第18章光的衍射教案

第十八章

光的衍射

教学要求

*理解惠更斯-菲涅耳原理及半波

带法；

*理解单缝衍射条纹分布规律、缝

宽及波长对衍射条纹分布影响；

*了解圆孔衍射和光学仪器分辨

本领；

*掌握光栅衍射公式、光栅衍射谱

线位置确定及条纹分布特征；

*分析光栅常数及波长对衍射谱

线分布影响，理解缺级现象；

*了解X射线衍射。

教学内容(学时：4学时)

§18-1单缝衍射

§18-2圆孔衍射光学仪器的分

辨本领

§18-3光栅衍射

§18-4X射线衍射

教学重点

*单缝衍射的条纹分布规律，

*光栅衍射的条纹分布规律，

*半波带法及缺级现象。

作业

18-01).18-03).18-04).

18-06）、18-08）、

18-10）、18-12）、1874）、

18-16）.18-19）.

第十八章

光的衍射

（光的衍射绕过障诲物传播

“绕弯”且产生明暗相间条纹）

§18-1单缝

衍射

-惠更斯-菲涅耳原理

1、光的衍射现象

光作为一种电磁波，在传播过程中若

遇到尺寸比光的波长小或差不多的障碍

物时，

它就不再遵循直线传播的规律，而会

传到障碍物的阴影区并形成明暗相间的

条纹,

这就是光的衍射现象。

（图：针和细线的衍射

条纹）

利用惠更斯原理可以定性说明光线绕

过障碍物边沿的现象，但它不能确切地

说明为

什么出现明暗相间的条纹，菲涅尔用

“子波相干”的思想补充了惠更斯原理,

解释

了各类衍射现象并得出与实际相符的

结果。

2、惠更斯一菲涅耳原理：

从同一波阵面上各点发出的子波，在传

播到空间某点时，各个子波间也可以相

互替

加而产生干涉现象。

3、光强分布定量计算公式

（波阵面匚面元曲二子波—子波光

振动相干叠加形成衍射光振动）

面元冲在P点产生的光振动为:

z/QO77TB

dE=Ck(9)—cos(cot---)

r2

（18-1）

式中：C_比例系数

左（。）_随。增大而减小的倾斜因子。

当8=0时:

k（9）=l—最大

TC

当是万时：

k@=o

表示子波不能向后传播一

p点合振动为各面元在该点引起振动

叠加，积分：

石（尸）=fCk（3）8S（st_空H）dS

JrA

（18-2）

_____菲

涅耳衍射积分公式

（积分复杂!只对简单以'）和dS函数

才能作出,后面将使用半波带法计算）

4、光衍射的分类：

——夫朗和费衍射：光源到障碍物

及障碍物到屏距离为无限远。

一一菲涅尔衍射：光源到障碍物

或障碍物到屏距离为有限远。

二单缝夫朗和费衍射

（入射光和衍射光均视为平行

光，常用凸透镜实现无限远）

图18-3夫琅禾费衍射实验光路图

1、菲涅尔半波带法（直观简洁）

相缝端光程差（或最大光程

差）,等于：

8=AC=asin3

图18-4半波带

沿ZC方向，每过之/2作一个垂面,

这些垂面将单缝波阵面分成N份：

AT52asin，

N=-----=----------

2/22

(18-4)

每一份是一个狭长的带——称为半波

（图中三个坐波微:BB［、BjB2

和金A）

结论:

两相邻半波带对应点的子波一在P点

光程差为％/2——干涉相消。

如果偶数个半波带,则合振幅为零，P

点为暗纹中心。

苗子波合成较大光振动一一明纹中心。

（随夕变化，必有偶数和奇

数个半波带出现）

2、单缝衍射的明、暗纹条件:

明纹

1）屏上出现A级暗纹中心条件：

如果半波带数满足：

-2asin0[±（2k+l）

（4=1、2、3....）

或缝端光程差

2

.a±(2左+1)7

asm夕=《2

士kA

(18-6)

明纹

贝！I,屏上出现4级暗纹中心。

（注意：不论明纹、暗纹，都不取

K=0,为什么？）

明纹

2）屏上A级暗纹中心的角位置

（衍射角）：

2

±(2k+l)

6xsin3=v2a

kk士T

(k

a

二1、2、3……）（18-7）

明纹

3）屏上A级暗纹中心的线位置（P

相对于屏中心的位置）:

