山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-导数的综合应用含答案解析

第3课时导数的综合应用

经典题型冲关

题型一利用导数求解函数的零点或方程的根的问题

【举例说明】

11

L若关于X的方程§X3=]X2+2X+C有三个不等实根，则实数C的取值范围是

答Z2案(「干10I)

解析原方程可化为C=1?—%2—2%,

设段)=)/一]'—2x,

f(x)=x2—x—2=(x+l)(x—2),

由/'(x)>0可得x>2或xV—1,

由/'(x)V0可得-1(尤V2,

所以函数«x)在(一8,-1),(2,+8)上是增函数，

在(一1,2)上是减函数，

7

所以函数/U)的极大值为1)=不

极小值为/2)=一芋.

由题意得，函数Hx)的图象与直线y=c有三个不同的公共点，所以一¥<c

4

2.(2019•全国卷I节选)已知函数/(x)=2sinx—xcosx-x,(x)为/(x)的导数.

证明：/(x)在区间(0,2存在唯一零点.

证明设gQ)=f(“

则ga)=cosx+%sint-1,g'(x)=xcosx.

当xd(0,习时，g'(X)>O；

当工呜兀）时，g'（x）<0,

所以g（x）在（0,劈上单调递增，在传，/上单调递减.

又g（0）=0,g©>0,g（兀）=—2,

故g（x）在（0,2存在唯一零点.

所以/（x）在区间（0,兀）存在唯一零点.

【据例说法】

利用导数研究函数零点或方程根的方法

（1）通过最值（极值）判断零点个数的方法

借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函

数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.

（2）数形结合法求解零点

对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函

数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.

⑶构造函数法研究函数零点

①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函

数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关

系，从而求解.

②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出

导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法.

I【巩固迁移】

2

1.（2019・吉安模拟）已知定义在R上的奇函数/U）满足x>0时，危尸『一lnx

TT

+1叼，则函数g（x）=^x）—sinx（e为自然对数的底数）的零点个数是（）

A.lB.2

C.3D.5

答案C

解析根据题意，函数g（x）=y（x）—sirLr的零点即函数了=应6与y=sinx的交

点，设/7（x）=sior,函数凡r）为R上的奇函数，则/0）=0,又由/2（0）=sin0=

2兀

0.则函数^=72与y=siru存在交点(0,0),当x>0时，_/(x)=£c—lnx+ln?,其

导数/'(x)=>：，分析可得在区间(0,当上，/'(x)<0,段)为减函数，在区

间仔+8)上，F(x)>0,.*X)为增函数，则於)在区间(0,+8)上存在最小

值，且其最小值为年)=\x/In^+ln1=1,又由电j=s峙=1,则函数

y=於)与y=sin_r存在交点住1),又由y=«r)与尸sinx都是奇函数，则函

数产於)与y=siru存在交点(苫，一1).综合可得，函数y=_/U)与尸sinx有

3个交点，则函数g(x)=/(x)—siiiY有3个零点.

2.已知函数*x)=xlnx,g(x)=-*+ax—3(a为实数)，若方程g(x)=2/(x)在区

间5，e上有两个不等实根，求实数a的取值范围.

解由g(x)="：x),

3

可得2xlnx=—x2+ax—3,a=x+21nx+-,

3

设/:(x)=x+21nx+^(x>0),

3

//(e)—~+e+2.

且/z(e)—〃(j=4—2e+~<0.

所以人a)mE=〃(l)=4,

%(x)max=43=:+3e—2,

所以实数a的取值范围为4VaWe+2+|,

即a的取值范围为(4,e+2+|.

题型二利用导数研究不等式的有关问题多角探究

【举例说明】

9角度1证明不等式(多维探究)

1.(2019•武威模拟)已知式x)=2ar+bln%—1,设曲线y=/(x)在点(1,川))处的

切线为y=0.

