【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（沪教版）专题03 一次函数的概念与图象（1大考点+4种题型）（解析版）

专题03一次函数的概念与图象（1大考点+4种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一、一次函数的概念题型一：识别一次函数题型二：根据一次函数的定义求参数题型三：求一次函数自变量或函数值题型四：列一次函数解析式并求值考点一、一次函数的概念一般地，解析式形如（，是常数，且）的函数叫做一次函数；一次函数的定义域是一切实数；当时，解析式就成为（是常数，且），这时y是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；一般地，我们把函数（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定．题型一：识别一次函数【例1】．（2023下·上海徐汇·八年级统考期末）下列函数中，一次函数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一次函数的定义分别进行判断即可．【详解】解：A、是一次函数，故此选项符合题意；B、当时，是一次函数，故此选项不符合题意；C、，右边不是整式，不是一次函数，故此选项不符合题意；D、自变量最高次数是二次，不是一次函数，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．【变式1】．（2023下·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）下列函数中，是一次函数的是（

）A． B．C．（k、b是常数） D．【答案】D【分析】根据一次函数的定义逐项判断即得答案.【详解】解：A、不是一次函数，故本选项不符合题意；B、不是一次函数，故本选项不符合题意；C、（k、b是常数），当时不是一次函数，，故本选项不符合题意；D、是一次函数，故本选项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了一次函数的概念，熟知形如（k、b是常数，且）叫一次函数是解题的关键.【变式2】．（2023下·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据一次函数的定义对各小题进行逐一分析即可．【详解】解：（1），是一次函数；（2），是一次函数；（3），不是一次函数；（4），是一次函数；（5），不是一次函数，综上，（1）（2）（4）是一次函数，共3个；故选：B．【点睛】本题考查的是一次函数的定义，解决本题的关键是明确一次函数的定义，一般地，形如是常数的函数，叫做一次函数．题型二：根据一次函数的定义求参数【例2】．（2023下·上海浦东新·八年级校考期末）当时，函数是一次函数，且不是正比例函数．【答案】【分析】根据一次函数的解析式为：，则；根据题意，，则，即可．【详解】∵函数是一次函数，且不是正比例函数，∴，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数的定义．【变式1】．（2021下·上海长宁·八年级校考期中）若函数是关于x的一次函数，那么k的取值范围是．【答案】【分析】根据一次函数的定义即可求得．【详解】解：∵是关于x的一次函数，∴，即，故k的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了利用一次函数的定义求参数的取值范围，掌握一次函数的定义是解决本题的关键．【变式2】．（2023下·上海·八年级专题练习）已知函数；(1)当取何值时，这个函数是正比例函数？(2)当在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？【答案】(1)当时，这个函数为正比例函数(2)当时，这个函数是一次函数【分析】（1）根据正比例函数的定义求解即可；（2）根据一次函数的定义求解即可．【详解】（1）解：∵函数是正比例函数，∴，∴，∴当时，这个函数为正比例函数；（2）解：∵函数是一次函数，∴，∴，∴当时，这个函数是一次函数．【点睛】本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，熟知二者的定义是解题的关键．题型三：求一次函数自变量或函数值【例3】．（2023下·上海·八年级专题练习）已知点在一次函数的图象上，则等于（）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据待定系数法求得一次函数的解析式，解答即可，关键是根据待定系数法求得一次函数的解析式．【详解】解：∵点在一次函数的图象上，，解得：，故选：D．【变式1】．（2023下·上海普陀·八年级统考期末）已知一次函数，那么．【答案】1【分析】直接将代入函数解析式，进行求解即可．【详解】解：；故答案为：1【点睛】本题考查求一次函数的函数值．解题的关键是正确的进行计算．【变式2】．（2023下·上海·八年级专题练习）已知一次函数，当时，；当时，．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数的性质．已知的范围，代入求的范围.【详解】解：当，即，解得：；当，则，解得：．故答案为：；．【变式3】．（2023下·上海宝山·八年级统考期末）已知点A是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点A的坐标是．【答案】【分析】在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，说明此点的横纵坐标的相等，那么，且为正数，据此作答．【详解】解：设，点A为直线上的一点，，

