专题25诱导公式6种常见考法归类（53题）

专题25诱导公式6种常见考法归类（53题）考点一给角求值考点二给值(式)求值考点三利用互余互补关系求值考点四化简求值考点五三角恒等式的证明考点六诱导公式在三角形中的应用知识点1：诱导公式二：角与角的终边关于原点对称，，，其中知识点2：诱导公式三：角与角的终边关于轴对称，，，其中知识点3：诱导公式四：角与角的终边关于轴对称，，，其中知识点4：诱导公式五：，，其中诱导公式六：，，其中知识点5：诱导公式拓展注：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.知识点6：诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.解题策略1、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化．(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值．2、用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．3、解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．4、三角函数式化简的常用方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数．(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan

eq\f(π,4).5、利用诱导公式化简、求值的策略(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．(3)常见的互余的角：eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α等，常见的互补的角：eq\f(π,6)＋α与eq\f(5π,6)－α，eq\f(π,3)＋α与eq\f(2π,3)－α，eq\f(π,4)＋α与eq\f(3π,4)－α等．6、三角恒等式的证明策略对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．7、诱导公式的综合应用诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．考点一给角求值1．（2024·江苏·高一专题练习）；；【答案】//【分析】利用诱导公式化简即可得解.【详解】；．故答案为：；.2.（2023·全国·高一随堂练习）求值：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）解：由三角函数的诱导公式，可得.（2）解：由三角函数的诱导公式，可得.（3）解：由三角函数的诱导公式，可得.（4）解：由三角函数的诱导公式，可得.3.（2023·全国·高一课堂例题）利用公式求下列三角函数值：(1)：(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.4．（2024·全国·高一专题练习）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．(4)；(5).【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)【分析】利用诱导公式结合特殊角的三角函数即可得到答案.【详解】（1）（2）（3）（4）.（5）原式.5.（2023秋·河南新乡·高三卫辉一中校联考阶段练习）．【答案】【详解】由三角函数的诱导公式，可得：．故答案为：.6．（2024·江苏·高一专题练习）计算：＝．【答案】1【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.【详解】．故答案为：17.（2024·高一专题练习）计算：______.【答案】【解析】原式.故答案为：.8.（2024·高一专题练习）计算：___________.【答案】0【解析】故答案为：0考点二给值(式)求值9．（2024·全国·高一专题练习）已知角的终边过点，则．【答案】【分析】利用任意角的三角函数的定义可求，进而根据诱导公式化简所求即可求解．【详解】因为角的终边过点，所以，可得所以，故答案为：.10.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知的终边上有一点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为的终边上有一点，所以，，故选：C11.（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与射线（）重合，则.【答案】【详解】由题意，，且，，则由，解得，则.故答案为：.12．（2024·安徽亳州·高二蒙城县第六中学校考期中）已知，，则.【答案】/【分析】根据三角函数的同角关系式及诱导公式求解.【详解】∵，即，又，∴，即，∵，，则，可得，所以．故答案为：.13．（2024·上海杨浦·高三复旦附中校考期中）已知，则的值是.【答案】【分析】根据三角函数的诱导公式以及商式关系，可得答案.【详解】.故答案为：.14．（2024·陕西咸阳·高三统考期中）已知是第三象限角，，则.【答案】【分析】结合同角三角函数的基本关系和诱导公式求解即可.【详解】因为是第三象限角，，所以，所以，故答案为：.15．（2024·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习）如果，为第三象限角，则．【答案】/【分析】先利用诱导公式化简，再求值【详解】由诱导公式可知，又且为第三象限角，所以，所以，故答案为：16．（2024·全国·高一随堂练习）已知，求下列各三角函数的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】利用诱导公式一一计算即可.【详解】（1）根据诱导公式可知：；（2）根据诱导公式可知：；（3）根据诱导公式可知：.17.（2024·全国·高一随堂练习）若且是第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，又由为第二象限角，所以．故选：B.18.（2023秋·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）若，则.【答案】/【详解】由，得，解得，而，则，所以.故答案为：19.（2023春·陕西榆林·高二校联考期末）已知，则.【答案】/【详解】因为，所以原式故答案为：.20.（2023秋·河北保定·高一校联考阶段练习）已知函数，，且，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由诱导公式可得，可求的值.【详解】∵，∴，∴．故选：C考点三利用互余互补关系求值21．（2024·上海闵行·高三上海市文来中学校考期中）若，则．【答案】【分析】利用诱导公式计算可得.【详解】因为，所以.故答案为：22.（2023秋·浙江嘉兴·高二浙江省海盐高级中学校考开学考试）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，又，所以故选：D23．（2024·江苏无锡·高三统考期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用诱导公式即可得到答案.【详解】，故选：B．24．（2024·江苏苏州·高三统考期中）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函数的诱导公式求解.【详解】解：因为，所以，故选：D25．（2024·贵州遵义·统考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以为整体，结合诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：.故选：C.26．（2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以为整体，利用诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：.故选：D.27．（2024·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解.【详解】因为，则.故选：B.28．（2024·内蒙古包头·高三校考阶段练习）若，则.【答案】【分析】以为整体，根据诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：.故答案为：.29.（2024·全国·高一随堂练习）已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________.【答案】0【解析】∵，，.故答案为：0.考点四化简求值30．（2024·上海崇明·高三校考阶段练习）化简：.【答案】【分析】利用诱导公式运算即可得解.【详解】解：∵，，，，，∴.故答案为：.31．（2024·江苏·高一专题练习）化简下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)【分析】利用诱导公式，化简求值.【详解】（1）原式．（2）原式．32．（2024·全国·高一专题练习）（1）化简：.（2）化简；（3）化简．（4）化简；（5）化简；（6）已知，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0；（5）；（6）【分析】利用诱导公式计算即可.【详解】（1）原式＝；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）由可得，.33．（2024·上海黄浦·高二上海市向明中学校考阶段练习）已知，则.【答案】【分析】利用诱导公式将式子化简可得，再利用同角三角函数之间的基本关系代入计算即可求得结果.【详解】根据题意可知，由诱导公式可得；显然，将的分子分母同时除以可得，即.故答案为：34.（2023春·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）已知，则．【答案】/－0.6【详解】因为，所以．故答案为：．35．（2024·陕西西安·高三校考阶段练习）已知，则等于（

