2009-2010学年北京市丰台区八年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2009-2010学年北京市丰台区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共9个小题，每小题3分，共27分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请把正确选项前的字母填在题后的括号里．1．（3分）点P（﹣1，2）关于y轴对称点的坐标是（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）2．（3分）已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（3分）一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm24．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或15．（3分）用配方法解一元二次方程x2+8x+7＝0，则方程可变形为（）A．（x﹣8）2＝16 B．（x+8）2＝57 C．（x﹣4）2＝9 D．（x+4）2＝96．（3分）如图，以▱ABCD对角线的交点为坐标原点，以平行于AD边的直线为x轴，建立平面直角坐标系．若点D的坐标为（3，2），则点B的坐标为（）A．（﹣3，﹣2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（3，2）7．（3分）已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（）A．平均数是3 B．中位数是3 C．极差是4 D．方差是8．（3分）直线y＝﹣2x+a经过（3，y1）和（﹣2，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定9．（3分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为（）A．1 B．2 C． D．二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）10．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是．11．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，则菱形ABCD的周长等于．12．（3分）一元二次方程x2＝4x的根是．13．（3分）如图，根据图象回答：当x时，y＜0．三、解答题（共11个小题，共61分）14．（5分）解方程x（x﹣1）＝2．15．（5分）如图，已知直线y＝kx﹣3经过点M，求此直线与x轴，y轴的交点坐标．16．（6分）在世界环境日到来之际，希望中学开展了“环境与人类生存”主题研讨活动，活动之一是对我们的生存环境进行社会调查，并对学生的调查报告进行评比．初三•三班将本班50篇学生调查报告得分进行整理（成绩均为整数），列出了频率分布表，并画出了频率分布直方图（部分）如下：分组频率49.5～59.50.0459.5～69.50.0469.5～79.50.1679.5～89.50.3489.5～99.50.42合计1.00根据以上信息回答下列问题：（1）该班90分以上（含90分）的调查报告共有篇；（2）该班被评为优秀等级（80分及80分以上）的调查报告占%；（3）补全频率分布直方图．17．（6分）如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请以F为一个端点和图中已标有的字母的某一点连成一线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等．18．（6分）某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均绿地面积的增长率是多少？19．（5分）已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形．求证：四边形ABCD是矩形．20．（5分）m为何正整数时，关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根？21．（5分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，∠BDC＝90°，AD＝3，BC＝8．求AB的长．22．（6分）如图所示，l1和l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（元）与照明时间x（小时）的函数关系图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．（费用＝灯的售价+电费）（1）根据图象分别求出l1，l2的函数关系式；（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？（3）小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法．23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，AM＝AN，MN∥AC．（1）求证：MN＝AC；（2）如果把条件“AM＝AN”改为“AM⊥AN”，其它条件不变，那么MN＝AC不一定成立．如果再改变一个条件，就能使MN＝AC成立．请你写出改变的条件并说明理由．24．（6分）在直角坐标系中，有以A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）为顶点的正方形，设正方形在直线y＝x上方及直线y＝﹣x+2a上方部分的面积为S．（1）求时，S的值．（2）当a在实数范围内变化时，求S关于a的函数关系式．

