2022年高考数学解题技巧及规范答题：三角函数大题

2022年高考数学解题技巧及规范答题

三角函数大题

【规律方法】

1、正弦定理、余弦定理:

正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分基本量的情况下求解其余基本量，基本思想是方程思

想.正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角

函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.正弦定理、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，其

解题方法主要有：

(1)化边为角：

通过正弦定理和余弦定理，化边为角，如：a=2RsinA,H+廿一02=2成cosC等，利用三角变换

得出三角形内角之间的关系进行判断.此时要注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如：

sinA=sinB<=>A=B,sin2A=sin230A=3或A+3=2等.

(2)化角为边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA=f_，COSA=3±G;%等，通过代数

2R2bc

恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.

注意：(1)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可

能.

(2)在变形过程中要注意角A,B,。的范围对三角函数值的影响.

2、三角恒等变换综合应用的解题思路

(1)将1工)化为asinx+bcosx的形式；

(3)和角公式逆用，得f(x)=ylh2+b2sin(x+)(其中夕为辅助角);

(4)利用f(x)=&+.sin(x+)研究三角函数的性质；

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(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.

【核心素养】

以三角形为载体，以正弦定理、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段考查解三角形问题是高考一

类热点题型，考查的核心素养主要有"逻辑推理"、"数学运算"、"数据分析”.

【典例】【2020年全国II卷】

ABC中，sin2A—sin2B—sin2C=sinBsinC.

(1)求4；

(2)若BC=3,求ABC周长的最大值.

【分析】

(1)利用正弦定理角化边，配凑出cosA的形式，进而求得A；

(2)利用余弦定理可得到(AC+ABy-ACAB=9,利用基本不等式可求得AC+AB的最大值，

进而得到结果.

【详解】

(1)由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2^ACAB,

.•.cosA=Ad±ABr-BC5=-1,

2AC-AB2

/、

AG(0,),/.A=2c

(2)由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2ACABCOSA=AC2+AB2+ACAB=9,

即(AC+AB)2-ACAB=9.

AC-AB<\^±^1|2(当且仅当AC=A3时取等号)，

I2J

222

:.9=(AC+AB)-AC-AB>(AC+AB)-^\韭土位'p=-(AC+AB),

I2)4

解得：AC+AB<2^3(当且仅当AC=A3时取等号)，

ABC周长L=AC+A3+BC<3+20,/.ABC周长的最大值为3+20.

【解题方法与步骤】

1、解三角形问题的技巧：

(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦

或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

①应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍；

②求角时易忽略角的范围而导致错误，因此需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图进行判断.

(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，

该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断.

2、三角恒等变换要遵循的“三看”原则：

一看"角"：通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式；

二看"函数名称"：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

三看"结构特征”：分析结构特征，找到变形的方向，常见的有"遇到分式要通分""整式因式分解""二

次式配方"

等.

3、解三角形与三角函数综合问题的一般步骤：

第一步，转化：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角关系合理将问题转化为三角函数的问题；

第二步，用定理、公式、性质：利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角

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关系的互化；

第三步，得结论：利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值，或

讨论三角函数的基本性质等.

【好题演练】

1.(2021•河南中原高三模拟)

在ABC中，a,b,c所对的角分别为A,B,C,已知a+36cosA=3c.

(1)求sin3；

(2)若。=3,。为AC的中点；且BD=取,求ABC的面积.

【分析】

(1)根据题意,由正弦定理得出sinA+3sinBcosA=3sinC,再由两角和的正弦公式化简得

sinA=3sinAcosB,由于sinA>0,从而可求得cosB=~3,最后根据同角三角函数的平方关系,

即可求出sinB；

(2)法1：在ABC中由余弦定理得出1=2±6二3,再分别在△A3。和△BCD中，由余弦定

36c

3+■-c23+庐-9

理得出cosADB=-4—和cosCDB='再由C0SZADB+COsZCDB=0'整理

d3bd3b

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化简的出c边，最后根据三角形的面积公式SMBC=~2acsinB,即可求出结果.

f=lL+-)

法2:由平面向量的加法运算法则得出BDlBABC\,两边平方并利用平面向量的数量积运

2U

算化简得3=14(c2+2c+9),从而可求出c边，最后根据三角形的面积公式SAABC=_2acsinB,即

可求出结果.

【详解】

(1)因为a+36cosA=3c,

由正弦定理得sinA+3sinBcosA=3sinC,

因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinA=3sinAcosB,

因为Ae(0,),所以sinA>0,所以cos8=13，

因为Be(O,),所以sinB=Ji23=I(17.JI.

N⑺3

(2)法1：在ABC中，由余弦定理得cos3=cr+r-b1,

2ac

即』=2士丫=8,

36c

2

b2

在△ABO中，由余弦定理得cosADB=3+4，

^3b

b2

3+4—9,

在△BCD中，由余弦定理得cosCDB=~Jjh

3-c23+£-9

因为NAOB+NCD8=TI,所以4+不=0,

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即庐=6+2c2,

所以」=9+d-）2=9+C2-（6+2C2）,

36c6c

整理得J+2c—3=0,解得：。=1或c=—3（舍去），

所以S^ABC=~2acsinB=~2x3x1x3^=、/2.