(1)求实数a,8的值；

、_2

(2)设函数g(x)=2/a)+,—mx,若IV机V3,求证：当尤G［l,e］时，g(x)<ey

b

解(1)由已知得，/'(x)=2a+1依题意/U)=0,

且/'(1)=0,

2a~1=0,解得

所以a=f,b=-l.

2a+b=0,

(2)证明：由(1)得«r)=x—Inx—1(尤>0),

所以g(x)=5—minx—机。>0),

mx2—m

ga)=­=丁，

当〃2>0时，由g'(x)>0得

由g'(x)<0得OVxV/i,

所以g(x)在区间(0,F)上是减函数，

在区间(赤，+8)上是增函数；

当lVmV3,xG［l,e］时，e］,

g(x)在区间［1,亚)上是减函数，在区间(赤，e］上是增函数,

所以g(x)的最大值为max(g⑴,g(e)),

e，1e

又因为IV机V3,g(e)———2m<—e—2,g(1)=^—m<0<——2,

2

所以当1<机<3,xG[l,e]时，g(x)〈5e—2.

x2

条件探究本例中，f(x)改为，g(x)改为"g(x)=xlnx"，当x

W(0,+8)时，求证f(x)Vg(x).

证明因为g'(x)=lnx+l.

令g'(%)<o,则t，

所以g(x)在(0,J上单调递减，在g，+8)上单调递增.

所以g(x)2gg)=一5

1---Y

又因为/'(x)=X.

令/(x)=T>0,则x<l,因为x>0,所以/(x)在。1)上单调递增，在(1,+

8)上单调递减.

所以穴x)9/U)=一E

因此/U)<g(x).

9角度2已知不等式恒成立，求参数的取值范围

2.已知函数/U)」弓

(1)若函数/U)在区间。，。十今上存在极值，求正实数a的取值范围；

k

(2)如果当x》l时，不等式f(x)2不恒成立，求实数k的取值范围.

解(1)函数/U)的定义域为(0,+°°),

,、1—1—InxInx

TtVI=：-----T----3=---

令f(x)=0,得尤=1.

当x£(O,l)时,f(x)>0,段)是增函数;

当xG(l,+8)时，/(x)<0,/(X)是减函数;

所以X=1为函数式X)的极大值点，且是唯一极值点，

所以0<a<l<a+g,

故去S<1,即正实数a的取值范围为生1)

(2)当时，4-----------2恒成立，

人(、(x+l)(l+lnx)

令g(x)=------：-----(尤，1),

H+lnx+1+~j.r—(x+l)(l+lnx)

贝“g，«=-------------，---------------

x-Inx

再令/z(x)=x—Inx(x»l),则/?'(x)=1—

所以⑴=1,所以g'(x)>0,

所以g(x)是增函数,所以g(x)2g(1)=2,

故ZW2,即实数々的取值范围是(一8,2].

9角度3不等式存在性成立问题

3.已知函数网F一(a+Dlnx/aWR),g(x)=¥+e—e*.

(1)当xW[Le]时，求犬x)的最小值；

(2)当a<l时,若存在XiG[e,e2],使得对任意的X26[—2,0],/⑹7的)恒成

立，求。的取值范围.

解(D7U)的定义域为(0,十8),

,(X—l)(x-«)

f«=-―"~

①当aWl时，xE[l,e],f(x)>0,

贝幻为增函数，_/U)mm=/U)=l—a.

②当l<a<e时，

%e[l,a]时，f(x)<0,Kx)为减函数;

x£[a,e]时，/'(x)N0,f(x)为增函数.

所以犬x)min=/⑷=a—(a+l)lna-l.

③当a2e时,%e［l,e］时，f(x)^0,

/(x)在［1,e］上为减函数.

./U)min=/(e)=e-(a+l)-1.

综上，当aWl时，於)min=l-a；

当l<a<e时，./(x)min=a—(〃+l)lna—1；

当a》e时，./U)min=e-(a+l)-?.