2009-2010学年北京市丰台区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共9个小题，每小题3分，共27分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请把正确选项前的字母填在题后的括号里．1．（3分）点P（﹣1，2）关于y轴对称点的坐标是（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）【分析】根据关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．【解答】解：点P（﹣1，2）关于y轴对称点的坐标为（1，2）．故选：A．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，注：关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于x轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标不变；关于原点对称，横纵坐标都互为相反数．2．（3分）已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的2倍，则内角和是2×360＝720度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数【解答】解：设这个多边形的边数为n，∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，∴（n﹣2）•180°＝360°×2，解得n＝6．∴此多边形的边数为6．故选：D．【点评】本题主要考查了根据正多边形的外角和求多边形的边数，这是常用的一种方法，需要熟记．3．（3分）一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2【分析】根据正方形的性质可求得边长，从而根据面积公式即可求得其面积．【解答】解：根据正方形的性质可得，正方形的边长为cm，则其面积为2cm2故选：A．【点评】此题主要考查学生对正方形的性质的理解及运用．4．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1【分析】先把x＝0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a＝1舍去．【解答】解：把x＝0代入方程得：|a|﹣1＝0，∴a＝±1，∵a﹣1≠0，∴a＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．5．（3分）用配方法解一元二次方程x2+8x+7＝0，则方程可变形为（）A．（x﹣8）2＝16 B．（x+8）2＝57 C．（x﹣4）2＝9 D．（x+4）2＝9【分析】先把常数项7移到方程右边，然后把方程两边加上42即可．【解答】解：方程变形为：x2+8x＝﹣7，方程两边加上42，得x2+8x+42＝﹣7+42，∴（x+4）2＝9．故选：D．【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半，这样把方程变形为：（x﹣）2＝．6．（3分）如图，以▱ABCD对角线的交点为坐标原点，以平行于AD边的直线为x轴，建立平面直角坐标系．若点D的坐标为（3，2），则点B的坐标为（）A．（﹣3，﹣2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（3，2）【分析】平行四边形是中心对称图形，点B与点D关于原点对称，再根据关于原点对称的点的坐标特征解题即可．【解答】解：关于原点对称的两个点的坐标，横纵坐标互为相反数，所以B点的坐标为（﹣3，﹣2），故选A．【点评】本题考查平行四边形的对称性，平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，与坐标系结合在一起，可确定点的坐标．7．（3分）已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（）A．平均数是3 B．中位数是3 C．极差是4 D．方差是【分析】分别计算该组数据的中位数、众数、平均数及方差后找到正确的答案即可．【解答】解：在已知样本数据1，2，4，3，5中，平均数是3；极差＝5﹣1＝4；方差＝2．所以根据中位数的定义，中位数是3，所以D不正确．故选：D．【点评】本题考查平均数和中位数．一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．8．（3分）直线y＝﹣2x+a经过（3，y1）和（﹣2，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定【分析】本题可以通过代值计算函数值，比较大小；也可以运用函数的增减性比较大小．【解答】解：因为﹣2＜0，y随x的增大而减小，又3＞﹣2，所以，y1＜y2．故选：B．【点评】根据一次函数的增减性，比较函数值的大小．9．（3分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为（）A．1 B．2 C． D．【分析】根据题意可知，AC＝2BC，∠B＝90°，所以根据勾股定理可知AC2＝AB2+BC2，即（2BC）2＝32+BC2，从而可求得BC的长．【解答】解：∵AC＝2BC，∠B＝90°，∴AC2＝AB2+BC2，∴（2BC）2＝32+BC2，∴BC＝．故选：D．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）10．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是x＞1．【分析】一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．