T1）

法2：因为。为AC的中点，所以30=~\BA+BC\,

21）

2/22、

->1।'

两边平方得BD=-\BA+2BA-BC+BCI，

即3=—4（c?+2c+9）,即C2+2c—3=0,解得c=1或c=—3

2c2/

（舍），所以S/viBC=-2a。sinlx3=、/2.

2.记ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=\分7=3cosB+bsinA.

(1)求A；

(2)点A,D位于直线BC异侧，BDLBC,8。=1.求A。的最大值.

【分析】

(1)由已知条件可得=\Q3acosB+Z?sinA,利用正弦定理化边为角结合

sinC=sin(A+B)利用两角和的正弦公式展开整理可求得tanA的值，即可得角A；

(2)结合(1)卬3sinC不hsinAcosB+sinBsinA化角为边可得

Fc=出acosB+asinB，即c=sin8+FcosB,在△ABD中由余弦定理求AD2,利用三角恒等

式变换以及三角函数的性质可得最大值.

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【详解】

(1)因为=3cos5+Z?sinA,a^~\l3

所以03c气cosB+Z?sinA.

由正弦定理得：©3sinCsinAcosB+sinBsinA.

因为A+B+C=7i,A,B,CG(0,7i),

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以©3sinAcosB求hcosAsinBQ/3sinAcosB+sinBsinA,

所以05cosAsinB=sinBsinA,又因为sin5w0,所以x?3cosA=sinA,

可得：tanA=^73,因为0<A<7i,所以4=兀3；

(2)由(1)知sinsinAcos5+sin5sinA,

由正弦定理可得«万。413acosB+asinB,

a

BPc=tzcosB+厚」=sinB+小cosB,

由余弦定理得

AD2=c2+BD1-2cBDcosZABD

=(sinB-N(73COSB^1+1-2(sinBJ^-\/3cosB)(-sinB)

=sin2B+3cos2B+A^73sin2B+1+2sin2B4^3sin2B

=4+sin2B,

所以当且仅当3="4时，AD取得最大值4M/3J(、/3

+1)2,所以AO取得裹大值、/3+1.

3.在ABC中，内角A、B、C的对边分别为4,瓦c,且满足2bsinAcos8=（2c-＞）sin8.

(1)求A；

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(2)若a=26,求周长/的取值范围.

【分析】

(1)由正弦定理得2sinBsinAcosB=(2sinC-sinB)sinB，化简得cosA=12,

利用A的范围可得答案；

(2)由正弦定理得b=4sinB,c=4sinC,1=4(sinB+sinC)+2如利用B的范围和三角函数的

性质可得答案.

【详解】

(1)由正弦定理得2sinBsinAcosB=(2sinC-sinB)sinB,

因为0<3<,所以sin3/0,

所以2sinAcosB=2sinC-sinB,

即2sinAcosB=2sinAcosB+2sinBcosA-sinB,

解得cosA=』2，

因为0<A<,所以A=3.

(2)由正弦定理得‘^=一竺=」一=4,

sinAsinBsinC

所以b=4sinB,c=4sinC,

所以/=4(5m8+5布。)+2^=4|匚+5缶\—-)1+2乃

L13JJ

(3.Q、厂厂(01、厂

—41-sinB+cosB\+2-\/3=4\/3I--sinBH—cos3I+2J3

122JI22)

(2(5

因为Bel0,-I,所以B+—e|—I

I3)6166J

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ffl1

所以sinIB+—Ie|—,11，

I6j12J

所以/e

4.(2021.天津高考)

在ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinA:sinB:sinC=2:1:b=J2J-

(I)求。的值;

(II)求cosC的值;

(in)求si」2C——'।的值.

I6J

【分析】

(I)由正弦定理可得a:b:c=2:1闪2,即可求出；

(II)由余弦定理即可计算；

(III)利用二倍角公式求出2c的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.

【详解】

(I)因为sinA:sin5:sinC=2:1点力，由正弦定理可得a:b:c=2,

b=\ITJ7:,a==2；

—d8+2—43

(II)由余弦定理可得cosC=巴士~-=U厂=-；

2ab2x2J2xV24

(III)cosC=sinC=Vl-cos2C=

j33"91

/.sin2C=2sinCcosC=2x4x4=8,cos2C=2cosC-l=2x16-1=8,

所以sinI(2C—-Vsin2Ccos—疝—1

-cos2Csin—=_3_7_7Xx出_—_1_

6J66828216

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5.(2021.南京市中华中学)

在ABC中，b,c分别为内角4,8,C的对边，且满足2=c：B+l.

a'3sinA

(1)求B的大小；

3—一这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决问

4

题.

问题：已知,,若A3C存在，求ABC的面积，若A3C不存在，请说

明理由.

注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.

【分析】

(1)由正弦定理进行边角互化，再结合辅助角公式化简运算，可求出角的范围.

(2)若选择条件①②，由余弦定理可计算°、c