(2)由题意知f(M(x£［e,eT的最小值小于g(x)(xd［—2,0］)的最小值.

由⑴知当a<l时，,*x)在［e,e2］上单调递增，

.A^)mm=/(e)=e-(a+1)-^.

g'(x)=(l-e>.

当x£［—2,0］时,g'(x)W0,g(x)为减函数.

g(X)min=g(0)=L

.aiie2-2e

所以e—(a+1)—~<1,即a>,,

CCI1

fe2—2e、

所以a的取值范围为「彳丁，1J.

【据例说法】

1.利用导数证明不等式成立问题的常用方法

(1)直接将不等式转化成某个函数最值问题

若证明f(x)<g(x),xG(a,b),可以构造函数F(x)=/(x)—g(x),如果F'(x)<0,

则F(x)在(a,b)上是减函数，同时若F(a)W0,由减函数的定义可知，xG(a,

b)时,有F(x)<0,即证明了f(x)<g(x).

(2)将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明

在证明不等式中，若待证不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可

借助两个函数的最值证明，如要证寅x)2g(x)在D上成立，只需证明

_/U)min2g(X)max即可.如举例说明1的条件探究.

2.不等式在某个区间上恒成立(存在性成立"可题的转化途径

(l)/(x)2a恒成立QAXUnNa，如举例说明2；

存在X使7(x)2。成立於/")max2a.

(2)*X)W力恒成立

存在X使成立e/COminWA

(3)_Ax)>g(X)恒成立产(冷=危)一

(4)①任意XieM,任意X2eN,fixi)>^(x2)^/(xi)min>^(x2)max;②任意X|eM,

存在X2dN,/Ui)>g(X2)翎3)min>g(X2)min；③存在X\^M,存在九26乂兀⑴气⑴)

仁V(X[)n1ax>g(X2)min；0)存在X\M,任意X?GN,/(X|)>g(X2)O_/(Xl)max>g(X2)max.

如举例说明3.

【巩固迁移】

o

1.(2019・渭南模拟)设函数/Cx)=(x—a)2+(31nx—3a)\若存在刈，使/(xo)W而,

则实数a的值为()

A"1B1

A104

C.^D.1

答案A

解析分别令g(x)=31nx,/?(%)=3x,

设过点P(x()31nM)的函数g(x)的切线/平行于直线y=3x.

33

g'M=~,由：=3,解得沏=1.，切点P(I,O).

xAO

点P到直线y=3光的距离d=嚅.

9

二存在沏=1，使人切)忘正，

过点P且与直线y=3x垂直的直线方程为

1

,=一善—1).

]产3羽13

联立(=-/—]),解得尸石产记

则实数。=弥.故选A.

2.已知函数y(x)=xlnx+；ax2-],且己(1)=-1.

(1)求函数7U)的解析式；

(2)若对任意XG(O,+8；)都有«¥)一2烟十1・0,求机的取值范围;

(3)证明：InxWx—IVe'-2.

解(1)因为«¥)=3111》+匕/一1,

所以/(x)=\nx+1+ax.

又因为/'(1)=—1,所以1+。=—1,。=—2,

所以7(x)=xlnx—x2—1.

(2)若对任意x£(0,+8),都有段)-2〃a+1W0.

即xln%—f—2mxWO恒成立，

即m^lnx—^x恒成立.

令/2(x)=3nx—%,贝U

,111—X

ha)=妥—5=百・

当0令<1时，h'(x)>0,〃(x)单调递增；

当x>l时,h'(x)<0,Mx)单调递减.

所以当x=l时，/?(x)有最大值，/?(1)=—

所以机2一/即机的取值范围是［一/+8).

(3)证明：由(2)可得/j(x)=1lnx—5或一=

所以InxWx-1,

现要证明x—1<廿一2,

即证eA—%—1>0.

令9(x)=e'—x—1,则夕’(x)=ex—1.

当x>0时，(pf(x)>0,(p(x)单调递增.

所以9(x)>9(0)=0.