+(2k+l)氏

2a

xk=ftanOkxfsinOk=

土e

a

(k=l,2、3...)(18-8)

一一“称为衍射条纹的

级次；F为凸透镜的焦距。

4)小角度近似条件：

02sin3ytanO

5)光强按s，九夕的分布曲线如图

（两个一级暗纹中心间为中央明纹一0

级明纹）

*中央明纹的角位置：

—A<asinO<4

（18-9）

*中央明纹的线位置：

—030

aa

(18-10)

（宽度为次级条纹

的两倍!）

3、单缝衍射条纹的特征:

1）亮度分布

中央明纹最亮，各级明纹的亮度

随着级数的增大而减弱。

（因为衍射角夕越大，分成的波带数就越大,

每个波带提供光能的面积就越小…）

2）条纹宽度

相邻暗纹中心间距定义为明纹宽

度。则明纹线宽度为

(18-11)

（中央明纹线宽度为24）

3）条纹位置和宽度与缝宽和波长

的关系

八与缝宽成反比，与入射波

波长成正比。

表示:缝愈窄一条纹位置离中心

愈远，条纹排列愈疏-衍射好。

缝愈宽一衍射愈差

（当缝宽大到一定程度，

衍射现象消失）

4）白光入射

中央明纹白色一其他明纹由紫到

红的顺序彩色条纹一一单缝衍射光谱。

例18.1(1)在夫琅和费单缝衍射实验

中，用单色光垂直入射

缝面，

已知波长2=500nm,第

一级暗纹对应衍射角°=30。，

问：缝宽如何？

(2)如果单缝的宽度

a—0.50mm,

在焦距的透镜

的焦平面上观察衍射条纹，

求：中央明纹和其它各级

明纹的宽度。

解：(1)由(18-6)式的暗纹公式，对第

一级暗纹有：

asin0=±A

由于。=±3。°,可以求得缝

宽:

^=^=1000nm=1°8m

（单缝工艺困难！常用的

单缝要宽得多）

（2）中央明纹宽度：

,2歹2x500xlCT9xL0「

I。=——=------5------=2x

a0.5xlCTJ

其它各级明纹宽度：

I=I。/2=1.0mm

§18-2圆孔衍射光

学仪器分辨本领

园孔衍射：通过圆孔产生的衍射现

象（小圆孔代替狭缝）。

（光学仪器由若干透镜组成，相当于

园孔，通过圆孔时产生衍射）

孔的夫朗和费衍射

1、现象及规律

1）现象

小圆孔一单色平行光垂直照射圆孔

一透镜一屏幕一环形衍射斑

一中央亮斑或爱里斑（光强84%）-

外围一组同心暗环和明环

2）规律

通过计算可得（证明从略）第一级

暗环衍射角8满足

式中：〃为圆孔的直径，爱里斑的

角半径衍射角8

若远镜焦距f较大，此角很小，故:

□

OjxsinOj=7.22—

(18-12)

可知爱里斑半径d为h

0

d=/tan4=1.225/

（上式看出：衍射孔〃愈大，爱里斑

愈小；光波波长丸愈短，爱里斑也愈小）

二光学仪器的分辨本领

光学仪器观察一放大能力一分辨

本领一放大清晰可见

两个物点距离太近一光的衍射限

制了光学仪器分辨本领。

1、瑞利准则：

如果一个爱里斑中心（光强最大，设

为I。）正好和另一个爱里斑第一级暗环

重

叠，重叠部分的中心光强1=0.8Io,

这时恰好能辨别出这是两个物点的象。

两物点恰能分辨时，两爱里斑中心距

离是爱里斑的半径do

60——=tan，=sm0x=1.22——

因此，两相邻物点最小分辨角等于

里斑的角半径:

□

33=6.=1.22—

D

(18-13)

光学仪器的分辨率为:

1D

R=

331.22>L

（18-14）

（表明：分碑率大小与仪器的孔径

〃成正比，与入射光波波长成反比）

例如:天文望远镜用大口径物镜提高

分辨率（直径8m）。

电子显微镜用波长短的射线提

高分辨率（几十万伏高压产生电子波，

波长约为可对分子、

原子的结构进行观察。

例18.2通常人眼瞳孔直径约3mm,人

最敏感波长为550nm黄绿光,

问:人眼的最小分辨角多大?