又点A在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，，且为正数，，解得：，，，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是根据点A在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，列出方程．【变式4】．（2023下·上海静安·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：如果点P到x、y轴的距离中的最小值等于点Q到x、y轴的距离中的最小值，那么称P、Q两点为“坐标轴等距点”，例如点与点为“坐标轴等距点”．已知点A的坐标为，如果点B在直线上，且A，B两点为“坐标轴等距点”，那么点B的坐标为．【答案】或【分析】设，由等距点的定义列方程计算即可，注意分类讨论，求出不同情况下的值即可．【详解】∵点B在直线上，∴设，点到x、y轴的距离中的最小值为，当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为，由A，B两点为“坐标轴等距点”可得，，解得或（舍去），此时；当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为，由A，B两点为“坐标轴等距点”可得，，解得或（舍去），此时；当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为，A，B两点不是“坐标轴等距点”；综上所述，点B的坐标为或．【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“坐标轴等距点”．题型四：列一次函数解析式并求值【例4】．（2022下·上海嘉定·八年级统考期中）若直线的图像过点，则．【答案】-3【分析】将A点坐标代入直线中即可得到m值．【详解】将A点坐标代入直线中得：m==-3故答案为：-3．【点睛】本题考查一次函数的解析式．将点坐标代入求出解析式是解决本题的关键．【变式1】．（2021下·上海松江·八年级统考期中）汽车油箱中现有汽油60升，若每小时耗油10升，则油箱中剩余油量（升）与燃烧的时间（小时）之间的函数关系式是．【答案】y=60-10x【分析】由剩余油量=原有油量-耗油量可得解析式．【详解】解：原有油量为60升，每小时耗油10升，∴y=60-10x．故答案为：y=60-10x．【点睛】本题考查一次函数求解析式，解题关键是通过题意列出代数式．【变式2】．（2020上·上海黄浦·八年级上海市格致初级中学校考期中）如图，正方形ABCD的顶点A、B落在x轴正半轴上，点C落在正比例函数y＝kx（k＞0）上，点D落在直线y＝2x上，且点D的横坐标为a．（1）直接写出A、B、C、D各点的坐标（用含a的代数式表示）；（2）求出k的值；（3）将直线OC绕点O旋转，旋转后的直线将正方形ABCD的面积分成1：3两个部分，求旋转后得到的新直线解析式．【答案】（1）点A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；（2）k＝；（3）y＝（3-）x或y=x．【分析】（1）点D的横坐标为a，则点D(a，2a)，则AB＝AD＝2a，进而求解；（2）将C点坐标代入y=kx即可求得k；（3）根据题干，可求得直线OF的的解析式为，当y=2a时，可求出点E(，2a)，由S△DEF＝S正方形ABCD，可列方程进而求出m．【详解】解：（1）点D的横坐标为a，则点D（a，2a），则AB＝AD＝2a，则点A、B、C的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a），故点A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；（2）将点C的坐标代入y＝kx得，2a＝3ak，解得k＝；（3）设AF＝m，则点F（a，m），设直线OC旋转后交AD于点F，交CD于点E，则直线OF的表达式为，当y＝2a时，y＝，解得x=，故点E（，2a），由题意得：S△DEF＝S正方形ABCD＝，即，解得：m＝，则函数的表达式为y＝＝（3±）x．当y＝（3+）x时，直线与正方形没有公共点故舍去第二种情况，旋转后直线OC和线段BC相交，同理可得k=则函数表达式为y＝（3-）x或y=x【点睛】本题考查一次函数的性质、正方形的性质、面积的计算等，掌握一次函数的性质是解题关键．【变式3】．（2022上·上海金山·八年级校联考期末）如图，在中，，，，点D是边上的动点（点D与点A、B不重合），过点D作交射线于点E，联结，点F是的中点，联结、、．(1)当点E在边上（点E与点C不重合）时，①设，，求出y关于x的函数关系式及定义域；②当平分时，求出的长；③求证：是等边三角形．(2)如果，请直接写出的长【答案】(1)①（）；②；③证明见解析(2)1或2【分析】（1）①根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后再根据进行解答即可；②利用角平分线的性质定理可得，再建立方程求解即可；③先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到，然后即可证明是等边三角形；（2）先求出的长度，在中，再利用勾股定理求出，再分点E在上与在射线上两种情况求解．【详解】（1）解：①∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；②∵平分，，∴，在中，，∴，∴，解得，∴；③证明：在和中，，∵点F是的中点，∴，，∴，∴，．∴，即．∵，

∴，∴，∴是等边三角形．（2）∵，，，∴，，在中，，当点E在上时，，当点E在射线上时，如图，∴，∴的长是1或2．【点睛】本题主要考查了角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等边三角形的判定，列一次函数的关系式，综合性较强，只要仔细分析也不难解决．一、单选题1．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（