即e'-X—1>0.

所以X—l<ev—2.

从而得到InxW%—IVe"-2.

题型三利用导数求解生活中的优化问题

［举例说明］

如图所示的某种容器的体积为90兀cn?,它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，

圆柱与圆锥的底面半径都为rem.圆锥的高为加cm,母线与底面所成的角为

45°；圆柱的高为出cm.已知圆柱底面的造价为2。元/cm\圆柱侧面造价为a

元/cm:圆锥侧面造价为啦a元/cm?.

力2rm

(1)将圆柱的高/及表示为底面半径r的函数，并求出定义域;

(2)当容器造价最低时，圆柱的底面半径为多少？

解(1)因为圆锥的母线与底面所成的角为45。，

所以hi=r,

圆锥的体积为—=；兀/加=；兀凡

圆柱的体积为匕=兀内?2.

因为—十%=90兀，所以匕二兀^出二四兀一/兀/，

所以h2~3ri

因为丫1=%/<90兀，所以r<3折6.

&,270一尸on尸

因此0<r<3\/I5,所以后=~彳一=/一至

定义域为{r10<r<3知15}.

⑵圆锥的侧面积$="也「=啦—，

圆柱的侧面积刈=2兀他2,底面积§3=兀/.

容器总造价为y=\l2aSl+aS2+2aS3

=2无尸a+271rh2a+2兀厂2a=271a(/+rhi+r2)

C，U/90「Yll(w2I54、

令/W=J+¥，则/⑺=2r—

令/⑺=0，得r=3.

当0<r<3时，f(r)<0,在(0,3)上为单调减函数；

当3<r<3加时，/'(r)>0,大r)在(3,3洞)上为单调增函数,

因此，当r=3时，/(r)有最小值，y有最小值90na元.

所以总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm.

【据例说法】

1.利用导数解决生活中的实际应用问题的四步骤

-一'豆讦尾标向运承着萎菱爱时麻溪系:司由芟底向应而薪

之寸L学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式尸/㈤

十第二步A二i二求二函数的导二致/■'(*):.解方二程/'(.二、j=o二

比较函数在区间端点和/'(.力。的点的函数值的大小，敢

超夕二大(小)者为最大(小)值

第四步A回归实际问题作答

2.利用导数解决生活中优化问题的方法

求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立

函数关系式，并确定其定义域，然后利用求函数最值的方法求解，注意结果

应与实际情况相结合.如举例说明.

【巩固迁移】

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)

与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=d^+10(x—6)\其中3<x<6,a

为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销

售该商品所获得的利润最大.

解(1)因为当x=5时，y=ll,

所以10=11,解得a=2.

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为

y=1^+io(x—6)2.

所以商场每日销售该商品所获得的利润为

/(x)=(x—3)|jZ^+10(x_6)一

=2+10(X-3)(X-6)23<X<6.

则/(X)=10[(X-6)2+2(X-3)(X-6)]

=30(x—4)(x—6).

于是，当X变化时，f(x),/(x)的变化情况如下表:

X(3,4)4(4,6)

fW+0—

於)单调递增极大值42单调递减

由上表可得，当x=4时，函数7U)取得极大值，也是最大值.

所以当x=4时，函数_/U)取得最大值且最大值等于42.

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

课时作业

A组基础关

1.方程/-6*+%:—10=0的实根个数是()

A.3B.2

C.1D.0

答案C

解析设.*x)=x3—6*+9x—10,f(x)=3X2—12x+9=3(x—1)(%—3),由此

可知函数的极大值为11)=一6<0,极小值为_/(3)=—10<0,所以方程丁―6*+9*

-10=0的实根个数为1.

2.若•龙在R上恒成立，则实数%的取值范围为()

A.(一8,1]B.[1,+0°)

C.(—8,-1]D.[-1,+8)

答案A

解析由得AWe*—x.令y（x）=e*—x,

.♦./（幻=廿一1.当/⑴<0时，解得x<0；当/（幻〉0时，解得x〉0..\/U）在（一

°°,0）上是减函数，在（0,+8）上是增函数..,.y（x）min=/（0）=l..,.实数%的取值范

围为（一8,1］.故选A.

