2022新教材高中数学人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 课后练习题含答案解析

第二章一元二次函数、方程和不等式

1、不等关系与比较大小...................................................1

2、不等式的性质.........................................................4

3、基本不等式...........................................................7

5、基本不等式的应用....................................................15

5、二次函数与一元二次方程、不等式.....................................23

6、二次函数与一元二次方程、不等式的应用...............................27

1、不等关系与比较大小

一、选择题（每小题5分，共30分）

1.小辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元.计划从现在

起以后每个月节省30元，直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元，

则可以用于计算所需要的月数x的不等式是（）

A.30^-60^400B.30x4-60^400

C.30^-60^400D.30x4-40^400

【解析】选B.x个月后他至少有400元，可表示成30x+602400.

2.完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人

400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的

关系式是（）

A.5^+4X200B.5x+4y2200

C.5x+4y=200D.5x+4j<200

【解析】选D.根据题意知，500^+400j<20000,即5x+4j<200.

3.若力a>0,冰一a,设¥=",丫=空，则（）

aa-rm

A.X>YB.X<Y

C.X=YD.X与y的大小关系不确定

■AT—....e、，bb+mm（Z?­a）

【解析】达A.因为V=一一二「=―..,

aa-vma（d+加）

因为力a>0,所以6—&>0,

m（ba）

又因为正一a,所以力（力一a）<0,a+欣0,a（a+勿）<0,所以>一Y=-7~工—I>0・

a（a+7）

所以上匕

4.若丘一2且则1U/+/+4x—2y的值与一5的大小关系是()

A.粉一5B.M-5

C.心一5D.侬一5

【解析】选A.M—(—5)=V+y+4x—2y+5=(x+2)?+(y—I)2,因为任一2,

yWL所以(X+2)2>0,(y-l)2>0,Silt(x+2)2+(y-l)2>0,故粉一5.

5.设@=巾,b=y/7—y/3,c=y/6—y[2,则8b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

4

【解析】选B.b=*—y/3

于+4

因为小+因＞乖+小，

44

所以布下＜标八'所以"VC

因为镜(^6+72)=2馅+2>4,

所以m:斓＜yf2,即cVa综上，b＜c＜a.

6.(多选题)若46WR,且a+|6|<0,则下列选项错误的是()

A.a-b>0B.a+tf>0

C.a~^<0D.a+伙0

【解析】选A、B、C.a+|b|＜0知水0,且|印＞|引,当620时，a+伙0成立,

当从0时，a+从0成立，所以a+从0.

二、填空题（每小题5分，共10分）

7.如果a£R,且才+水0,则a,，，—a,一才的大小关系是______.

【解析】由才+水0得水一一，所以水0且a＞—1,所以水一我我一a

答窠：水一才＜才＜一a

8.已知43^一叶3,『仁2/+3X一1,则机/V的大小关系是______.

［解析］M=3y—x+3,A—2y+3x—1＞因为M—.V—（3产——+3）—（2/+3才一

1)=3f—x+3—2/—3x+1=x?—4x+4=(x—2)220,所以A

答案：

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的

资金购买单价分别为40万元、90万元的力型汽车和6型汽车，根据需要，力型

汽车至少买5辆，8型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式

（组）.

【解析】设购买4型汽车和△型汽车分别为x辆、y辆，

p0x+90j<l000,

I*25,

则〈j

j/GN*.

px+9j<100,

I*25,

即《

/6,

10.下面为某省农运会官方票务网站分布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛

前准备1200元，预订15张下表中球类比赛的门票.

类比赛门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的

费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数.

【解析】设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是〃张，则足球比赛门票

预订（15—2〃）张，

r80/?+60/?+100(15-2/?)W1200,

由题意得｛80〃W100(15-2/7),

5

解得,由〃wM知，27=5,

所以15-2/7=5,

故可预订足球比赛门票5张.

2、不等式的性质

一、选择题（每小题5分，共30分）

1.若aVbVO,则下列不等式不成立的是（）

C.\a\>\b\D.