在上述条件下，若有一个等号,

两条线间距为1mm,

问：等号距离人多远处恰能分

辨出不是减号。

解：人眼的最小分辨角:

ucc550x10"

66=6、=1.22—=1.22x-----------

1D3x10-3

=2.24x10-4(94)。1，

设等号间距为d,距离人为X,等

e_d

号对人眼的张角为U1,恰能分辨时

有：

O=-=30

JC

于是，恰能分辨时的距离为：

d1.0x10—3

x=----=-----------------=4.5("

se2.24x10—4

§18-3光

栅衍射

（双/色干涉和单缝衍射条纹

间距太小，亮度很暗，不易观测）

平面透射光栅：由一系列平行、等宽

又等间隔的狭缝排列构成（栅栏式）。

它能获得间距较大、

极细极亮的衍射条纹，便于精密测量。

a..J

h..

图18-8

a—透光部分的宽度一-光栅缝

宽，b--不透光部分宽度，

d=a+b__光栅常数（可达微

米的数量极）

如：在1cm宽玻璃片上刻痕为1千条,

则光栅常数

]

5

a+b=------cm=10-m-

1000，

般d约为ICT一一10、的数量级。

-光栅方程

当平行光垂直入射光栅，各缝发出各

自单缝衍射光，沿衍射角。方向通过

透镜

会聚到焦平面观察屏心多光束干涉

—光栅衍射—单缝衍射和多缝干涉的

总效果。

光栅方程:

相邻两缝衍射光在尸点光程差为：

3=(a+b)sinO

光栅衍射主极大(主明纹)满足条

件：

(q+Z?)sin0=±kA

(k=0,l,2,…)(18-15)

——光栅方

程

二光栅衍射光强的分

布特点

1、k级主极大的角位置：

从光栅方程可知：

2

sinO=±k

ka+b

(18-16)

注意:

光栅常数。+人可达到"2数

量级，由于波长也是依量级，所以主

极大的

衍射角不一定很小(可达3。。、

60°)

说明:

*光栅可实现大角度衍射，光栅

衍射条纹的间距大，易于实现精密测量。

*光栅衍射条纹的级次往往有

限，光栅衍射主极大的最高级次:

一a+5

Zzc<-----------

(18-17)

例如：某光栅每毫米有一千条

缝，贝+b=

若光波长

2=600nm,则屏上只能出现0和±1

级共三条明纹。

*计算时不能如同双缝和单缝那

样认为有夕=sinO—tanOo

*条纹之间也不一定是等间距分

布，要具体分析。

2、光栅衍射光强主要集中在主极

大，次级明纹光强很弱（暗区）

1）光栅暗纹的条件

各狭缝所射出的光都由于

自身的衍射而抵消，形成暗条纹

asin0—±kA

（k=1,2,3,……）

由于N条狭缝所发出的光的

干涉而形成暗条纹

N（a+b）sin0—±kfA

（院=123,..…不包括N,2N.......）

可见：

在光栅两个主极大明纹间有N-1

个暗纹，还有％-2个光强很弱的

次级明纹，

通常光栅缝数〃很大，次级明纹很

多，实际上形成一片黑暗的背景，光栅

的暗

区特别宽。

3.单缝衍射调制下的多缝干涉光

强分布

可证明在屏上形成的光强分布是单

缝衍射调制下多缝干涉光强分布。

（图：四缝光栅的光强分布曲线）

'I

（a）单缝衍射（力多缝

干涉（。）光栅衍射

三缺级现象

1v缺级现象:

当多光束干涉某一级主极大位置恰

好落在单缝衍射暗纹中心处，这一级主

极大

将在屏上消失，称为缺级。

2、缺级条件:

由单缝衍射的极小条件

々sin夕=k'A

多缝干涉的主极大条件

(a+b)sinO=kA

两式相除得：

a+bk

akf

(18-18)

a+b

即若一3一为整数比

k

不时，发生缺级--缺级条件

(多缝干涉k级主极大恰为单缝衍射

级暗纹位置，A级主极大将不出现)

a+b_k

如果a=%7，则必有

a+b_2k_3k

a—2^一而一....’