3.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定

为〃元，销售量为。件，则销售量。（单位：件）与零售价p（单位：元）有如下关系:

2=8300-170p-p2,则最大毛利润为（毛利润=销售收入一进货支出X）

A.30元B.60元

C.28000元D.23000元

答案D

解析设毛利润为L。)元，则由题意知LS)=p。-20。=。5-20)=(8300—

170p-p2)Q?-20)=-p3-150/72+11700p-166000,所以2/(/?)=-3/?2-300/?+

11700.令L'(p)=0,解得p=30或p=—130(舍去).当pG(0,30)时，L'(p)>0,

当〃e(30,+8)时，L'S)<0,故L(p)在〃=30时取得极大值，即最大值，且最

大值为"30)=23000.

4.已知函数兀Dnalnx+x2,tzGR,若.*x)在［1,e?］上有且只有一个零点，则

实数。的取值范围是()

A1-8,

(e4］2

B(—8,—yju{—2e-}

C.(-8,—{-2e}

答案C

解析当尤=1时，_/U）=lW0,从而分离参数，可将问题转化为直线y=a与

函数gQ）=一支的图象在（1,e2］上有且只有一个交点，令g'。）=华竽=0,

得x=#,易得g（x）在（1,五）上单调递增，在（#,e2］上单调递减，由于g（#）=

—2e,^(e2)=—y,当L1时，g(x)f—8,所以直线产一2e或位于直线y=一三

e4

下方的直线均满足题意，即a=-2e或4<一会故选C.

5.(2019・天津高考)已知aWR,设函数式x)=

工2-2奴+2〃，xWl,

,,若关于光的不等式/U)20在R上恒成立，则。的取

x-a\nx9x>\.

值范围为()

A.[0,1]B.[0,2]

C.[0,e]D.[1,e]

答案C

解析当xWl时，由.*x)=x2-2ar+2a20恒成立，而二次函数兀r)图象的对

称轴为直线％="，所以当“21时，/U)mm=/U)=l>0恒成立，当a<\时，Kinlin

=/(a)=2a—所以0Wa<l.综上，a20.当x>l时，由.*x)=x—alnx»0恒成

YY]nx—1

立,即“〈康恒成立•设则g'(")=(Ex)2•令g'(x)=6

得x=e,且当1a<e时，g'(x)<0,当x>e时，g'(x)>0,所以g(x)mm=g(e)

=e,所以aWe.综上，a的取值范围是OWaWe,即[0,e].故选C.

x3

6.已知y(尤)=Inx—4+1，g(x)=—x2—2奴+4.若X/为£(0,2],3x2^[1,2],

使得大用)与以元2)成立，则。的取值范围是()

1

-

-+8B25-81n2

A.

8,+8

C[—*145]D((—8,-5JA

答案A

1__,1311—d+4x—3(x—l)(x—3)

解析因为/W=--4-^-4=底=-----言----(^>0),则当x

口0,1)时,/(x)V0；当xe(l,2]时，/(x)>0,所以於)在(0』)上单调递减，在(1,2]

上单调递增，故yU)min=/U)=T•对于二次函数g(X)=—d—2cu+4,该函数开口向

下，所以其在区间[1,2]上的最小值在端点处取得，所以要使Vx|W(0,2],3X2E[1,2],

使得於l)，g(X2)成立，只需於l)min2g(X2)min，即32g⑴或拉g(2),所以9一1一

2a+4或［2一4—4〃+4,解得故选A.

a

7.已知方程In园一以2+邑=o有4个不同的实数根，则实数。的取值范围是

()

A(0,B(0,1

c(o,D{O,

答案A

33

解析由于y=ln|x|-是偶函数，所以方程inx—af+5=0(x>0)有两

Inx+|Inx+i%-2x(lnx+')

个根，即a=-7—有两个根.设,*x)=~7—,则f'(x)=『=—

2。0j+D,所以当0a<(时，f(x)>0,/(x)递增，当时，f(x)<0,_/(x)递减，

所以当x=1时，兀r)取得极大值也是最大值■.又犷*+0时，/(x)f-8,l

lnx+|e2

十8时，所以要使。=——有两个根，则0<a<y.