【解析】选A.取a=-2,Z?=—1,则一L不成立.

a—ba

2.若，g<3有下面四个不等式：①|印>|引；②aVb；③a+bVab；④，

>凡不正确的不等式的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【解析】选C.由：g<0,可得0>a>6,所以|a|v|b|,故①②不成立；

所以a+Z?V0Va6,都成立，故③④一定正确.

3.（多选题）已知实数&b,。满足WAa,且a~0,则下列不等式一定成立的

是（）

A.ab>acB.c（b~a）>0

C.ac{a—c）<0D.

【解析】选ABC.因为实数a,b,。满足。〈伙a,且aHO,所以a>0,*0,由力c,

a>0,得ab>ac,故A正确；由丛a,c<0,得c（b—a）>0,故B正确；由a>c,

ac<0,得dcQ—c）<0,故C正确；由a>c,下20,得cbM",当b=。时，

等号成立，故D错误.

4.若一1<。<£<1,则下列各式中恒成立的是()

A.—2〈。一£<0B.—2<。一£<-1

C.一1<。一£<0D.一1<。一£<1

【解析】选A.由一1〈万<1,得一1<一尸<1,又一所以一2<。一£<2,

而。<£,所以一2〈。一尸<0.

5.己知&b,c,d£R,则下列命题中必成立的是()

A.若a>b,6>b,则a>c

B.若a>—b,则c—a<.c+b

,,「卢b

C.若a>b,Xd,则1>-

D.若才>况则一水一，

【解析】选B.选项A,若I,0=2,c=5,显然不成立；选项C不满足倒数

不等式的条件，如a>b>0,K0〈d时，不成立；选项D只有石>。>0时才成立.否

则如a=—1,6=0时不成立，故选B.

ab

(多选题)若eVd<0,则卜列命题：⑵二+-<

6.a>0>6>—a,dc

0.(3)a—c>Z?—tZ(4)a•(d—c)>6(d—c)中能成立的是()

A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)

【解析】选B、C、D.因为a>0>6,cVdVO,所以adVO,bc>0,所以ad<bc,

所以⑴错误.

因为加>0>。>一多

所以d>—6>0,因为cVdVO,所以一c>一">0,

所以d(—c)>(―6)(一中,

所以四十bdVO,所以曰+也=受岁<0,所以⑵正确.

dccd

因为cVd,所以一c>—d,因为a>b,

所以乃+(一。)>力+(一中，即所以⑶正确.

因为d—c>0,所以aid—c)>b(d—c),所以(4)正确.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7.给出下列命题：

①若劭>0,a>b,则一V）；

ab

②若a>b,c>d,则a—c>b-d；

③对于正数a,b,m,若3。，则1.

其中真命题的序号是.

【解析】对于①,若ab>0,a>bt则办b>0或0>a>8,

所以,<7，所以①正确；对于②，不妨令3=2,b=l,c=—1,d=-3,贝ija

ab

—c=3,b—d=4.

所以3-C>b—d不成立，②错误；

对于③，对于正数a,b,/〃，

若水b,则a成bm,所以ab+a口Kab+bm,即a（/?+勿）<6（a+%），所以（,

综上，正确的命题序号是①③.

答案：①@

X

8.已知60<水84,28<y<33,则x—y的取值范围为，一的取值范围为

【解析】x-y=x+（一。，所以需先求出一夕的范围；j=xX^,所以需先求

出;的范围.因为28<旅33,

所以一33<一正-28,=<-得.

60x8420x

又60<K84,所以27<x—水56,~<_<_,即77<一<3.

JJy11y

答案：{（x-y）|27<x-y<56}<?柒：<3’

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.若不等式0Wx+lW2成立时，关于x的不等式x-a—1>0也成立，求实数a

的取值范围.

【解析】由0Wx+lW2,得一1W后1,则不等式0Wx+lW2成立时，关于x

的不等式x—a—1>0也成立，即一IWxWl时，x>a+l成立，所以一l>a+l,解

得水一2,

故实数a的取值范围是U|水一2}.

