1.1.2空间向量的数量积运算课件高二上学期数学人教A版选择性

第一章空间向量与立体几何空间向量的数量积运算人教A版

数学

选择性必修第一册课程标准1.理解空间两个向量夹角的定义.2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.3.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题.基础落实·必备知识全过关知识点1空间向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作

则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作

,向量夹角的取值范围是

.如果<a,b>=,那么向量a,b互相垂直,记作

.

名师点睛1.由定义知,只有两个非零空间向量才有夹角,当两个非零空间向量共线同向时,夹角为0;共线反向时,夹角为π.2.对空间任意两个非零向量a,b有:①<a,b>=<b,a>;②<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>;③<-a,-b>=<a,b>.<a,b>[0,π]a⊥b过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(2)两个共线向量的夹角是0.(

)2.向量的夹角与直线夹角范围有何区别?××3.[人教B版教材习题]已知ABCD-A1B1C1D1是一个正方体,写出下列向量夹角的大小:知识点2空间向量的数量积1.定义:已知两个非零向量a,b,则

叫做a,b的数量积,记作

.

即a·b=|a||b|cos<a,b>.特别地,零向量与任意向量的数量积为

.

|a||b|cos<a,b>a·b02.数量积的运算性质a·e=|a|cos<a,e>(e为单位向量).若向量a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0;若向量a与b同向,则a·b=|a||b|;若向量a与b反向,则a·b=-|a||b|.|a·b|≤|a||b|(当且仅当向量a,b共线时,等号成立)3.向量a在向量b上的投影向量在空间,向量a向向量b投影,将它们平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos<a,b>,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.4.向量a在平面β上的投影向量5.数量积的运算律:(λa)·b=

,λ∈R;

a·b=

(交换律);

(a+b)·c=

(分配律).

λ(a·b)b·aa·c+b·c名师点睛1.对空间向量数量积的理解(1)两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;2.空间向量数量积的应用

(3)利用关系a⊥b⇔a·b=0(a,b为非零向量)可以证明空间两直线的垂直.

过关自诊1.若a·b>0,则<a,b>一定是锐角吗?2.[人教B版教材习题]已知a,b均为空间向量,分别判断下列各式是否恒成立:(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a-b)2=a2-2a·b+b2;(3)(a+b)·(a-b)=a2-b2.提示

当<a,b>=0时,也有a·b>0,故当a·b>0时,<a,b>不一定是锐角.解

(1)恒成立;(2)恒成立;(3)恒成立.提示

类比平面向量知,三式均恒成立.重难探究·能力素养全提升探究点一求空间向量的数量积【例1】

已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是等边三角形,且边长为2,点M,N,P分别为AB,BC,CA的中点.试求:思路分析

求出每个向量的模及它们的夹角,然后按照数量积的定义求解,必要时,对向量进行分解.规律方法

空间向量运算的方法与步骤方法:(1)利用定义,直接利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算.(2)利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.(3)利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式;(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;(3)代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.变式训练1在四面体O-ABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,点G为△ABC的重心,则

=

.

探究点二利用数量积求夹角D规律方法

利用向量数量积求夹角问题的思路(1)结合图形,平移向量,把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用三角形的知识求解;变式训练2(1)若非零空间向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则向量a与b的夹角为(

)A.30° B.60°

C.120°

D.150°C解析

设向量a与b的夹角为θ,则由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cos

θ+|b|2=0.又因为|a|=|b|,所以cos

θ=-

,所以θ=120°.探究点三利用数量积证明垂直问题【例3】

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:OB1⊥平面PAC.规律方法

利用数量积证明垂直问题的一般方法将所证垂直问题转化为证明线线垂直,然后把直线转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的线性运算以及数量积运算,证明直线所在向量的数量积等于零,即可证明线线垂直.变式训练3已知在四面体OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.探究点四利用数量积求距离或长度【例4】

如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使直线AB与CD成60°角,求此时点B,D间的距离.规律方法

求两点间的距离或线段长度的方法

一将所求线段的长度转化为某一向量的模二用其他已知夹角和模的向量表示该向量三利用|a|=

,通过计算求出|a|,即得所求距离变式训练4[北师大版教材习题]如图,已知PA⊥平面ABC,垂足为点A,C本节要点归纳1.知识清单:(1)空间向量的夹角、投影;(2)空间向量数量积的概念;(3)空间向量数量积的性质及运算律.2.方法归纳:转化化归.3.常见误区:(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定;(2)当a≠0时,由a·b=0可得a⊥b或b=0.成果验收·课堂达标检测12345678910111213A级必备知识基础练1.[探究点一]已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=(

)A.1 B.2

C.3

D.4A解析

由条件知p·q=0,p2=q2=1,所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2-2q2+p·q=1.123456789101112132.[探究点三]已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(

)A.-6 B.6

C.3

D.-3B解析

由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.123456789101112133.[探究点一][2023上海黄浦期中]正四面体O-ABC棱长为1,E为BC中点,B12345678910111213123456789101112134.[探究点二]已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为(

)A.30°

B.45°

C.135° D.60°B解析

∵a-b与a垂直,∴(a-b)·a=0,123456789101112135.[探究点一](多选题)如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是(

)BCD12345678910111213123456789101112136.[探究点四]已知空间向量a,b,c中每两个的夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=

.

10解析

∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=,∴|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos<a,b>+2|a||c|cos<a,c>+2|b||c|cos<b,c>=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,∴|a+b+c|=10.123456789101112137.[探究点二][人教B版教材习题]已知a,b都是空间向量,且<a,b>=,求<2a,-3b>.12345678910111213B级关键能力提升练D123456789101112139.(多选题)如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是(

)BC1234567891011121310.已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径,点P在正方体表面上运动,则

的最大值为(

)A.4 B.12 C.8 D.6C123456789101112131234567891011121311.已