8.已知函数/U)=X*—a，若存在xW［l,2］,使得於)<2,则实数。的取值范

围是.

答案(一1,5)

解析当x£［l,2］时，危)=|成一知，

99

由7(x)<2可得一2Q?一以<2,即为一f一

29

设g(x)=—/一丁则导数为g，(x)=—2x+7,

当x£［i,2］时，g'a)wo,

即g(X)在［1,2］上单调递减，所以g(X)min=-4—1=—5,

即有一a>—5,即a<5；

29

设//（%）=—尤2+?则导数为//（x）=-2x—7,

当x£［l,2］时，/?'（x）＜0,即〃（x）在［1,2］上单调递减，

可得力（X）max=-1+2=1.即有一。＜1,即。＞一1.

综上可得，a的取值范围是一l＜a＜5.

9.已知函数於）=xlnx+吴沏是函数./U）的极值点，给出以下几个命题：

@0＜x（）＜1;②M）＞:；⑨Uo）+x（）＜O;刨无（））+x（）＞0.

其中正确的命题是（填出所有正确命题的序号）.

答案①③

角星析函数y（x）=Alnx+/2（》＞0）,

:（x）=lnx+l+x,易得/（x）=lnx+l+x在（0,+8）递增，.•/电=；＞（）,

Vx-►O,f（x）-*—00,

0＜xo＜g,即①正确，②不正确；

,.,lnx（）+1+x（）=0,

.,.j（x（））+x0=x（）\nx（）+3/+x（）=x（｛lnxo+1%o+1^=-^Xo＜O,即③正确，④不正

确.

10.已知函数7U）的定义域是［—1,5］,部分对应值如表，,穴X）的导函数y=r（X）

的图象如图所示，

X-10245

於）121.521

下列关于函数7U）的命题:

①函数./U)的值域为［1,2］；

②函数_/U)在。2］上是减函数；

③如果当4时，/U)的最大值是2,那么r的最大值为4；

④当l<a<2时，函数y=/(x)—a最多有4个零点.

其中所有正确命题的序号是.

答案①②④

解析由./U)的导函数/'(X)的图象可知，当一l<x<0及2a<4时，/'(x)>0,

函数1Ax)单调递增，当0<x<2及4<r<5时，/'(x)<0,函数«x)单调递减，当x=0

及x=4时，函数/U)取得极大值火0)=2,14)=2,当x=2时，函数负>)取得极小

值人2)=15又/-1)=犬5)=1,所以函数人x)的最大值为2,最小值为1,值域为［1,2］,

①②正确；因为当x=0及x=4时，函数/U)取得极大值<0)=2,犬4)=2,要使当

xw［—1,r］时，函数九》的最大值是2,则0W/W5,所以r的最大值为5,所以③

不正确；因为极小值/2)=1.5,极大值人0)=义4)=2,所以当l<a<2时，>=/田一

a最多有4个零点，所以④正确，所以正确命题的序号为①②④.

纥组能力关

X

1.已知过点伙,0)与凡r)相切的直线有且仅有3条，则k的取值范

围是()

A.(一8,2—e2)B.(一8,2—e2］

C.(—8,4—e2)D.(—8,4—e2］

答案C

解析设切点为Qo,i-闻，/'a)=*,则切线为>—1+言=嗡。—

M))，代入点(20)得左=x()+F5f—~^坦7，令g(x)=x+/7-上彳，

Xo―1沏—1x—1x—1

(2—x)(eA-x)

则g'a)=a-1)2’当x<2时，g'(x)>0,g(x)单调递增，注意到x#l,

故g(x)的递增区间为(一8,i),(1,2),当x>2时，g(x)单调递减，要使8(%)=%有

三个根，由图象可得，Kg(2)=4-e2,故人的取值范围为(一8,4—e2).