10.若a>b>0,c<cK0fe<0.求证：—&,>,,.

(a-c)kb—a)

【证明】因为*水0,所以一c>—d>0.

又因为a>Z?>0,所以a—c〉b-d>Q

所以("一°)2>(。一近2>().

…11

所以0<-----—<————.

ka—c)(b-d)

又因为K0,所以>(J42•

(a-。)(b—a)

3、基本不等式

一、选择题(每小题5分，共30分)

1,下列不等式中，正确的是])

4

A.a+—24B.6》4ab

a

C.y[aib。弓台D.x22m

4

【解析】选D.水0,则a+-24不成立，故A错；a=lb=l,B<Aab,故

af

B错，a=4,6=16,则，泰〈色"，故C错；由基本不等式可知D项正确.

2.若0WxW6,则4)=,(8-x)的最大值为()

164m

A.—B.4C.D.小r

uo

【解析】选B.因为0WxW6,所以8—x>0,所以f[x)=yjx(8—x)

v-l-(8—v)

=4,当且仅当x=8—x,即x=4时，等号成立.故f(x)的最大

<；乙

值为4.

3.若『3=*+七(入>2)在x=〃处取得最小值，则〃=()

x—Z

5.八1

A.-B.3C.-D.4

乙乙

【解析】选B.由f{x)=x-\，=(x—2)+」可+224,当且仅当x—2=

x~2x~2

>0,即x=3时，取得等号.

x~2

4.若》0,力0,贝IJ“a+bW4”是“abW4”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

【解析】选A.当〃>0,6>0时,二+622，/，则当a+6W4时有2，元

解得劭W4,充分性成立,当a=l,6=4时满足数W4,但此时a+6=5>4,必

要性不成立，综上所述，“a+Z<4”是“助W4”的充分不必要条件.

5.若实数a,。满足1+7=y[ab，则瑟的最小值为()

ab、

A.y/2B.2C.2yf2D.4

_1OIO1o

【解析】选c.由，^=7+三/—,得他22蛆,当且仅当一=7时取

aD\iaoau

6.已知x,y为正实数，且孙=4,则x+4y的最小值是()

A.4B.8C.16D.32

4

【解析】选B.由题意，正实数*,y且xy=4,可得尸一，

X

则*+4了=*+个22\xX个=8,当且仅当时，即彳=4时等号成立,

所以x+4y的最小值是8.

二、填空题（每小题5分，共10分）

oQ

7.设入＞0,则函数尸什或了7一5的最小值为.

乙71IX乙

23r1、1

【解析】尸牛——弓=x+5+-22

乙XI1乙、乙）1

叶5

2/义+m・=-[—2=0,当且仅当天+^='"7，即时等号成立.所

\1"5

以函数的最小值为0.

答案：0

19

若a,是正实数且则-+的最小值为

8.6a+6=Lab7

+

【解析】因为a+b=lt所以，+7=+7）（"〃=~+T

ababab

322^1^^+3=3+2蛆，

仅+b=1

当且仅当《b2a,

即12=:-1,b=2一m时，等号成立.

答案：3+24

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.设a,b、。都是正数，求证一-\~~T+匚2a+6+c.

abc

【证明】因为a,）。都是正数，所以如,-也都是正数，所以"+华

abcab

、caciabbe、ab、「,

22c,—b+——ca22ac,——+—226,

三式相加得2隹+（+当22（a+力+c）.

\aUCJ

即如+与+―2a+6+c,当且仅当a=6=c时取等号.

abc

10.(1)己知才>0,y>0,且2x+3y=6,求灯的最大值.

1Q

(2)己知x>0,y>0,-4--=1,求x+y的最小值.

