2016-2017学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2016-2017学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）第1-10题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个1．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0，此方程可化为的正确形式是（）A．（x﹣4）2＝17 B．（x﹣4）2＝15 C．（x+4）2＝15 D．（x+4）2＝172．（3分）如图，菱形花坛ABCD的面积为12平方米，其中沿对角线AC修建的小路长为4米，则沿对角线BD修建的小路长为（）A．3米 B．6米 C．8米 D．10米3．（3分）小楠所在社会实践活动小组的同学们响应“垃圾分类，从我做起”的号召，主动到附近的7个社区宣传垃圾分类．她们记录的各社区参加活动的人数如图所示，那么这组数据的众数和中位数分别是（）A．42，40 B．42，38 C．2，40 D．2，384．（3分）如图，在我海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿南偏东30°方向以12节（1节＝1海里/小时）的速度航行，2号舰以16节的速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点且相距30海里，则2号舰的航行方向是（）A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°5．（3分）图象过点（0，0）且y随x的增大而减小的函数表达式为（）A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝x+1 D．y＝﹣x﹣16．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝2，则四边形OCED的周长为（）A．16 B．8 C．4 D．27．（3分）北京国际长跑节已经成为这座城市体育文化的新名片，小斌参加了2017年的北京半程马拉松比赛，如果小斌想要知道自己的成绩是否超过一半选手，他需要了解所有参赛选手成绩的相关统计量是（）A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数8．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的点，若BE＝3，CE＝1，则正方形ABCD的对角线的长为（）A．8 B．4 C．6 D．49．（3分）在平面直角坐标系中，过点（3，﹣1）的直线l经过一、二、四象限，若点（m，﹣2），（0，n）都在直线l上，则下列判断正确的是（）A．m＜0 B．m＞3 C．n＜﹣1 D．n＝010．（3分）如图，△ABC中，AC＝BC＝13，把△ABC放在平面直角坐标系xOy中，且点A，B的坐标分别为（2，0），（12，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线y＝﹣x+8上时，线段AC扫过的面积为（）A．66 B．108 C．132 D．162二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）城市绿道串连起绿地、公园、人行步道和自行车道，改善了城市慢行交通的环境，引导市民绿色出行．截至2016年底某市城市绿道达2000公里，该市人均绿道长度y（单位：公里）随人口数x的变化而变化，指出这个问题中的所有变量．12．（3分）根据特殊四边形的定义，在如图的括号内填写相应的内容：13．（3分）某校开展“快乐阅读”活动，倡导利用课余时间阅读纸质书籍．该学校共有300名学生，随机调查了其中30名学生在活动开展的一年里阅读纸质书籍的数量，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表如下：阅读纸质书籍的数量（本）371115人数48108请你估计该学校这一年里平均每名学生阅读纸质书籍的数量是本（结果保留整数）．14．（3分）用硬纸板剪一个平行四边形ABCD，作出它的对角线的交点O，我们可以做如下操作：用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置．如果设细木条与一组对边AB，CD的交点分别为点E，F，则下列结论：①OE＝OF；②AE＝CF；③BE＝DF；④△AOE≌△COF，一定成立的是（填写序号即可）．15．（3分）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10（m/s）的速度竖直上抛（如图所示），那么物体经过xs离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间x约为s（结果保留整数）．16．（3分）阅读下列材料：如图1，在线段AB上找一点C（AC＞BC），若BC：AC＝AC：AB，则称点C为线段AB的黄金分割点，这时比值为≈0.618，人们把称为黄金分割数．长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O表示数0，点E表示数2，过点E作EF⊥OE，且EF＝OE，连接OF；以F为圆心，EF为半径作弧，交OF于H；再以O为圆心，OH为半径作弧，交OE于点P，则点P就是线段OE的黄金分割点．根据材料回答下列问题：（1）线段OP长为，点P在数轴上表示的数为；（2）在（1）中计算线段OP长的依据是．三、解答题（17-22题每小题5分，23-24题每小题5分，25题8分，共52分）17．（5分）解方程：2x2+3x﹣1＝0．18．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD中点，F为CD边上任意一点，G，H分别为EF，BF中点，求GH的长．