6.5.2平面与平面垂直的性质（教学设计）高一数学（北师大版2019）

北师大版必修第二册第六章《立体几何初步》6.5.2平面与平面垂直的性质（教学设计）【教学目标】1.掌握二面角及其平面角的概念；（数学抽象、直观想象）2.理解并掌握平面与平面垂直的性质定理，会应用平面与平面垂直的性质定理进行说理或证明（直观想象、逻辑推理）【教学重点】二面角及其平面角的概念【教学难点】平面与平面垂直的性质定理的应用【教学过程】一、实例分析，提出问题问题1：平面几何中“角”是怎么定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”，“直线与平面所成的角”又是怎样定义的？问题3：关于“角”的定义？有什么共同的特征吗？问题4：如何定义两个平面所形成的角？本节课我们将要一起学习二面角的平面角来刻画两个平面所形成的角思考1：平面是无限延展的，一条直线把平面分成几部分？每一部分如何定义？一条直线把平面2部分，其中每一部分称为半平面思考2：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫什么？从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱；这两个半平面叫做二面角的面．思考3：如图所示，如何表示以直线AB为棱，半平面α、β为面的二面角？以直线AB为棱，以α、β为半平面的二面角记为二面角α－AB－β．思考4：如何度量二面角？二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角．思考5:如何找二面角的平面角？以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．思考6：当二面角是直角时，两个平面是什么位置关系？平面角是直角的二面角叫做直二面角．思考7：二面角的范围是什么？二面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗？二面角的范围是［0，π］．二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关．思考8：若两个平面垂直，一个平面内的直线与另一个平面有何位置关系？一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面有什么位置关系？平行、垂直、斜交；一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．思考9：已知两个平面垂直时，可以得到那些垂直关系？已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直二、抽象概括，得出概念1.二面角（1）定义：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面（2）符号：记作：二面角α－AB－β或α－l－β（3）图示2.二面角的平面角（1）定义：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角．平面角是直角的二面角称为直二面角（2）符号：∠AOB就是二面角αlβ的平面角（3）图示【概念辨析】二面角与平面几何中的角有什么区别？平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．3.平面与平面垂直的定义（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作：α⊥β．（2）图示两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图所示．4.平面与平面垂直的性质（1）文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直（2）图示：【概念辨析】判断下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”(1)二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直． ()(2)对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱上的位置有关． ()(3)已知平面α⊥β，α∩β＝a，若b⊥a，则b⊥α或b⊥β. ()【参考答案】(1)正确．由线面垂直的判定定理及二面角平面角的定理可知其正确．(2)错误．平面角的大小与顶点在棱上的位置无关．(3)错误．三、典例剖析，理解概念应用一、求二面角的平面角课本P243例5如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角．沿这条路向上走100米，升高了多少？解析：如图所示，要求升高了多少米，即需要求点D到水平面α的距离DH．已知二面角αABβ是60度，只要过D点在平面内作DG⊥AB，G点是垂足，连结HG，则HG⊥AB，∠DGH就是该二面角的平面角，即∠DGH=60°．根据∠DCH=60°及直角三角形DGH和DCG的边角关系，得【方法点拨】求二面角的三种方法(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．【当堂训练】如右图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC.求二面角P­BC­A的大小.解∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P­BC­A的棱，∴∠PCA是二面角P­BC­A的平面角.∵PA＝AC，∴△PAC是等腰直角三角形.∴∠PCA＝45°.故二面角P­BC­A的大小是45°.应用二、平面与平面垂直的性质的应用课本P244例6课本P245例7【方法点拨】平面与平面垂直的性质定理应用若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．【当堂训练】如右图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，G为AD的中点，且∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.证明(1)如下图，在菱形ABCD中，连接BD.∵∠DAB＝60°，AB＝AD，∴△ABD为正三角形.∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，∴BG⊥平面PAD.(2)如上图，连接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G，PG，BG⊂平面PBG，∴AD⊥平面PBG.∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.四、迁移应用，掌握概念1.如右图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证AD⊥AC.证明：∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.又∵AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC.又∵AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.五、当堂检测，巩固达标1．在正方体ABCD-A'B'CA．30∘ B．45∘ C．60∘2．如图，已知PA⊥α，PB⊥β，垂足为A、B，若∠APB=60°，则二面角α-l-β的大小是．3．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，CD∥AB，PA=PD=AD=DC=2，AB=4，【参考答案】1．B【详解】如图，由正方体的性质易知AB⊥平面ADD'A'，AD⊂平面ADD'则AB⊥AD,AB⊥AD'，而平面ABCD∩平面ABC'D'=AB所以∠D'AD=45∘，即二面角D2．120°/2π3【详解】设二面角α-l-β的大小为θ，因为PA⊥α，PB⊥β，垂足为A、B所以θ+∠APB=180°，又∠APB=60°，所以θ=180°-∠APB=120°.故答案为：120°3．证明：在四边形ABCD中，因为CD//AB，AD=2，AB=4，由余弦定理得，BD解得BD2=12，所以AD2+BD2=AB2，即BD⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面六、课堂小结，升华素养七、布置作业，即时检测1．长方体ABCD­A1B1C1D1中，2．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA(1)求证：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G