【解析】⑴因为x>0,y>0,2x+3y=6,

所以盯=((2x・3力4•=(・图=2，当且仅当2x=3y,

33

即乙，y=l时，灯取到最乙大值另•

1Q9、

(2)因为一+-=1,所以x+尸(x+y)•~+~

xyy)

=1H-—+-+9=』+~+10,又因为x>0,y>0,

yxxy

所以』+—+1022、/」.见+10=16,

XyXy

yQX

当且仅当］=—,即尸3x时，等号成立.

xy

fy=3%,

।x=4,

*V.9得

匕+尸，〔尸⑵

即当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.

能力提升

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.己知x>0,y>0,贝ij“盯=1”是“x+y22”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.若xy=l,由基本不等式，知x+y22y=2；反之，取x=3,

y=l,则满足x+y22,但孙=3W1,所以“孙=1”是“x+y22”的充分不必

要条件.

2Y

2.当x>0时，函数/'(⑼=7百有()

A.最小值1B.最大值1

C.最小值2D.最大值2

2

【解析】选B.因为x>0,所以〃x)=--WL

x-\—

x

3.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学

家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图

形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点尸在半圆〃上，点。

在直径力8上，且明148设6,则该图形可以完成的无字证明为()

A.-y-(z?>0,Z?>0)

B.4十方222旅(a>0,b>0)

C.—TTw寂(a>0,Z?>0)

a-\-bY

D.皇・糜贵(a〉。，b〉。)

hb

【解析】选D.由AC=a,BC=b、可得圆0的半径r=F~,又

乙OC=OB—BC=F乙

,a—b.八*，八*(a—6)2,(a+Z?)2目+N

-b=­z~,贝IJFC=OC+Of=-------+---;---=——，再根据题图

乙qd乙

知FKFC,即券・十产，当且仅当时取等号.

4.(多选题)规定：“③”表示一种运算，即a③赢+a+b(a"为正实数).

若女=3,函数/,lWx<4,则下列说法正确的是()

A.1(*)的最小值为3

B.汽X)的最小值为2

7

C.f(x)的最大值为方

D.f(x)的最大值为5

【解析】选AC.由题意得1③攵=5+1+4=3,即k+yj~k—2=0,解得5=

1或5=—2(舍去)，故女的值为1.

心

x+x+1=1+6+-p21+2=3,当且仅当/=

一尸,即x=l时取等号，故函数Ax)的最小值为3.由函数单调性知：f(x)=

y]x

&

=鱼早±2=1+5++在X=4时有最大值为;.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.函数(x〉l)的最小值为.

x—1

【解析】因为Cr>l),所以y=2x+-=25—1)+」+222

X—1X—1X—1

2(Li)』=2/+2.

当且仅当x=l+当时取等号，故函数y=2x+占(x>l)的最小值为2$+

2.

答案：272+2

6.定义运算""：x0y=——(x,y£R,xyWO).当力0,y>0时，x@y+

(2y)③x的最小值为_______.

-4^-/

【解析】因为牙>0,y>0,所以x®y+(2y)0x=-----+七---=-----=

xy2xy2xy

噂+用2/，当且仅当j=§，即y时取等号.故g+(2y)③x

的最小值为镜.

答案：小

7.已知正数a,，满足2d+N=3,则外匠P1的最大值为.

【解析】八两币=乎X第八严TW半x1（2，+"-1）=平X（3+l）

乙乙乙I

=4，当且仅当蛆a=p.+l,且2a?+/?2=3,

即，=1,^=1时，等号成立.故八严i的最大值为4.

答案：y[2

8.己知x,y£R+,且2x+y=4,则盯的最大值是.

【解析】因为x,HR卡,由基本不等式可得4=2入+/22，57^,得xyW2,

当且仅当2x=y,即x=l,尸2时，等号成立.

因此孙的最大值是2.

答案：2

三、解答题（共30分）

9.（10分）若正数a,6满足初=a+A+3,

求：（Dab的取值范围.

（2）a+6的取值范围.

【解析】⑴因为a6=a+6+322，^+3,

令t=y[^b>0,所以干一2L3N0所以（L3）*+1）20.所以e3即施23,

所以劭29,当且仅当a=b=3时取等号.