【解答】解：根据题意得到：x﹣1＞0，解得x＞1．故答案为：x＞1．【点评】本题考查了函数式有意义的x的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．11．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，则菱形ABCD的周长等于32．【分析】由已知可得△ABD为等边三角形，从而求得菱形的边长＝BD，再根据周长公式计算即可．【解答】解：∵AB＝AD，∠A＝60°∴△ABD为等边三角形∴AB＝BD＝8∴菱形ABCD的周长为8×4＝32，故答案为32．【点评】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定．12．（3分）一元二次方程x2＝4x的根是x1＝0，x2＝4．．【分析】先移项得，x2﹣4x＝0，再利用因式分解法求解．【解答】解：移项得，x2﹣4x＝0，∵x（x﹣4）＝0，∴x＝0或x﹣4＝0，所以x1＝0，x2＝4．故答案为x1＝0，x2＝4．【点评】本题考查了利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解的能力．要熟练掌握因式分解的方法．13．（3分）如图，根据图象回答：当x＜﹣3时，y＜0．【分析】根据图象与x轴的交点为﹣3可知，当x＝﹣3时，y＝0．当x＞﹣3时，y＞0；当x＜﹣3时，y＜0；即可得出结论．【解答】解：由图可知，x＜﹣3时，y＜0，x＝﹣3时，y＝0，x＞﹣3时，y＞0．故答案为：x＜﹣3．【点评】此题考查了一次函数图象及一次函数与一元一次不等式的关系，利用图象解答．体现了数形结合在解题时的应用．三、解答题（共11个小题，共61分）14．（5分）解方程x（x﹣1）＝2．【分析】首先将原方程变形化为一般式，然后利用因式分解法即可求得此方程的根．【解答】解：∵x（x﹣1）＝2，∴x2﹣x﹣2＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，即x﹣2＝0或x+1＝0，∴x＝2或x＝﹣1，∴原方程的根为：x1＝2，x2＝﹣1．【点评】此题考查了一元二次方程的解法．注意在利用因式分解法解一元二次方程时，需首先将原方程化为一般式再求解．15．（5分）如图，已知直线y＝kx﹣3经过点M，求此直线与x轴，y轴的交点坐标．【分析】把点M的坐标代入直线y＝kx﹣3，求出k的值．然后让横坐标为0，即可求出与y轴的交点．让纵坐标为0，即可求出与x轴的交点．【解答】解：由图象可知，点M（﹣2，1）在直线y＝kx﹣3上，∴﹣2k﹣3＝1．解得k＝﹣2，∴直线的解析式为y＝﹣2x﹣3，令y＝0，可得x＝﹣．∴直线与x轴的交点坐标为（﹣，0），令x＝0，可得y＝﹣3．∴直线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．【点评】本题考查的知识点是：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．函数与y轴的交点的横坐标为0．函数与x轴的交点的纵坐标为0．16．（6分）在世界环境日到来之际，希望中学开展了“环境与人类生存”主题研讨活动，活动之一是对我们的生存环境进行社会调查，并对学生的调查报告进行评比．初三•三班将本班50篇学生调查报告得分进行整理（成绩均为整数），列出了频率分布表，并画出了频率分布直方图（部分）如下：分组频率49.5～59.50.0459.5～69.50.0469.5～79.50.1679.5～89.50.3489.5～99.50.42合计1.00根据以上信息回答下列问题：（1）该班90分以上（含90分）的调查报告共有21篇；（2）该班被评为优秀等级（80分及80分以上）的调查报告占76%；（3）补全频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布表可知：该班90分以上（含90分）的调查报告的频率＝0.42，则由总数＝频数÷该组的频率可知：该班90分以上（含90分）的调查报告的频数＝总数×该班90分以上（含90分）的调查报告的频数＝50×0.42＝21；（2）由频率分布表可知：80分及80分以上的调查报告的频率为0.34+0.42＝0.76，则该班被评为优秀等级（80分及80分以上）的调查报告占0.76÷1＝76%；（3）59.5﹣69.5段的频率为0.04，49.5﹣59.5段的频率也为0.04，则第一组和第二组小长方形的高是相等的；据此可以绘制直方图．【解答】解：（1）该班90分以上（含90分）的调查报告的频率＝0.42，90分以上（含90分）的调查报告的频数＝50×0.42＝21；（2）80分及80分以上的调查报告的频率为0.34+0.42＝0.76，则该班被评为优秀等级（80分及80分以上）的调查报告占0.76÷1＝76%；（3）图如右边：【点评】本题考查频率及频数的计算，记住公式：频率＝频数÷总人数是解决本题的关键．同时还考查了动手绘制频率直方图的能力．17．（6分）如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请以F为一个端点和图中已标有的字母的某一点连成一线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等．【分析】可连接BF，由题中条件不难得出△ADE≌△CBF，进而可证明猜想．【解答】解：连接BF，猜想DE＝BF．证明：在平行四边形ABCD中，则∠DAC＝∠ACB，AD＝BC，又AE＝CF，∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF．【点评】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，能够熟练掌握．18．（6分）某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均绿地面积的增长率是多少？