）A．1 B．－ C． D．－【答案】D【分析】利用三角诱导公式以及同角三角函数的基本关系求解.【详解】因为，所以，又因为，故选:D.36.（2023秋·湖南·高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）已知是第四象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用已知条件化简求出的值，然后利用诱导公式及弦化切，计算即可.【详解】由，解得或．因为是第四象限角，所以，故．故选：D.37.（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）已知是第三象限角，且，则．【答案】2【详解】由得，解得或，又是第三象限角，所以，故．故答案为：238.（2023·全国·高一专题练习）已知为第二象限角，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，则，又因为为第二象限角，则，因此，.故选：A.39.（2023秋·安徽·高二安徽省宿松中学校联考开学考试）已知在平面直角坐标系中，点在角终边上，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得，所以原式.故选：B.40．（2024·江苏·高一专题练习）已知．(1)化简；(2)若为第三象限角，且，求的值．【答案】(1)(2).【分析】（1）利用诱导公式代入计算即可得；（2）根据角的范围将代入计算即可得.【详解】（1）即（2）由，可得．因为为第三象限角，因此，故.41.（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山市红星中学校考阶段练习）已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）根据诱导公式，所以;（2）由诱导公式可知，即，又是第三象限角，所以，所以.42.（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）已知.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1），由，得，所以；（2）由，得，则.43.（2023·全国·高一专题练习）如图，在平面直角坐标系中，钝角的始边与轴的非负半轴重合，终边与半径为的圆相交于点，过点作轴的垂线，垂足为点，．

(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由三角函数定义知：，又为第二象限角，.（2）.考点五三角恒等式的证明44．（2024·浙江·高三专题练习）求证：.【答案】证明见解析【分析】利用切化弦和诱导公式进行化简，即可证明等式；【详解】左边＝＝右边．故原式得证．【点睛】本题考查诱导公式的综合运用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数符号的正负.45．（2024·全国·高一专题练习）求证：【答案】证明见解析【分析】对等式左边用诱导公式进行化简证明【详解】左边＝＝右边，所以原等式成立．46．（2024·全国·高一专题练习）求证：．【答案】证明见解析.【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.【详