Q+ZA2

⑵因为aA=a+6+3,所以a+6+3W―—\.令£=a+b>0,所以£—41—

12N0,所以（£-6）（t+2）N0.所以2N6即a+力廿6,当且仅当z=O=3时取等

号.

4

10.（10分）（1）若x〉0,求函数尸x+一的最小值，并求此时x的值.

X

⑵设0<水5,求函数y=4M3—2x）的最大值.

4

（3）己知x>2,求x+----的最小值.

x~2

4/4

【解析】（1）当x>0时，x+-22、/x•-=4,

x\1x

4

当且仅当彳=一，即f=4,义=2时取等号.

X

4

所以函数尸x+-(x＞0)在x=2时取得最小值4.

X

3

(2)因为0＜求5，所以3—2心＞0,

所以y=4x(3—2x)

2x+（3-2B12_9

=2[2x（3—2x）]W2

2=2,

当且仅当2x=3—2x,即*=彳时，等号成立.

4

因走3£

所以函数y=4x(3—2力(0＜水,的最大值为£9.

44

⑶因为》2,所以、一2>0,所以x+—=>—2+=+

4

（L2）+2=6,

4

当且仅当L2=..即x=4时，等号成立.

4

所以x+f的最小值为6.

X—2.

11.（10分）已知々＞0,8＞0,a-\~b=1,求证:

111

/I\++28

(X)--获

\/ab

11111

明--

证-

+-+=++啜=2停+3因为a+fa>0,核0,

aba

b-

所印.1a-\~b冷=2+怖+522+2=4,

+%=丁

所以5+1+128(当且仅当卡武义时等号成立).

(2)方法一：因为，＞0,力0,a+b=L

.1,a+b八,b

所以1+-=1+=2+-，

aaa

ia

同理，l+工=2+T，

bb

所以(1+9(1+3=(2+§(2+3

(b,a\

=54-21-+-^I25+4=9.

所以(1+j(1+,29(当且仅当时等号成立).

11l

+-

方法二:I1+M=XI++-+

ab

az?

111

-

+-+8

由（1）知,ab如

故（i+31+力n+5+R七却，当且仅当此等号成立・

5、基本不等式的应用

一、选择题（每小题5分，共30分）

1.已知00,y>0,且x+y=8,则（1+x）（1+力的最大值为（）

A.16B.25C.9D.36

【解析】选B.因为x>0,y>0,且x+y=8,

所以（1+x）•（1+y）=l+x+y+xy=9+xyW9+（^^B=9+42=25,

因此当且仅当x=y=\时等号成立，（1+x）（1+。取最大值25.

2.设x,y为正数，则（才+。&+胃的最小值为（）

A.6B.9C.12D.15

【解析】选B.（什叱A1+"41=「1十4亍xtv+二，4=1+4十74y+-v海十

3.若正实数必y,z满足3灯+4/—z=0,则当过取得最大值时，~+~

zxy

2

—的最大值为（）

Z

9

A.0B.1C.TD.3

4

【解析】选B.由己知得2=^—3灯+47,（*）

则子=^_3^+4y=T\7~0，当且仅当x=2y时取等号，把x=2y代

~+——3

yx

919111（\A2

入（*）式，得Z=2",所以一+----=一+--7=---1+1W1.

xyzyyyV/）

4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m\形状为直角三角形的框架，在下

列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（）

A.6.5mB.6.8mC.7mD.7.2m

【解析】选C.设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为1,贝岑ab

=2,所以ab=4,才+方^21\[ab+y/2ab=4—2^^6.828（m）.

因为要求够用且浪费最少，所以选71n最合理.

V

5.若对任意x>0,x，+3v+.Wa恒成立，则乃的取值范围是（）

A.a22B.a>~C.D.

5555

【解析】选A.因为对任意x>0,片+3彳+1Wa恒成立,所以对x>0,

1

JX1X1

=­---

启Q+3x+Jmax'而对"°时，（+34+1I15

-+3

X

当且仅当x=-时等号成立，所以a^-.

