4-5-多项式的因式分解

2024/9/21高等代数

在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再分下去？这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。对于中任一个多项式总是的因式。这样的因式称为平凡因式。我们感兴趣的是，除了平凡因式外，还有没有其他的因式？2024/9/21高等代数定义设是中次数大于零的多项式，若除F上不可约。平凡因式外，在中还有等价定义：可分解成中两个次数都小于n的多项式的积，即则称在数域F上可约。中一个次多项式如果如果在中，只有平凡因式，则称在数域则称在数域F上可约。其他因式，一、不可约多项式1、定义2024/9/21高等代数由定义可得：

一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上多项式是否可约是重点讨论对象）；②多项式的可约性与数域有关（例在C上可约，在R中不可约）。③零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。

性质性质1不可约，则也不可约，若性质2若是不可约多项式，2024/9/21高等代数则证：设由或若则若则性质3：若不可约且则或证：若则结论成立；若，又不可约。2024/9/21高等代数由性质2，推论：若不可约且则必整除某个二、因式分解问题：是否可分解为不可约多项式的乘积？定理：中任一个次多项式都可以分解成中不可约多项式的乘积。2024/9/21高等代数证（归纳法）：n=1时，命题显然成立。假设命题对一切小于n的多项式成立，则当时，1、若不可约成立；2、若可约，由假设知均可分解为不可约多项式的乘积。问题：多项式分解成不可约多项式的乘积是否唯一？2024/9/21高等代数若取则可见分解式不唯一。定理：中任一个次数大于零的多项式分解成不可约多项式的乘积：成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两个分解式：若不计零次多项式的差异和因式的顺序，分解2024/9/21高等代数则有①r=s；②适当调整的位置后，有）证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）：当r=1时，结论显然成立。假设当分解成r-1个不可约因式时结论成立，则当分解成r个因式时，有2024/9/21高等代数由于，故存在某个使为方便起见不防设就是。由归纳假设知，这时有r-1=s-1。故r=s，且三、标准（典型）分解式在的分解中，可以把每个不可约因式的故2024/9/21高等代数首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，并把相同的因式合并，于是，的分解式就变成：首项系数为的首一不可约多项式，

每个多项式的标准分解式是唯一的。

利用多项式的标准分解式可以判断一个多项式是否整除另一个多项式。式。为自然数，这种分解式称为的标准分解2024/9/21高等代数

利用多项式的标准分解式可以直接写出例如：则虽然根据多项式的标准分解式写出是简单的，但由于任意多项式的典型分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法还是采用辗转相除法。2024/9/21高等代数问：如何求的标准分解式？例1.5.1：求在中的标准分解式。解：利用带余除法，知都是的因式，即有。如何知道是不是的一个因式？