－2（h＞2），所以圆锥的体积为V＝13πR2h＝1因为h－