19．（5分）关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）写出一个满足条件的k值，并求此时方程的根．20．（5分）如图，等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DE，CD，EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）若等边三角形ABC的边长为a，写出求EF长的思路．21．（5分）“一带一路”战略为民营快递企业转变为跨境物流商提供了机遇．也让国民可以足不出户地买到世界各国的商品．小丝购买了一些物品，并了解到两家快递公司的收费方式．甲公司：物品重量不超过1千克的，需付费20元，超过1千克的部分按每千克4元计价．乙公司：按物品重量每千克7元计价，外加一份包装费10元．设物品的重量为x千克，甲、乙公司快递该物品的费用分别为y甲，y乙．（1）写出y乙与x的函数表达式；（2）图中给出了y甲与x的函数图象，请在图中画出（1）中的函数图象；（3）小丝需要快递的物品重量为4千克，如果想节省快递费用，结合图象指出，应选择的快递公司是．22．（5分）2017年5月18日“北京第9届月季文化节”拉开帷幕，月季花已经成为北京绿化美化的“当家花旦”，月季“花墙”成为了北京城市一道靓丽的风景线．近几十年，园林技术人员一直在开展月季花的培育和驯化研究，其中一些品种的月季花的花朵大小是技术人员关心的问题，技术人员在条件相同的试验环境下，对两个试验田的月季花随机抽取了15朵，并把抽样花朵的直径数据整理记录如下：表1甲试验田花朵的直径统计表样品123456789101112131415花朵的直径（单位：cm）56778891011121213151517表2乙试验田花朵的直径统计表样品123456789101112131415花朵的直径（单位：cm）78899991011111212121315回答下列问题：（1）若将花朵的直径不小于10（单位：cm）的月季花记为优良品种，完成下表：优良品种数量平均数甲试验田810.33乙试验田10.33（2）某次景观布置，需要考虑用到的月季花的花朵直径大小相对均匀，根据以上数据，你认为技术人员应选用哪个试验田的月季花？说明理由．23．（7分）如图1，C是线段AB上一个定点，动点P从点A出发向点B匀速移动，动点Q从点B出发向点C匀速移动，点P，Q同时出发，移动时间记为x（s），点P与点C的距离记为y1（cm），点Q与点C的距离记为y2（cm）．y1、y2与x的关系如图2所示．（1）线段AB的长为cm；（2）求点P出发3秒后y1与x之间的函数关系式；（3）当P，Q两点相遇时，x＝s．24．（7分）如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C，O，A都不重合），过点A，C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E，F，连接OE，OF．（1）①依据题意补全图形；②猜想OE与OF的数量关系为．（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．…请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．（3）当∠ADC＝120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是．25．（8分）我们约定，在平面直角坐标系xOy中，经过象限内某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“参照线”．例如，点M（1，3）的参照线有：x＝1，y＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4（如图1）．如图2，正方形OABC在平面直角坐标系xOy中，点B在第一象限，点A，C分别在x轴和y轴上，点D（m，n）在正方形内部．（1）直接写出点D的所有参照线：；（2）若A（6，0），点D在线段OA的垂直平分线上，且点D有一条参照线是y＝﹣x+7，则点D的坐标是；（3）在（2）的条件下，点P是AB边上任意一点（点P不与点A，B重合），连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A的对应点记为A′，当点A′在点D的平行于坐标轴的参照线上时，写出相应的点P的坐标．

2016-2017学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）第1-10题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个1．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0，此方程可化为的正确形式是（）A．（x﹣4）2＝17 B．（x﹣4）2＝15 C．（x+4）2＝15 D．（x+4）2＝17【分析】先把常数项1移到方程右边，再把方程两边都加上16，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．【解答】解：x2﹣8x＝1，x2﹣8x+16＝17，（x﹣4）2＝17．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．2．（3分）如图，菱形花坛ABCD的面积为12平方米，其中沿对角线AC修建的小路长为4米，则沿对角线BD修建的小路长为（）A．3米 B．6米 C．8米 D．10米【分析】根据菱形的面积公式得到×4×BD＝12，然后解方程即可．【解答】解：∵S菱形ABCD＝AC•BD，∴×4×BD＝12，∴BD＝6．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．3．（3分）小楠所在社会实践活动小组的同学们响应“垃圾分类，从我做起”的号召，主动到附近的7个社区宣传垃圾分类．