【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2＝1+44%，解这个方程即可求出答案．【解答】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，（1+x）2＝1+44%，解得x1＝﹣2.2（舍去），x2＝0.2．答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%．【点评】此题主要考查了增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2＝现在的量，增长用+，减少用﹣．但要注意解的取舍，及每一次增长的基础．19．（5分）已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】根据平行四边形的性质可以证得AB与CD平行且相等，则四边形ABCD是平行四边形，再证得对角线相等即可证得．【解答】证明：∵BC是等腰△BED底边ED上的高，∴EC＝CD，∵四边形ABEC是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CE＝CD，AC＝BE，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC＝BE，BE＝BD，∴AC＝BD，∴平行边形ABCD是矩形．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的判定，正确确定判定方法是解题的关键．20．（5分）m为何正整数时，关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根？【分析】因为方程为一元二次方程，且有两个不相等的实数根，所以，△＞0，据此求出m的取值范围，即可得到m的整数解．【解答】解：∵△＝42﹣4（m﹣1）＝20﹣4m．要使方程有两个不相等的实数根，必须有△＞0，即20﹣4m＞0，∴m＜5．∵m为正整数，∴m＝1、2、3、4．【点评】此题考查了利用一元二次方程根的判别式求方程的系数：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．21．（5分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，∠BDC＝90°，AD＝3，BC＝8．求AB的长．【分析】BD＝CD，∠BDC＝90°则△BDC是等腰直角三角形，过点D作DF⊥BC，则DF＝BC，并且DF是梯形的高线，过点A作AE⊥BC，则AE＝DF，在直角△ABE中根据勾股定理，就可以求出AB的长．【解答】解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F．（1分）∴AE∥DF，∠AEF＝90°，∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形．∴EF＝AD＝3，AE＝DF．（3分）∵BD＝CD，∠BDC＝90°，∴△BDC是等腰直角三角形，又∵DF⊥BC，∴DF是△BDC的BC边上的中线．∴DF＝BC＝BF＝4．（4分）∴AE＝DF＝4，BE＝BF﹣EF＝4﹣3＝1．（6分）在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，∴AB＝．（8分）【点评】梯形的问题可以通过作高线，把梯形转化为直角三角形与矩形的问题．22．（6分）如图所示，l1和l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（元）与照明时间x（小时）的函数关系图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．（费用＝灯的售价+电费）（1）根据图象分别求出l1，l2的函数关系式；（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？（3）小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法．【分析】（1）根据l1经过点（0，2）、（500，17），得方程组解之可求出解析式，同理l2过（0，20）、（500，26），易求解析式；（2）费用相等即y1＝y2，解方程求出时间；（3）求出交点坐标，结合函数图象回答问题．【解答】解：（1）设L1的解析式为y1＝k1x+b1，L2的解析式为y2＝k2x+b2，由图可知L1过点（0，2），（500，17），∴∴k1＝0.03，b1＝2，∴y1＝0.03x+2（0≤x≤2000），由图可知L2过点（0，20），（500，26），同理y2＝0.012x+20（0≤x≤2000）；（2）若两种费用相等，即y1＝y2，则0.03x+2＝0.012x+20，解得x＝1000，∴当x＝1000时，两种灯的费用相等；（3）时间超过1000小时，故前2000h用节能灯，剩下的500h，用白炽灯．【点评】此题旨在检测一次函数解析式的待定系数法及其与方程、不等式的关系．结合函数图象解不等式更具直观性，对方案决策很有帮助，这就是数形结合的优越性．23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，AM＝AN，MN∥AC．（1）求证：MN＝AC；（2）如果把条件“AM＝AN”改为“AM⊥AN”，其它条件不变，那么MN＝AC不一定成立．如果再改变一个条件，就能使MN＝AC成立．请你写出改变的条件并说明理由．【分析】（1）要证MN＝AC，只需证四边形ACMN为平行四边形，根据定义两组对边分别平行的四边形时平行四边形，而MN∥AC为已知，需证AN∥MC，可利用内错角相等，两直线平行来求．（2）∵AM⊥AN，且MN∥AC，∴四边形ACMN要为平行四边形，还少一组对边平行，若把M看作是Rt△ABC斜边高的垂足，则可证明CM∥AN，即可利用平行四边形的定义证明．【解答】证明：（1）【方法一】如图，连接CM．在R