X0

6.若a0,垃0,且w+b=4,则下列不等式恒成立的是()

C.y[ab22D.

【解析】选D.4=a+Z?22，^(当且仅当d=A时，等号成立)，即，W2,aAW4,

A-，选项A,C不成立；-+1=土¥=；21,选项B不成立；a2+ff

ab4ababab

=(a+b)2—2a6=16—2ab28.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7.已知正数a,6满足a+6—a6+3=0,则成的最小值是______.

【解析】因为a+力一筋+3=0,所以a+6=ab—3,

因为a6为正实数，所以a+b，2寸品，

当且仅当a=b时取等号，所以就一322、团,

所以ab—2yf^)—320,BP(yfab—3)+1)20,

解得岐23或迎W—1(舍去)，

所以劭29,当且仅当a=6=3时取等号，即助的最小值是9.

答案：9

8.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是

________m2.

【解析】设矩形的一边为xm,矩形场地的面积为ym2,则另一边为)X(20-

乙

2A)=(10—A)(m),

F%+(10—x)"12

则j=x(10—x)<-----------=25,

当且仅当x=10—x,即x=5时,%x=25.

答案：25

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.已知正实数x,y满足4x+4y=L

(1)求xy的最大值；

41

(2)若不等式2+15a恒成立，求实数a的取值范围.

xy

【解析】(l)4x+4y=l,所以［,

解得xjW二，

当且仅当x=y=J取等号,

O

所以孙的最大值为1•

04

⑵3+：=",(4x+4y)=20+?220+2^^^=36,

当且仅当,尸白取等号，

所以，+5aW36,解得一9Wa《4.

即a的取值范围是一9<aS4.

10.运货卡车以每小时万千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制

50WxW100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油

L+君升，司机的工资是每小时14元・

IOOUI

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.

⑵当x为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费外的值.

130

【解析】(D设所用时间为(11),

X

no(x\no

y=—X2X2+—+14X—(50^X100).

x1360Jx

1on\z1o，义1Qf)

所以，这次行车总费用y关于x的表达式是尸乜上+胃冷x(50W/100)

xobU

(或尸三+£乂(5。《/1。。)).

130X182X130r-

⑵尸360x/26y/ld,

x

当且仅当g2X130

=x即才=18四时等号成立.

X360

故当X=18，T5千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26m元・

能力提升

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.已知/'（x）=x+1-2（xV0）,贝1」/5）有（）

x

A.最大值0B.最小值0

C.最大值一4D.最小值一4

【解析】选C.因为xVO,

所以/V）=-（—X）+J、-2W-2—2=-4,当且仅当一x=L,即

*=-1时取等号.

所以/'（X）有最大值一4.

1Q

2.函数/（>）=]x+—r（D1）的最小值为（）

4x~\

1379

A.-B.3C.-D.-

A乙d

【解析】选A.因为彳>1,所以x—1>0,

xQ1Q1

所以f（x）=：+号=}a—D+告+[2

4X—14X—14

c[x-i9".113

2A\]-r4~•-X-—---1-4=4v，

x—19

当且仅当丁=--,即x=7时等号成立，

4X—1

13

所以F（x）的最小值为7.

3.（多选题）已知a>0,力0,且a+b+-+）=5,则己+6的（）

ab

A.最大值是3B.最大值是4

C.最小值是2D.最小值是1

【解析】选BD.因为a+Z?4--+7=（a+Z?Jl+；]=5,又a〉0,Z?>0,所以a

ab\ab）

55

+6=----W----—，当且仅当a=6时，等号成立，即（a+6）2—5（a+A）

+4W0,解得lWa+6W4.

4.已知彳>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

【解析】选C.方法一：由已知得xy=9—（x+3y）,即3灯=27—3（x+

3。乏传红）2，当且仅当L3y,即x=3,y=l时取等号，令x+3尸入则

t>0,且1+1210820,得626.即什3介6.