2.若0<力<%2<。都有但也即一Rn九2<xif2成立，则。的最大值为()

A.；B.1

C.eD.2e

答案B

解析根据题意，若0<工1<、2<。，X]一九|ln冗2<修一0n>—n'2<——

X\X2犬2犬1

lnxj+1lnx2+lInxi+1Inj^+l、〃Inx+1-一山,

---<——^―-———<0,设«x)=-则函数7W在(0,

A]A2AJ424

।—一Inx+14匚,1—(Inx+1)Inx,

a)上为增函数，对于兀v)=---，其导数/(%)=----7=—y,右/(JC)>0,

解得04<1,即函数人九)=皿户的单调递增区间为(0,1)；若0542<。都有Wnxi

•X

—xiln龙2<^1—%2成立，即函数/U)在(0,a)上为增函数，则。的最大值为1.

3.对于定义在R上的函数7U)，若存在非零实数M，使函数./U)在(一8,沏)

和(必，+8)上均有零点，则称刈为函数.*x)的一个“折点”.现给出下列四个函

数：

3

①/^)=3卜一"+2；②/(x)=lg|x+2019|；(3)/(x)=y-x-l；④/^)=#+2如一

l(mGR).

则存在“折点”的函数是.(填序号)

答案②④

解析因为於)=3「旺2>2,

所以函数/U)不存在零点，

所以函数段)不存在“折点”；

对于函数./W=lg|x+2019],取向=-2019,

则函数1x)在(一8,—2019)上有零点x=—2020,

在(一2019,+8)上有零点》=一2018,

所以沏=一2019是函数/)=lg|x+2019|的一个“折点”；

对于函数/)=不一X—1,

则/W=?-l=(x+l)(x-l).

令f(x)>0,得x>1或x<—1；

令/'(x)<0,得一la<l,

所以函数/U)在(一8,—1)和(1,+8)上单调递增，在(一11)上单调递减.

又火—1)=一；<0,所以函数/U)只有一个零点，

所以函数段)=母一X—1不存在“折点”；

对于函数fix)=*+2"优一1=(x+—m2—1,

由于y(—〃。=­m~—1W—1,

结合图象(图略)可知该函数一定有“折点”.

综上，存在“折点”的函数是②④.

4.(2019•石嘴山三中模拟)已知函数x%)=/+依.

(1)讨论人x)的单调性；

(2)若函数g(x)=/(x)—xlnx在/2上有零点，求a的取值范围.

解(1)因为/(%)=储+依，所以/'。)=3幺+以

①当时，因为/'(》)=3』+。20,所以兀r)在R上单调递增；

②当aVO时，令/'(尤)>0,解得光V3%或x>"3吗

令/(x)V0,解得

则_/U)在(一8,—亨)，(亨，+8)上单调递增，在(—手，有可

上单调递减.

(2)因为g(x)=fix)—x\nx,

i

所以g(x)=x+ax-x\nx9

g(x)=7(x)—xlnx在;，2上有零点，等价于关于x的方程g(x)=O在;，2±

有解，

即d+ax—xlnx=0在；，2上有解，

因为xi+ax—xlnx=0,所以a=-x2+lnx.

令/z(x)=-f+lnx,

Ll,,12X—1

则/(x)=-2x+-=----.

1A/5

令人'(x)VO,又解得2V%<2；

令(x)>0,又吴xW2,解得吴xV坐，

则力(无)在停，2上单调递减，在/乎)上单调递增,

因为"(；)=—g}+ln1=—ln2,

/?(2)=-22+ln2=-4+l