）A．圆的面积和半径 B．一条边长确定的长方形，其面积和另一边长C．路程一定，速度和时间 D．人的年龄和体重【答案】B【分析】本题考查正比例函数的应用，理解并掌握正比例的定义是本题的关键．根据正比例的定义，分别分析判断即可．【详解】解：A、圆的面积半径，两个变量不成正比例，故本选项错误B、一条边长确定的长方形，长方形的面积=一条边长另一边长，两个变量成正比例，，故本选项正确；C、路程一定，则依题意得路程=速度时间，两个变量不成正比例，故本选项错误；D、一个人的体重和年龄不成正比例，故本选项错误．故选：B．2．（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）若函数是一次函数，则m的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据形如（k、b是常数且）的函数叫做一次函数进行求解是解题的关键．【详解】解：∵函数是一次函数，∴，∴，故选C．3．（2023上·贵州毕节·八年级校考期中）下列函数中，y是关于x的正比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查正比例函数的识别，根据形如的函数是正比例函数求解即可．【详解】解：A、是一次函数，故该选项不符合题意；B、是一次函数，故该选项不符合题意；C、是二次函数，故该选项不符合题意；D、是正比例函数，故该选项符合题意；故选：D．4．（2024下·全国·八年级假期作业）在中，若y是x的正比例函数，则k的值为（

）A．3 B．－3C．±3 D．不等于－3的任意实数【答案】A【解析】略5．（2023上·江西吉安·八年级校联考期中）下列函数①；②；③；④；⑤；⑥中，是一次函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了一次函数的定义，根据“一般形如，（k，b是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，，所以说正比例函数是特殊的一次函数”逐项进行判断即可．【详解】解：①②④是一次函数，③是反比例函数，⑤需要添加这个条件才是一次函数，⑥是二次函数，故选：C．6．（2023上·江苏徐州·八年级校考阶段练习）已知函数是正比例函数，则、n的值为（）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】此题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为．根据函数是正比例函数，可知且，综合条件即可得到、n的值．【详解】解：∵函数是正比例函数，∴且，解得：，，故选：．二、填空题7．（2024·全国·八年级假期作业）已知函数是关于的一次函数，则，若该函数是正比例函数，则，．【答案】0【分析】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．根据一次函数的定义，正比例函数的定义求解即可．【详解】解：当函数是关于x的一次函数时，，且，解得；当函数是关于x的正比例函数时，，，且，解得，．故答案为：，，0．8．（2021下·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）当时，函数是一次函数．【答案】1【分析】根据一次函数的定义可得，，解之即可得到答案．【详解】解：函数是一次函数，，，解得：，当时，函数是一次函数，故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．9．（2021下·上海闵行·八年级校考期中）如果函数是一次函数，那么的取值范围为．【答案】【分析】根据一次函数的定义得到：，由此求得的值．【详解】解：依题意得：，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的定义．关键是掌握正比例函数的比例系数不等于0．10．（2021下·上海长宁·八年级校考期中）已知一次函数满足，则．【答案】2【分析】将代入函数解析式进行计算即可．【详解】解：∵，∴，解得．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．11．（2023上·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）已知是一次函数，则．【答案】【分析】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1，可得答案．【详解】∵是一次函数，∴，解得，故答案为：．12．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）写出一个一次项系数为2的一次函数．【答案】（不唯一）【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义写出答案即可；掌握一次函数的一般形式（，b为常数）是解题的关键．【详解】解：根据一次函数的定义，结合题意可得：一次项系数为2的一次函数为（不唯一）．故答案为：（不唯一）．13．（2023上·内蒙古包头·八年级包钢第三中学校考期中）已知一次函数，当时，函数y的最小值为．【答案】【分析】本题考查一次函数的图象和性质．根据一次函数的性质，得到当时，函数值最小，进行求解即可．【详解】解：∵，，∴随着的增大而减小，∵，∴当时，函数值最小，最小值为；故答案为：．14．（2023上·四川成都·八年级校考期末）已知函数的图象上存在点P，且点P到x轴的距离等于4，则点P的坐标为．【答案】或【分析】本题考查点到坐标轴轴的距离，一次函数图象上点的坐标特征．由于点P到x轴的距离等于4得到点P的纵坐标为4或，然后分别计算函数值4和所对应的自变量的值即可得到P点坐标即可．【详解】解：∵点P到x轴的距离等于4，∴点P的纵坐标为4或，当时，，解得，此时P点坐标为；当时，，解得，此时P点坐标为．故答案为：或．15．（2023下·上海普陀·八年级校考阶段练习）已知一次函数，则．【答案】【分析】将代入函数解析式进行计算即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．16．（2023上·上海金山·八年级校考期中）现定义为函数的特征数，若特征数为，这个正比例函数的解析式是．【答案】【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，根据特征数的定义代入即可,属于基础题．【详解】解：由于特征数为，∴，∵该函数是正比例函数，∴，解得：，∴正比例函数的解析式是：，故答案为：．三、解答题17．（2023下·上海·八年级专题练习）下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？（1）；