她们记录的各社区参加活动的人数如图所示，那么这组数据的众数和中位数分别是（）A．42，40 B．42，38 C．2，40 D．2，38【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答啊即可．【解答】解：在这一组数据中42是出现次数最多的，故众数是42；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是40，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是40．故选：A．【点评】本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．4．（3分）如图，在我海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿南偏东30°方向以12节（1节＝1海里/小时）的速度航行，2号舰以16节的速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点且相距30海里，则2号舰的航行方向是（）A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°【分析】直接利用已知得出AO，BO，AB的长，再利用勾股定理的逆定理得出∠BOA的度数，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：BO＝16×1.5＝24（海里），AO＝12×1.5＝18（海里），AB＝30海里，则此时：AO2+BO2＝AB2，故△AOB是直角三角形，则∠BOA＝90°，∵∠AOD＝30°，∴∠DOB＝60°，∴2号舰的航行方向是：南偏西60°．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出△AOB是直角三角形是解题关键．5．（3分）图象过点（0，0）且y随x的增大而减小的函数表达式为（）A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝x+1 D．y＝﹣x﹣1【分析】根据正比例函数的性质进行选择即可．【解答】解：∵图象过点（0，0）且y随x的增大而减小∴此函数为正比例函数且k＜0，∴y＝﹣x，故选：B．【点评】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数y＝kx中，当k＞0时，图象过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象过第二、四象限，y随x的增大而减小是解题的关键．6．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝2，则四边形OCED的周长为（）A．16 B．8 C．4 D．2【分析】由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD＝OC，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出OC的长，即可确定出其周长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，且AC＝BD＝2，∴OA＝OB＝OC＝OD＝1，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DECO为平行四边形，∵OD＝OC，∴四边形DECO为菱形，∴OD＝DE＝EC＝OC＝1，则四边形OCED的周长为1+1+1+1＝4，故选：C．【点评】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解本题的关键．7．（3分）北京国际长跑节已经成为这座城市体育文化的新名片，小斌参加了2017年的北京半程马拉松比赛，如果小斌想要知道自己的成绩是否超过一半选手，他需要了解所有参赛选手成绩的相关统计量是（）A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数【分析】要判断自己的成绩是否比一半以上选手的成绩好，可以得到中位数，从而得到答案．【解答】解：小斌要判断自己的成绩是否比一半以上选手的成绩好，∴可以根据这次比赛中全部选手成绩的中位数进行比较；故选：D．【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是知道中位数的确定方法．8．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的点，若BE＝3，CE＝1，则正方形ABCD的对角线的长为（）A．8 B．4 C．6 D．4【分析】连接BD．利用勾股定理求出BC，再根据BD＝BC，即可解决问题．【解答】解：连接BD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∵BE＝3，CE＝1，∴BC＝＝2，∴BD＝BC＝＝4．故选：D．【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题，属于中考基础题．9．（3分）在平面直角坐标系中，过点（3，﹣1）的直线l经过一、二、四象限，若点（m，﹣2），（0，n）都在直线l上，则下列判断正确的是（）A．m＜0 B．m＞3 C．n＜﹣1 D．n＝0【分析】设出一次函数解析式为y＝kx+b，根据图象经过的象限确定k＜0，把（3，﹣1）代入解析式，得到用k表示的函数关系式，再把点（m，﹣2），（0，n）代入解析式，即可判断各个选项是否正确．【解答】解：设直线l的解析式为y＝kx+b．由于直线l经过第一、二、四象限，所以k＜0，b＞0．由于点（3，﹣1）在直线l上，所以﹣1＝3k+b，即b＝﹣1﹣3k，所以一次函数解析式为：y＝kx﹣1﹣3k．