即此时k,2k,3k…”•这些级次的

主极大都将缺级。

例如:

a+b2

a/时，2、4、6、8....等

级次的主极大不再出现，发生缺级。

_a__+__b=一3或f一3

a12时，3、6、9、12……

等级次的主极大出现缺级。

见光栅光谱

1）线状光谱:

单色光在光栅上的衍射形成一系列

明亮的线状主极大。

2）光栅光谱：

若入射光为复色光，不同波长同一望

主歌懿翻同，衍射光强按波长展

开。

设：波长范围为小〜冬，并设4<小，

按(18-16)式：

为光的A级主极大在：

74

sin即=土左六

丸2光的次级主极大在

sin02k二

a+b

其他波长k级主极誉上髯

——构成k级光谱(角追围在

O~)。…

对l于k同一级主极大，波长较上赞里

衍射角度大，所以完整光谱最图或次

决:长较长的谱线的最高级次’按

(18-17)式为:

a+b

k<

4

（如果波长范较大,相邻的两级光

谱容易发生重叠而显得不清晰）

A级光谱不重叠的条件是；

°2k—）

按（18-16）式

左--〈（左+1）4—r组才壬

a-\-ba-\-b，可得不重

叠光谱条件为：

k<4

丸2

例如:对于白光，4二400nm,

4=70册相，可算得人工怖。

（即不重叠光谱的级次只

有1级）

例18.3有一四缝光栅(如图)，缝宽为

a,光栅常量d=2a9其中1缝

总是开的，

而2,3,4缝可以开也可以关

闭，波长为2的单色平行光垂直

入射光栅。

试画出下列条件下，光栅衍射

的相对光强分布7；比,曲

线。

(1)关闭3,4缝；

(2)关闭2,4缝;

(3)4条缝全开。

L

iA

2

o

3

4

(a)四缝光栅

r、、

(c)

（力相对光强分布曲

线

解（1）关闭3,4缝时，四缝光栅变为

双缝，双缝可看作最简单光栅。

由于d/〃=2,第二级主极大纹

缺，

所以在中央极大包线内共有0、

士1级共3条谱线。

(2)关闭2,4缝时，仍为双缝，但

光栅常量d变为d=4a,

即d'/〃=4,因而在中央极大包

线内共有7条谱线。

(3)4条缝全开时，dla-29中央极

大包线内共有3条谱线，

与(1)不同的是主极大明纹的

宽度和相邻两主极大之间的光强

分布不同。

(注意三种情况下都有缺级

现象)

§18-4X

射线衍射

X射线—伦琴射线(伦琴一1895年

-1901年诺贝尔物理学奖)：

x射线的产生方法和特点

1、x射线产生的方法

X(!)线

W川卜

由高压加速电子撞击金属阳极时辐射

出一种射线。

9又射缚痔占

1)X需线具,很高的穿透本领。

2)x射线也是一种电磁波，波长在

0.Olnm到10nm间，与原子尺度相近。

二、X射线衍射的劳厄实验

（X射线既是电磁波就应该有干涉和衍

射现象，当时使用衍射光栅常数远远大

于X射

线波长，不可能观察衍射现象）

1、劳厄实验原理

晶体空间点阵：原子、分子或离子有

着规则的、周期性的空间排列-一天然光

栅。

（粒子间距级小，

约为0.Inm数量级）

用下面装置来观察x射线衍射

单晶片照象底片

(a)

2、劳厄斑点

穿过铅板小孔X射线投射晶体薄片，

后面放一张照相底片，经过暴光，底片

上显

现许多规则排列的斑点。它说明在某

些确定方向上x射线干涉加强，在照相

上感光形成斑点，在其它方向上，干

涉减弱，不出现x射线。

三、晶体衍射的布喇格公式

把晶体看成是由一系列彼此相互平

行的原子（或分子、离子等）层重叠所组

成的。

当X射线照在原子上，按惠更斯原

理，这些原子就成为子波波源，向名方

向发

出子波。

1、布喇格公式推导：

d一晶格常数，夕一掠射角（入射

波与晶面夹角），。一散射波与晶面夹

角

看同一晶面组中同一层晶面：相邻

两点散射线间的光程差为：

6=AD—BC=—coscp)

人射波

(a)

当。=e,左=。时，光程差为零

干涉加强条件一一晶面反射方向

形成强度最大衍射光其他级别衍

射光都很弱一一晶面对射线的“反射”。

x射线穿透力强一可进入晶体反射一

一反射光也要相互干涉。

看同一个晶面组中相邻两个晶面：相

邻两个晶面上的反射

光的光程差为：

d=AC+CB=2dsin3

（考虑到X射线在介质中几乎不发生

偏转，取折射率"=/）

如果光程差满足干涉加强的条件：

8=2dsinO=kA（4

=1,