（2）；

（3）；

（4）．【答案】（1）（4）是一次函数，（1）是正比例函数．【分析】根据一次函数和正比例函数的定义，即可求解．【详解】解：（1）是正比例函数，也是一次函数；（2）自变量在分母中，不是一次函数，也不是正比例函数；（3）自变量的次数是2，不是一次函数，也不是正比例函数；（4）是一次函数，不是正比例函数．所以（1）（4）是一次函数，（1）是正比例函数．【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握形如（k、b为常数，且）的形式的函数是一次函数，当时，一次函数（k、b为常数，且）变为，此时的函数称为正比例函数是解题的关键．18．（2023下·上海·八年级专题练习）写出下列一次函数的一次项系数k和常数项b的值．(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）根据定义写出、的值；（2）根据定义写出、的值；（3）根据定义写出、的值；（4）先化为一般形式，然后根据定义写出、的值即可求解．【详解】（1），则，；（2），则，；（3），则，；（4），则，．【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．一般地，两个变量、之间的关系式可以表示成形如的函数（，为常数，的次数为，且），那么就叫做一次函数．19．（2023下·上海·八年级专题练习）已知函数．（1）当为何值时，是的一次函数，并写出关系式；（2）当为何值时，是的正比例函数，并写出关系式．【答案】（1）当m=-2，n为任意实数时，是的一次函数，关系式为；（2）当m=-2，n=-4时，是的正比例函数，关系式为【分析】（1）根据一次函数的定义即可求出结论；（2）根据正比例函数的定义即可求出结论．【详解】解：（1）由题意可得，n可以取任意实数解得：m=-2∴∴当m=-2，n为任意实数时，是的一次函数，关系式为；（2）由题意可得，解得：∴∴当m=-2，n=-4时，是的正比例函数，关系式为．【点睛】此题考查的是根据一次函数和正比例函数的定义，求参数问题，掌握一次函数和正比例函数的定义是解题关键．20．（2023下·上海·八年级专题练习）正方形的面积S是边长x的函数，它的表达式是S＝x2．如果正方形的边长的变化范围很小，例如x从1变到1.08，我们来观察面积S的变化情况：x11.021.041.061.08S11.0401.0821.1241.166（1）分别计算x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S增大了多少；（2）根据第（1）题的计算结果，当边长x从1变到1.08时，正方形的面积S可不可以看成边长x的一次函数？由此受到启发，你能做出什么猜测？【答案】（1）面积S依次增大了0.040，0.042，0.042，0.042；（2）不可以，猜测：面积与边长不成一次函数关系【分析】（1）根据表格中的数据，计算出x的相邻两个值之间所对应的面积之差即可求解；（2）比较（1）计算计算的差值，看看是否相等，相等即为一次函数，若不相等，则不是一次函数．【详解】解：（1）1.040﹣1＝0.040，1.082﹣1.040＝0.042，1.124﹣1.082＝0.042，1.166﹣1.124＝0.042，即x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S依次增大了0.040，0.042，0.042，0.042；（2）因为x由1变到1.08时，正方形面积S的变化值不是定值，所以正方形的面积S不可以看成边长x的一次函数，猜测：面积与边长不成一次函数关系．【点评】本题考查了一次函数的定义，能理解一次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数．21．（2023下·上海·八年级专题练习）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；（2）当x=0.5时，求y的值．【答案】（1），y是x的一次函数；（2）【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）∵甲、乙两地相距120km∴火车与甲地的距离表示为：（km），即；当火车到达甲地时，即∴，即火车行驶1.5h到达甲地∴y是x的一次函数；（2）根据（1）的结论，得：．【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．22．（2023上·上海松江·八年级统考期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为(1)已知点在正比例函数的相关函数的图象上，则