把点（m，﹣2）代入，得km﹣1﹣3k＝﹣2，解得k＝，∵k＜0，∴＜0，解得m＞3，故选项A错误；选项B正确；把点（0，n）代入，得n＝﹣1﹣3k，解得k＝，∵k＜0，∴＜0，解得n＞﹣1，故选项C、D都错误．故选：B．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．也考查了解不等式．10．（3分）如图，△ABC中，AC＝BC＝13，把△ABC放在平面直角坐标系xOy中，且点A，B的坐标分别为（2，0），（12，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线y＝﹣x+8上时，线段AC扫过的面积为（）A．66 B．108 C．132 D．162【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，由点A、B的坐标利用勾股定理可求出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C移动后的坐标，借助平行四边形的面积即可得出线段AC扫过的面积．【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示．∵点A，B的坐标分别为（2，0），（12，0），AC＝BC＝13，∴AD＝BD＝AB＝5，∴CD＝＝12．∴点C的坐标为（7，12）．当y＝12时，有12＝﹣x+8，解得：x＝﹣4，∴点C平移后的坐标为（﹣4，12）．∴△ABC沿x轴向左平移7﹣（﹣4）＝11个单位长度，∴线段AC扫过的面积S＝11CD＝132．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、坐标与图形变化中的平移以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点C平移后的坐标是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）城市绿道串连起绿地、公园、人行步道和自行车道，改善了城市慢行交通的环境，引导市民绿色出行．截至2016年底某市城市绿道达2000公里，该市人均绿道长度y（单位：公里）随人口数x的变化而变化，指出这个问题中的所有变量x，y．【分析】根据常量与变量的定义进行填空即可．【解答】解：这个问题中的所有变量是该市人均绿道长度y与人口数x，故答案为x，y．【点评】本题考查了常量与变量，掌握常量与变量的定义是解题的关键．12．（3分）根据特殊四边形的定义，在如图的括号内填写相应的内容：平行四边形，一组邻边相等，一个角是直角【分析】根据平行四边形、特殊平行四边形的定义，可得答案．【解答】解：由四边形的关系，得，故答案为：平行四边形，一组邻边相等，一个角是直角．【点评】本题考查了多边形，利用平行四边形与特殊平行四边形的关系是解题关键．13．（3分）某校开展“快乐阅读”活动，倡导利用课余时间阅读纸质书籍．该学校共有300名学生，随机调查了其中30名学生在活动开展的一年里阅读纸质书籍的数量，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表如下：阅读纸质书籍的数量（本）371115人数48108请你估计该学校这一年里平均每名学生阅读纸质书籍的数量是10本（结果保留整数）．【分析】根据加权平均数的计算公式，列出算式，再进行计算即可．【解答】解：根据题意得：（3×4+7×8+11×10+15×8）÷30≈10（本），答：该学校这一年里平均每名学生阅读纸质书籍的数量是10本；故答案为：10．【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键，是一道基础题．14．（3分）用硬纸板剪一个平行四边形ABCD，作出它的对角线的交点O，我们可以做如下操作：用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置．如果设细木条与一组对边AB，CD的交点分别为点E，F，则下列结论：①OE＝OF；②AE＝CF；③BE＝DF；④△AOE≌△COF，一定成立的是①②③④（填写序号即可）．【分析】①④由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥DC，OA＝OC，继而证得△AOE≌△COF（ASA），则可证①、④结论成立；②由△AOE≌△COF可得结论成立；③根据平行四边形的性质和②可得结论成立．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，OA＝OC，∴∠BAO＝∠DCO，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF；故①和④结论成立；②由①知：△AOE≌△COF，∴AE＝CF，故②结论成立；③∵四边形ABFE为平行四边形；∴AB＝CD，∵AE＝CF，∴BE＝DF，故③结论成立．则一定成立的是：①②③④；故答案为：①②③④．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△AOE≌△COF是解此题的关键．15．（3分）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10（m/s）的速度竖直上抛（如图所示），那么物体经过xs离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间x约为2s（结果保留整数）．【分析】由题意可知物体回落到地面，也就是说S为0，建立方程求得答案即可．【解答】解：S＝10x﹣4.9x2，落回地面时S＝0，所以10x﹣4.9x2＝0，解得：x1＝0（不合题意舍去），x2＝≈2，答：物体经过约2秒回落地面．故答案为：2．【点评】此题考查了一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程解决问题．16．