方法二：因为x+3y=9一灯22,3灯，所以（JbT+Z4•y[xy—9^0,所

以+3小）•（r\[xy一事）<0,所以0〈孙W3,所以刀+3y=9—

二、填空题（每小题5分，共20分）

5.若实数必y满足0=1,则炉+27的最小值为.

【解析】因为戈+2/2247丁7=2^2,当且仅当x=/y时取“=”,所

以f+2/的最小值为24.

答案:2y[2

6.当x>0时，方程a-4x—'=0有解，则实数a的取值范围是______.

X

【解析】因为a=4x+522、4x•4=4,

当且仅当4x=-,即时等号成立，所以324.

X乙

答案：心4

7.若a,bGR,ab>0,则小牛”的最小值为

ab

【解析】因为a,b£R,ab〉0,所以山、4一炉+1

2——;—=4.

abab

1——-产=2氏13=乎

9

=4,当且仅当《，工1即4r-

N,b143飘公立时取得等号.

答案：4

8.一批货物随17列货车从/市以P千米/小时匀速直达6市，已知两地铁路线

长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于（用千米，那么这批货物

全部运到6市，最快需要小时.

400+16阂2

【解析】设这批货物从力市全部运到4市的时间为b则t=-----=—

+需第X嘿=8（小时），当且仅当华=盖’即’=10°时等号成

立，此时£=8小时.

答案：8

三、解答题（共30分）

9.（10分）若a>0,6>0,且14"7=y[ab.

abN

（1）求才+4的最小值.

⑵是否存在a,b,使得2d+3b=6?并说明理由.

当且仅当4=。=镜时取等号.

因为（ab）322卷=4小,

当且仅当a=b=而时取等号，所以才+户的最小值为4镜.

⑵由（1）可知，2a+362242a・3b=2m另24小>6,

故不存在a,b,使得2d+36=6成立.

/-4-54

。（1°分）⑴已知x>。,求函数尸一^的最小值.

（2）已知，求函数y=x（l—3x）的最大值.

V+5x+44l4

【解析】（1）因为尸--------=x+-+522/+5=9,当且仅当X=一,即

xXXX

x=2时等号成立.

/+5x+4

(x〉0)的最小值为9.

所以y=x

(2)因为0<水；，所以l-3x>0.

所以y=x(l—3x)=；-3x(1-3x)

o

1["3x+l-3自21

^3[2J=12+

当且仅当3x=l—3%即时，等号成立.

0

所以当时、函数取得最大值

O1•乙

11.(10分)某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的

价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需

支付运费900元.

(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

⑵若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9

折优惠(即原价的90%),问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.

【解析】(D设该厂每x天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y元.

所以购买面粉的费用为6X1800^=10800x元，

保管等其他费用为3X(6+12+…+6x)=9x(x+l).

叱「10800x+9x(x+1)+900

所以y=------------------------

,f,100

=10809+91x+—210809+9X2

=10989.

当x=—,即x=10时，有最小值

Xy10989.

所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少.

⑵因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉，

设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x235)天购买一次面粉，平均每天支付的总

费用为力元，则

y,=-[9x(x+l)+900]+6Xl800X0.90=—+9x+9729(xN35).

XX

令f{x}=^4——(x235),扬＞Xi，35,

X

e/、/、rJO°\(jo°\

则F(Xi)-f(x.)=^1+--^+—

kX\)kXz)

(用一Xi)(100—Xi%)

X\X2

因为X2＞为235,所以也一用＞o,

X、•尼＞0,100—乂至VO,

所以/'(乂)-F(X2)〈O,即m)〈f(x2),所以/'(x)=x+理，当x，35时为增函

x

数，

所以当x=35时，以力有最小值，此时必GO989,所以该厂应接受此优惠条件.

5、二次函数与一元二次方程、不等式

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.(多选题)下列不等式中是一元二次不等式的是()

A.(〃+l)f>xB.—V+5x+6>0

C.(x+a)(x+d+1)VOD.2^-x>2

【解析】选BCD.由一元二次不等式的定义可知，BCD为一元二次不等式.

2.不等式5+