（3分）阅读下列材料：如图1，在线段AB上找一点C（AC＞BC），若BC：AC＝AC：AB，则称点C为线段AB的黄金分割点，这时比值为≈0.618，人们把称为黄金分割数．长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O表示数0，点E表示数2，过点E作EF⊥OE，且EF＝OE，连接OF；以F为圆心，EF为半径作弧，交OF于H；再以O为圆心，OH为半径作弧，交OE于点P，则点P就是线段OE的黄金分割点．根据材料回答下列问题：（1）线段OP长为，点P在数轴上表示的数为﹣1；（2）在（1）中计算线段OP长的依据是勾股定理．【分析】（1）根据勾股定理得到OF＝＝＝，根据线段的和差即可得到结论；（2）根据勾股定理求得OF，再由线段的和差求得OP，于是得到结论．【解答】解：（1）∵OE＝2，∴EF＝OE＝1，∵EF⊥OE，∴OF＝＝＝，由作法知，FH＝EF＝1，OP＝OH＝OF﹣FH＝﹣1，∴点P在数轴上表示的数为：﹣1，故答案为：﹣1，﹣1；（2）在（1）中计算线段OP长时，首先根据勾股定理求得OF，再由OP＝OH＝OF﹣FH求得OP，故答案为：勾股定理．【点评】本题考查了黄金分割，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题（17-22题每小题5分，23-24题每小题5分，25题8分，共52分）17．（5分）解方程：2x2+3x﹣1＝0．【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．【解答】解：这里a＝2，b＝3，c＝﹣1，∵△＝9+8＝17，∴x＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．18．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD中点，F为CD边上任意一点，G，H分别为EF，BF中点，求GH的长．【分析】连接BE．根据中点的定义求得AE＝6．根据矩形的性质和勾股定理可求BE，再根据三角形中位线定理可求GH的长．【解答】解：连接BE．∵E为AD中点，AD＝12，∴AE＝6．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°．在Rt△ABE中，AB＝8，依据勾股定理BE2＝AB2+AE2，∴BE＝10．∵G，H分别为EF，BF中点，∴GH＝BE＝5．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确的添加辅助线是解题的关键．19．（5分）关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）写出一个满足条件的k值，并求此时方程的根．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得出△＝﹣8k+8＞0，解之即可得出k的取值范围；（2）取k＝0，将k＝0代入原方程，再利用公式法求出方程的两根即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8＞0，解得：k＜1．（2）取k＝0，此时方程为x2﹣2x﹣1＝0，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据根的判别式△＞0，找出﹣8k+8＞0；（2）熟练掌握公式法解一元二次方程的应用．20．（5分）如图，等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DE，CD，EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）若等边三角形ABC的边长为a，写出求EF长的思路．【分析】（1）只要证明DE∥CF，DE＝CF即可解决问题；（2）求解思路如下：由四边形DCFE是平行四边形，可得EF＝DC，只要求出CD即可；【解答】（1）证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF，又∵DE∥CF，∴四边形DCFE是平行四边形．（2）求解思路如下：①由四边形DCFE是平行四边形，可得EF＝DC．②由△ABC是等边三角形，D为AB的中点，可得BD＝＝，CD⊥AB．③在Rt△BCD中，BC＝a，依据勾股定理DC长可求，即EF长可求．【点评】本题考查等边三角形的性质，三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．21．（5分）“一带一路”战略为民营快递企业转变为跨境物流商提供了机遇．也让国民可以足不出户地买到世界各国的商品．小丝购买了一些物品，并了解到两家快递公司的收费方式．甲公司：物品重量不超过1千克的，需付费20元，超过1千克的部分按每千克4元计价．乙公司：按物品重量每千克7元计价，外加一份包装费10元．设物品的重量为x千克，甲、乙公司快递该物品的费用分别为y甲，y乙．（1）写出y乙与x的函数表达式；（2）图中给出了y甲与x的函数图象，请在图中画出（1）中的函数图象；（3）小丝需要快递的物品重量为4千克，如果想节省快递费用，结合图象指出，应选择的快递公司是甲．【分析】（1）根据乙公司的快递费用＝7×物品重量+10，即可得出y乙与x的函数表达式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征找出y乙与x的函数图象经过的两点，描点、连点成线，即可画出（1）中的函数图象；（3）根据数量关系找出y甲与x的函数表达式，令y甲＝y乙求出费用相等时x的值，结合函数图象即可找出结论．【解答】解：（1）根据题意可知：y乙与x的函数表达式为：y乙＝7x+10．（2）当x＝0时，y乙＝7x+10＝10；当x＝1时，y乙＝7x+10＝17．描点、连点成线，画出函数图象，如图所示．（3）根据题意可知：y甲与x的函数表达式为：y甲＝．当y甲＝y乙时，有7x+10＝4x+16，解得：x＝2．观察函数图象可知：当x＞2时，y甲与x的函数图象在y乙与x的函数图象的下方，∴当x＝4时，选择甲公司费用较低．故答案为：甲．【点评】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据数量关系，找出y乙与x的函数表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征找出y乙与x的函数图象经过的两点坐标；（3）观察函数图象解决问题．22．（5分）2017年5月18日“北京第9届月季文化节”拉开帷幕，月季花已经成为北京绿化美化的“当家花旦”，月季“花墙”成为了北京城市一道靓丽的风景线．近几十年，园林技术人员一直在开展月季花的培育和驯化研究，其中一些品种的月季花的花朵大小是技术人员关心的问题，技术人员在条件相同的试验环境下，对两个试验田的月季花随机抽取了15朵，并把抽样花朵的直径数据整理记录如下：表1甲试验田花朵的直径统计表样品123456789101112131415花朵的直径（单位：cm）56778891011121213151517表2乙试验田花朵的直径统计表样品123456789101112131415花朵的直径（单位：cm）78899991011111212121315回答下列问题：（1）若将花朵的直径不小于10（单位：cm）的月季花记为优良品种，完成下表：优良品种数量平均数甲试验田810.33乙试验田810.33（2）某次景观布置，需要考虑用到的月季花的花朵直径大小相对均匀，根据以上数据，你认为技术人员应选用哪个试验田的月季花？说明理由．【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得乙试验田优良品种的数量；（2）根据表格中的数据可以知道甲乙的平均数相同，再根据数据可知乙试验田的数据波动较小，根据波动越小越稳定，从而可以解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，乙试验田优良品种的数量是：15﹣7＝8，故答案为：8；（2）技术人员应选用乙试验田的月季花．理由：由表格中的数据可知，乙试验田花朵的直径较集中地分布在平均数附近，波动较小，直径大小更均匀，故技术人员应选用乙试验田的月季花．【点评】本题考查方差、平均数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方差和平均数的知识解答．23．（7分）如图1，C是线段AB上一个定点，动点P从点A出发向点B匀速移动，动点Q从点B出发向点C匀速移动，点P，Q同时出发，移动时间记为x（s），点P与点C的距离记为y1（cm），点Q与点C的距离记为y2（cm）．y1、y2与x的关系如图2所示．（1）线段AB的长为27cm；（2）求点P出发3秒后y1与x之间的函数关系式；（3）当P，Q两点相遇时，x＝s．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到线段AB的长；（2）根据图象中的数据和题意可以得到点P出发3秒后y1与x之间的函数关系式；（3）根据题意可以得到点P和Q的速度，从而可以求得x的值．【解答】解：（1）由图可得，线段AC的长度为6cm，线段BC的长为21cm，∴段AB的长为6+21＝27cm，故答案为：27；（2）设点P出发3秒后，y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b（k≠0），由图象可得，点P的运动速度为：6÷3＝2cm/s，由27÷2＝13.5，可知y1＝kx+b的图象过点（13.5，21），又∵y1＝kx+b的图象过点（3，0），，得，即y1与x的函数关系式为y1＝2x﹣6；（3）由题意可得，点Q的速度为：21÷7＝3cm/s，则当P，Q两点相遇时，x＝，故答案为：．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和一次函数的性质解答．24．（7分）如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C，O，A都不重合），过点A，C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E，F，连接OE，OF．（1）①依据题意补全图形；②猜想OE与OF的数量关系为OE＝OF．（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．…请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．（3）当∠ADC＝120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是EF＝（CF+AE）．【分析】（1）①由题意直接补全图形，②结论是OE＝OF，（2）方法1、先判断出△AOE≌△CON，再利用直角三角形的性质即可得出结论；方法2、利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得出结论；（3）先判断出四边形OPBQ是菱形，再判断出∠EOF＝∠POQ＝120°，再借助直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）①补全的图形如图所示．②OE＝OF．（2）①点M在CA的延长线上，法一：证明：如图1，延长EO交FC的延长线于点N，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO．∵AE⊥BM，CF⊥BM，∴AE∥CF．∴∠AEO＝∠CNO．又∵∠AOE＝∠CON，∴△AOE≌△CON．∴OE＝ON＝．∵Rt△EFN中，O是斜边EN的中点，∴OF＝．∴OE＝OF．法二：证明：如图2，取线段AB，BC的中点P，Q，连接OP，PE，OQ，QF，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD．∵P，Q是AB，BC的中点，